五一特訓(xùn)突破導(dǎo)數(shù)課件

導(dǎo)數(shù)一．解答題（共26小題）1．（2022秋?湖北月考）已知函數(shù)f（x）＝e2mx﹣x，m∈R．（1）若m＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若任意x≥0，f（x）≥1+mx2，求m的取值范圍．2．（2022?江蘇三模）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣2ex+3（a∈R），g（x）＝lnx+xex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若a＝﹣1，h（x）＝f（x）+g（x），當(dāng)時(shí)，h（x）∈（m，n）（m，n∈Z），求n﹣m的最小值．3．（2022?齊齊哈爾一模）已知函數(shù)f（x）＝x﹣mlnx，其中m∈R．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若ex﹣1﹣ax2≥﹣axlnx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．4．（2022春?順德區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)．（1）當(dāng)a＝0時(shí)，求函數(shù)f（x）在上的最值；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．5．（2022秋?宛城區(qū)校級(jí)月考）若函數(shù)f（x）＝．（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的方程；（2）當(dāng)a＞0，設(shè)g（x）＝f（x）+ax2，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．6．（2022秋?安陽(yáng)縣校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）＝aex+，a∈{R}．（1）若x＝e時(shí)，f（x）取得極值，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)g（x）＝xf（x）+x，x∈[1，+∞），求使g（x）＜2恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．7．（2022秋?商丘月考）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+alnx（a∈R）．（1）若f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，求a的值；（2）若x0是f（x）的極大值點(diǎn)，且恒成立，求a的取值范圍．8．（2022秋?山東月考）已知函數(shù)f（x）＝﹣（m+1）x+mlnx+m，f'（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若xf'（x）﹣f（x）≥0恒成立，求m的取值范圍．9．（2022秋?新鄉(xiāng)月考）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x．（1）求f（x）的最值；（2）若函數(shù)（a＞0）存在兩個(gè)極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．10．（2022秋?山東月考）已知函數(shù)f（x）＝e2x﹣x2+（a﹣2）x﹣1．（1）討論函數(shù)g（x）＝f（x）+x2的單調(diào)性；（2）若a＝0，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．11．（2022秋?安陽(yáng)月考）已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣xlnx．（1）若f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若a＝e，證明：ex+（a﹣1）xlnx≥f（x）．12．（2022秋?高新區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax．（1）求f（x）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)k（x）＝（x+1）[f（x）+a]﹣lnx≤0恒成立求實(shí)數(shù)a取值范圍．13．（2022秋?泗水縣期中）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣mx+1，g（x）＝x（ex﹣2）．（1）若f（x）的最大值是1，求m的值；（2）若對(duì)其定義域內(nèi)任意x，f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范圍．14．（2022秋?天心區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2+（2a﹣1）x﹣lnx（a∈R）．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣（2a﹣1）x﹣1存在兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，證明：．15．（2022秋?聊城期中）已知函數(shù)f（x）＝x﹣（a+2）lnx﹣．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)g（x）＝ex+mx2﹣e2﹣3，當(dāng)a＝e2﹣1時(shí)，對(duì)任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．16．（2022秋?葫蘆島月考）已知函數(shù)f（x）＝xlnx﹣ax2．（1）當(dāng)a＝e時(shí)，證明：f（x）+2x≤0；（2）記函數(shù)g（x）＝（x﹣1）ex﹣f（x），若g（x）為增函數(shù)，求a的取值范圍．17．（2022秋?臨澧縣校級(jí)月考）已知函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范圍；（2）證明：．18．（2022秋?臨澧縣校級(jí)月考）已知函數(shù)．（1）若f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）設(shè)m＞0，n＞0，m≠n且mlnn﹣nlnm＝m﹣n，求證：mn＞e4．19．（2022秋?歷城區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)，a∈R．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），證明：．20．（2022秋?廣東月考）已知函數(shù)f（x）＝aex﹣x﹣2，和g（x）＝x﹣ln[a（x+2）]+2．（1）若f（x）與g（x）有相同的最小值，求a的值；（2）設(shè)F（x）＝f（x）+g（x）+2lna﹣2有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．21．（2022秋?武漢月考）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣k﹣3）ex﹣x．（1）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)f（x）恰有一個(gè)極值點(diǎn)x0時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值，使得f（x0）取最大值．22．（2022?臨沭縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知函數(shù)f（x）＝．（1）討論f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）證明：f（x）．23．（2022秋?