第07章多元函數(shù)微分法及其應用7 5隱求導公式

第五節(jié) 隱函數(shù)的求導公式第七章一、一個方程的情形二、方程組的情形

三、小結(jié)與思考練習本節(jié)討論:方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,方程當C

<0

時,能確定隱函數(shù);當C

>0

時,不能確定隱函數(shù);在方程能確定隱函數(shù)時,研究其連續(xù)性、可微性及求導方法問題.一、一個方程的情形定理1

設(shè)函數(shù)則方程并有連續(xù)定理證明從略，僅就求導公式推導如下：在點的某一鄰域內(nèi)滿足①具有連續(xù)的偏導數(shù);②

F

(x0

,

y0

)

=

0;③

Fy

(x0

,

y0

)

?

0的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),滿足條件導數(shù)(隱函數(shù)求導公式)兩邊對x

求導d

y

=

-

Fxdx

Fy在的某鄰域內(nèi)

Fy

?

0則在點(0,0)某鄰域并求例1

驗證方程可確定一個單值可導隱函數(shù)解:

令（補充題）則連續(xù),①②③由

定理1

可知,

在

x=0的某鄰域內(nèi)方程存在單值可導的隱函數(shù)

且=

-ex

-

ycos

y

-

xx

=

0,

y

=

0(

)dx

cos

y

-

xd

ex

-

y=

-(

cos

y

-

x

)2=

-=

-3x

=

0y

=

0y￠=

-1(

ex

-

y￠)(cos

y

-

x)

-(ex

-

y)(-sin

y

y

-1)x

=

0

=

-3dx2d

2

ysin

y

+

ex

-

xy

-1

=

0,

y

=

y(x)兩邊對x

求導￠兩邊再對x

求導-

sin

y

(

y￠)2

+

cos

y

y令

x

=

0

,

注意此時

y

=

0

,

y

=

-1ex

-

yy￠x

=

0=

-

cos

y

-

x

(0,0)（自行練習課本

例1）導數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù),在點定理證明從略,僅就求導公式推導如下:定一個單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),滿足并有連續(xù)偏導數(shù)若函數(shù)F

(x,y,z)滿足:①在點②

F

(x0

,

y0

,

z0

)

=

0③

Fz

(x0

,

y0

,

z0

)

?

0則方程 某一鄰域內(nèi)可唯一確定理2F

(x,

y

,

f

(x

,

y

)

)

”

0兩邊對x

求偏導?z

=

-

Fx?x

Fz同樣可得則Fx

+

Fz”

02222+-

4

2

=

0?x?2

z2(

)?x1

+

?z?2

z2x

+

2z

?z

-

4

?z

=

0?x

?x再對x

求導例2

設(shè)解法1

利用隱函數(shù)求導x

+

y

+

z

-

4z

=

0,

求

.

（補充題）?x2兩邊對x

求偏導（自行練習課本

例2）解法2

利用公式設(shè)則二、方程組的情形由F、G

的偏導數(shù)組成的行列式稱為F、G

的雅可比(Jacobi)行列式.隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例,即③則方程組的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導數(shù)公式:滿足:的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏定理3

設(shè)函數(shù)①在點導數(shù)；②定理證明略.僅推導偏導數(shù)公式如下：Fv1Fu

FvGu

Gv?u

=

-

1

?(F

,

G)

=

-?x

J

?(

x,

v

)

Fu

FvGu

Gv?u

=

-

1

?(F

,

G)

=

-

1?y

J

?(

y,

v

)FuGu1Fu

FvGu

GvFu

FvGu

Gv1?v

=

-

1

?(F

,

G)

=

-?x J

?(

u,

x

)?v

=

-

1

?(F

,

G)