信陽(yáng)月考）已知函數(shù)f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣3（a∈R）．（1）求f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程；（2）若對(duì)于任意的，都有2f（x）≥g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．24．（2022秋?湖北月考）已知函數(shù)f（x）＝（k≠0），e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)k＝1時(shí)，設(shè)f（x）的最小值為m，求證：m＜；（2）求證：當(dāng)k≥時(shí)，f（x）≥0．25．（2022?安陽(yáng)開(kāi)學(xué)）已知函數(shù)f（x）＝﹣x+alnx存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2．（1）求a的取值范圍；（2）求f（x1）+f（x2）﹣3a的最小值．26．（2022?岳麓區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)．（1）若a＝1，求不等式f（lnx）＞﹣1的解集；（2）當(dāng)a＞1時(shí)，求證函數(shù)f（x）在（0，+∞）上存在極值點(diǎn)m，且．

參考答案與試題解析一．解答題（共26小題）1．（2022秋?湖北月考）已知函數(shù)f（x）＝e2mx﹣x，m∈R．（1）若m＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若任意x≥0，f（x）≥1+mx2，求m的取值范圍．【答案】（1）遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為；（2）．【解答】解：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)可得，f'（x）＝2me2mx﹣1，當(dāng)m＞0時(shí)，f'（x）在R上單增，令f'（x）＝0，解得，則當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)，時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為（2）設(shè)g（x）＝f（x）﹣（mx2+1）＝e2mx﹣mx2﹣x﹣1，x≥0，g（0）＝0，g'（x）＝2me2mx﹣2mx﹣1，x≥0，g'（0）＝2m﹣1，令h（x）＝2me2mx﹣2mx﹣1，h'（x）＝（2m）2e2mx﹣2m＝2m（2me2mx﹣1）＝2mf'（x），x≥0，①當(dāng)2m﹣1≥0，即時(shí)，h'（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴h（x）在[0，+∞）上單增，h（x）≥h（0）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上單增，g（x）≥g（0）＝0，∴當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，符合題意；②當(dāng)0＜2m﹣1＜1，即時(shí)，由（1）可得：h'（x）＝2mf'（x）＜0，在上恒成立，又，∴h'（x）＜0在成立，∴h（x）在單調(diào)遞減，h（x）＜h（0）＝2m﹣1＜0，∴h（x）在單調(diào)遞減，g（x）＜g（0）＝0，與g（x）≥0恒成立矛盾，故不符合題意；③當(dāng)m≤0時(shí)，此時(shí)，與g（x）≥0恒成立矛盾，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．2．（2022?江蘇三模）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣2ex+3（a∈R），g（x）＝lnx+xex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若a＝﹣1，h（x）＝f（x）+g（x），當(dāng)時(shí)，h（x）∈（m，n）（m，n∈Z），求n﹣m的最小值．【答案】（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，+∞），無(wú)增區(qū)間；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）1．【解答】解：（1）f′（x）＝a﹣2ex，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0在R上恒成立，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，+∞），無(wú)增區(qū)間；②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得，，由f′（x）＜0得，，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，+∞），無(wú)增區(qū)間；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，h（x）＝f（x）+g（x）＝（x﹣2）ex+lnx﹣x+3，，則，令，則，∴Q（x）在上單調(diào)遞增，又，故由零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得Q（x0）＝0，即，且當(dāng)時(shí)，Q（x）＜0，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（x0，1）時(shí)，Q（x）＞0，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，＝，即h（x）＜0，又，，又m，n∈Z，∴n﹣m的最小值為0﹣（﹣1）＝1．3．（2022?齊齊哈爾一模）已知函數(shù)f（x）＝x﹣mlnx，其中m∈R．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若ex﹣1﹣ax2≥﹣axlnx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)m≤0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)m＞0，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（m，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，m）；（2）（﹣∞，1]．【解答】解：（1）因?yàn)?，x＞0，當(dāng)m≤0，f'（x）＞0恒成立，所以該函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)m＞0，令f'（x）＞0，解得x＞m，令f'（x）＜0，解得0＜x＜m，所以該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（m，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，m）．綜上，當(dāng)m≤0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)m＞0，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（m，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，m）．（2）要ex﹣1﹣ax2≥﹣axlnx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，只要ex﹣1≥ax2﹣axlnx＝a（x2﹣xlnx），因?yàn)閤2﹣xlnx＝x（x﹣lnx）＞0，所以只要，令g（x）＝，x＞0，則g′（x）＝，因?yàn)閤﹣1≥lnx，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，所以gmin（x）＝g（1）＝1，所以a≤gmin（x）＝1，即a的取值范圍是（﹣∞，1]．4．（2022春?順德區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)．（1）當(dāng)a＝0時(shí)，求函數(shù)f（x）在上的最值；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．【答案】（1）最大值為．（2）當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；當(dāng)1＜a＜e時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，lna），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（lna，1）；當(dāng)a＝e時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)a＞e時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（lna，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（1，lna）；【解答】解：（1）f（x）定義域?yàn)椋?dāng)a＝0時(shí)，，，令f'（x）＝0得x＝1，且當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；所以f（x）在上的最小值為f（1）＝e；最大值為．（2）f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），，當(dāng)a≤0時(shí)，令f'（x）＝0，得x＝1，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＝0，得x＝1或x＝lna．所以：當(dāng)0＜a≤1時(shí)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜a＜e時(shí)，當(dāng)lna＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜lna或x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)a＝e時(shí)，f'（x）＞0在定義域上恒成立，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)a＞e時(shí)，當(dāng)1＜x＜lna時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜1或x＞lna時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；當(dāng)1＜a＜e時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，lna），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（lna，1）；當(dāng)a＝e時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)a＞e時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（lna，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（1，lna）；5．（2022秋?宛城區(qū)校級(jí)月考）若函數(shù)f（x）＝．（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的方程；（2）當(dāng)a＞0，設(shè)g（x）＝f（x）+ax2，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）y＝1；（2）當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），（﹣∞，﹣lna），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，﹣lna），當(dāng)a＝1時(shí)，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間，0＜a＜1時(shí)，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0），（﹣lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（lna，0）．【解答】解：（1）由題意得f（0）＝1，因?yàn)閒′（x）＝，f′（0）＝0，所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的方程為y＝1；（2）當(dāng)a＞0，設(shè)g（x）＝（x+1）e﹣x+ax2，則g′（x）＝ax﹣，令g′（x）＝0可得x＝0或x＝﹣lna，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lna＜0，令g′（x）＞0，可得x＜0或x＞﹣lna，令g′（x）＜0，可得0＜x＜﹣lna，故g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0），（﹣lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，﹣lna），當(dāng)a＞1時(shí)，lna＞0，當(dāng)x＞0或x＜﹣lna時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)﹣lna＜x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，故g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），（﹣∞，﹣lna），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣lna，0），當(dāng)a＝1時(shí)，lna＝0，g′（x）＝x（1﹣ex）≥0恒成立，所以g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間，綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），（﹣∞，﹣lna），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，﹣lna），當(dāng)a＝1時(shí)，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間，0＜a＜1時(shí)，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0），（﹣lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（lna，0）．6．（2022秋?安陽(yáng)縣校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）＝aex+，a∈{R}．（1）若x＝e時(shí)，f（x）取得極值，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)g（x）＝xf（x）+x，x∈[1，+∞），求使g（x）＜2恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞）；（2）．