=

-?y J

?(

u,

y

)Gx

GvFxFy

FvGy

GvFxGxFu

FyGu

Gy有隱函數(shù)組則兩邊對x

求導得設(shè)方程組二元線性代數(shù)方程組解的公式在點P

的某鄰域內(nèi)故得系數(shù)行列式?u

=

-

1

?(F

,

G)?x

J

?(

x,

v

)?v

=

-

1

?(F

,

G)?x

J

?(

u,

x

)同樣可得?u

=

-

1

?(F

,

G)?y J

?(

y

,

v

)?v

=

-

1

?(F

,

G)?y J

?(

u

,

y

)2

2

2

2例

3

求由方程組x

+

y

+

u

+

v

=1,x

+

y

+

u

+

v

=

2,確定的函數(shù)u(x,y)和v(x,y)的偏導數(shù)?u

，?u

，?v

和?v

.?x

?y

?x

?y分析：此題可以直接用課本中的公式（6）求解，但也可按照推導公式（6）的方法來求解.下面用后一種方法求解.解：將所給方程兩邊對x

求導，并移項，得?u

+

?v

=

-1,

?x

?x?u2u

+

2v=

-2x.?x?v?x在J

==2(v

-u)?0

的條件下，解得1

12u

2v1

12u

2v-1

1-2x

2v?ux

-

v=?x=v

-

u1

12u

2v1

-1?v

=

2u

-2x

=

u

-

x?xv

-

u將所給方程的兩邊對y

求導.用同樣方法在J

=2(v

-u)?0的條件下可得?y v

-

u?y v

-

u?u

=

y

-

v

，

?v

=

u

-

y

.例4設(shè)r(x,y)和q(x,y)由x=r

cosq

，y

=r

sinq

確定，求?r

，?r

，?q

，?q

.?x

?y

?x

?y

y

=

r

sinq解：方程組x

=r

cosq,兩邊對x

求偏導并移項，得xrx

cosq

-

r

sinq

qx

=1,r

sinq

+

r

cosq

q

=

0.

xsinqr

cosqcosq

-r

sinq在

J

= =

r(cos2

q

+

sin2

q)

=

r

?

0

的條件下，解得?r

=

cosq

，

?q

=-?x

?x

rsinq

.類似地，方程組兩邊對

y

求偏導，解得

?r

=

sinq

，

?q

=

cosq

.?y

?y

r內(nèi)容小結(jié)隱函數(shù)(組)存在定理隱函數(shù)(組)求導方法方法1.

利用復合函數(shù)求導法則直接計算;方法2.

代公式課后練習習題7－51、3、5、7、10、11（1）（3）思考練習1.

設(shè)求???解法1:d

z

=

f1(dx

+dy

+

dz

+

f2

(yz

dx

+

xzdy

+

xyd

z解出dx

:dx

=

-(f1

+

xz

f2

)dy

+

(1-

f1

-

xy

f2

)dzf1

+

yz

f2由d

y,d

z

的系數(shù)即可得解法2：利用全微分形式不變性同時求出各偏導數(shù).e

-

xy

=

2

,xy有連續(xù)的一階偏導數(shù)

,

又函數(shù)分別由下列兩式確定

:2.

設(shè)解:

兩個隱函數(shù)方程兩邊對

x

求導,

得d

u

y

ex

(x

-

z)d

x

=

f1￠-

x

f2￠+

[1

-

sin(x

-

z)

]f3sin(x

-

z)ex

(x

-

z)z￠=1-0d

t

,tsin

txx-ze

=(2001考研)解得因此是由方程和

所確定的函數(shù),求解法1

分別在各方程兩端對

x

求導,

得(99考研)3.

設(shè)對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去 可得解法2

微分法.雅可比(1804

–1851)德國數(shù)學家.他在數(shù)學方面最主要的成就是和挪威數(shù)學家阿貝兒相互獨地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ).他對行列式理論也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引進了“雅可比行列式”并,應用在微積分中.他的工作還包括代數(shù)學,變分法,復變函數(shù)和微分方程,

在分析力學,動力學及數(shù)學