【解答】解：（1），因?yàn)楹瘮?shù)在x＝e處取得極值，所以，則a＝0，當(dāng)a＝0時(shí)，，得x＝e，當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝e時(shí)，函數(shù)取得極大值，綜上可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞）；（2）∵g（x）＝xf（x）+x＝axex+lnx+x＜2，x∈[1，+∞）恒成立，即axex+lnxex＜2，設(shè)t＝xex，t'＝（x+1）ex＞0，所以函數(shù)t＝xex單調(diào)遞增，t≥e，不等式轉(zhuǎn)化為at+lnt＜2，t≥e時(shí)恒成立，∴恒成立，即，設(shè)，，解得t＝e3，當(dāng)t∈[e，e3）時(shí)，h'（t）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)t∈（e3，+∞）時(shí)，h'（t）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝e3時(shí)，函數(shù)h（t）取得最小值，最小值是，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．7．（2022秋?商丘月考）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+alnx（a∈R）．（1）若f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，求a的值；（2）若x0是f（x）的極大值點(diǎn)，且恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）．（2）．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+alnx，定義域?yàn)椋?，+∞），則，由題意可知，f'（x）≤0的解集為，即2x2﹣2x+a≤0的解集為．所以方程2x2﹣2x+a＝0的兩個(gè)根分別為，，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得．（2）若x0是f（x）的極大值點(diǎn)，定義域?yàn)椋?，+∞），則f'（x）＝0至少有一正根，即方程2x2﹣2x+a＝0至少有一正根，①若a＝0，則方程2x2﹣2x+a＝0的正根為x＝1，又因?yàn)楫?dāng)0＜x＜1時(shí)f'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)f'（x）＞0，所以此時(shí)f（x）只有極小值點(diǎn)1，不符合題意，②若a＜0，則方程2x2﹣2x+a＝0有一正根和一負(fù)根，設(shè)為α，β，且α＞0，β＜0，則2x2﹣2x+a＝2（x﹣α）（x﹣β），因?yàn)楫?dāng)0＜x＜α?xí)r，f'（x）＜0，當(dāng)x＞α?xí)r，f'（x）＞0，所以此時(shí)f（x）只有極小值點(diǎn)α，不符合題意，③若a＞0，由題可知方程2x2﹣2x+a＝0應(yīng)有兩個(gè)不等的正根，設(shè)為x1，x2，其中x1＜x2，則解得，所以，列表如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以x1是極大值點(diǎn)，x2是極小值點(diǎn)，則x0＝x1，由0＜x1＜x2，且x1+x2＝1，得，由題可知，即alnx0﹣2x0+2a＜0當(dāng)時(shí)恒成立，令h（x）＝alnx﹣2x+2a，，則，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，h'（x）＞0，當(dāng)時(shí)，h'（x）＜0，所以，解得，又因?yàn)?，所以此時(shí)a的取值范圍是．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．8．（2022秋?山東月考）已知函數(shù)f（x）＝﹣（m+1）x+mlnx+m，f'（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若xf'（x）﹣f（x）≥0恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）[0，e]．【解答】解：（1）由題可得，①當(dāng)m≤0時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；②當(dāng)0＜m＜1時(shí)，x∈（0，m）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；x∈（m，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；③當(dāng)m＝1時(shí)，x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；④當(dāng)m＞1時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；x∈（1，m）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；x∈（m，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．（2）由xf'（x）﹣f（x）≥0恒成立，即，∴，當(dāng)x＝1時(shí)，恒成立，當(dāng)x＞1時(shí)，，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，令，則，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減且g（x）＜0，所以m≥0當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＝0得，∴時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；∴，故m≤e．綜上，m的取值范圍為[0，e]．9．（2022秋?新鄉(xiāng)月考）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x．（1）求f（x）的最值；（2）若函數(shù)（a＞0）存在兩個(gè)極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）f（x）max＝﹣1，無(wú)最小值；（2）．【解答】解：（1）由題知，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），因?yàn)?，解f'（x）＞0得，0＜x＜1；解f'（x）＜0得，x＞1，所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）在x＝1處有唯一極大值，也是最大值f（x）max＝f（1）＝﹣1，無(wú)最小值．（2），x∈（0，+∞），則＝，x∈（0，+∞）．令，則，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，u'（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，u'（x）＜0．所以u(píng)（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以u(píng)（x）在x＝1處有最大值．所以，函數(shù)圖象如圖所示．因?yàn)閤＞0，所以，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)H（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以H（x）只有一個(gè)極小值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）．解H'（x）＝0，得x＝x1或x＝x2或x＝1，且0＜x1＜1＜x2，當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，H'（x）＜0，H（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x1，1）時(shí)，H'（x）＞0，H（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，x2）時(shí)，H'（x）＜0，H（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，H'（x）＞0，H（x）單調(diào)遞增，所以H（x）有兩個(gè)極小值點(diǎn)x1，x2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．10．（2022秋?山東月考）已知函數(shù)f（x）＝e2x﹣x2+（a﹣2）x﹣1．（1）討論函數(shù)g（x）＝f（x）+x2的單調(diào)性；（2）若a＝0，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解答】解：（1）g'（x）＝2e2x+a﹣2，當(dāng)a≥2時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a＜2時(shí)，由g'（x）＝0，得，則g（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：因?yàn)閒（x）＝e2x﹣x2﹣2x﹣1，所以f'（x）＝2e2x﹣2x﹣2＝2（e2x﹣x﹣1），令函數(shù)h（x）＝e2x﹣x﹣1，則h'（x）＝2e2x﹣1，當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故h（x）＞h（0）＝0，即f'（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．故當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）＝0．11．（2022秋?安陽(yáng)月考）已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣xlnx．（1）若f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若a＝e，證明：ex+（a﹣1）xlnx≥f（x）．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）＝2ax﹣1﹣lnx，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴f'（x）≥0，即恒成立，設(shè)，其中x＞0，則，令g'（x）＝0得x＝1，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，所以g（x）max＝g（1）＝1，∴2a≥1，解得，因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2）證明：要證ex+（e﹣1）xlnx≥f（x），即證ex﹣ex（x﹣lnx）≥0，因?yàn)閤＞0，即證，即證ex﹣lnx﹣e（x﹣lnx）≥0，令t＝x﹣lnx，其中x＞0，則，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，t'＜0，此時(shí)函數(shù)t＝x﹣lnx單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，t'＞0，此時(shí)函數(shù)t＝x﹣lnx單調(diào)遞增，所以tmin＝t|x＝1＝1，即t≥1，即證et﹣et≥0，構(gòu)造函數(shù)h（t）＝et﹣et，其中t≥1，則h'（t）＝et﹣e≥0，故函數(shù)h（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故h（t）≥h（1）＝0，即當(dāng)t≥1時(shí)，et﹣et≥0，故原不等式得證．12．（2022秋?高新區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax．（1）求f（x）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)k（x）＝（x+1）[f（x）+a]﹣lnx≤0恒成立求實(shí)數(shù)a取值范圍．【答案】（1）a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，+∞）．（2）[，+∞）．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax的定義域?yàn)椋?，+∞），且f′（x）＝﹣a＝，①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＝＞0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；②當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＝＞0，解得0＜x＜，由f'（x）＝＜0解得x＞，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，+∞）．（2）由題意知：k（x）≤0恒成立，由k（x）≤0得（x+1）[f（x）+a]﹣lnx≤0，即xlnx﹣a（x2﹣1）≤0，由g（x）＝xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），求得g'（x）＝lnx+1﹣2ax，令h（x）＝lnx+1﹣2ax，則h′（x）＝﹣2a＝，①若a≤0，h'（x）＞0，g'（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故g'（x）≥g'（1）＝1﹣2a≥0，所以g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）≥g（1）＝0，從而xlnx﹣a（x2﹣1）≥0，不符合題意；②若0＜a＜，當(dāng)x∈（1，）時(shí)，h'（x）＞0，g'（x）在（1，）上單調(diào)遞增，從而g'（x）＞g'（1）＝1﹣2a＞0，所以g（x）在[1，）上單調(diào)遞增，所以g（x）≥g（1）＝0，從而在[1，）上x(chóng)lnx﹣a（x2﹣1）≥0，不符合題意；③若a≥，則h'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，所以g'（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，且g'（x）≤g'（1）＝1﹣2a≤0，從而g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，所以g（x）≤g（1）＝0，所以xlnx﹣a（x2﹣1）≤0恒成立，綜上，a的取值范圍是[，+∞）．13．（2022秋?泗水縣期中）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣mx+1，g（x）＝x（ex﹣2）．（1）若f（x）的最大值是1，求m的值；（2）若對(duì)其定義域內(nèi)任意x，f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）[1，+∞）．【解答】解：（1）（x＞0），（1分）當(dāng)m≤0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無(wú)最大值；（2分）當(dāng)m＞0時(shí)，易知，f（x）單調(diào)遞增；，f（x）單調(diào)遞減，∴時(shí)，f（x）取得最大值，解得．（4分）（2）依題意，lnx﹣mx+1≤x（ex﹣2）在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，（5分）設(shè)，則，（7分）設(shè)h（x）＝x2ex+lnx，則，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且，h（1）＝e＞0，∴h（x）有唯一零點(diǎn)x0，且，（9分）即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得x0+lnx0＝ln（﹣lnx0）+（﹣lnx0），構(gòu)造函數(shù)y＝x+lnx，易知y＝x+lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴x0＝﹣lnx0，即，∴φ（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，+∞）上單調(diào)遞減，∴，（11分）∴m﹣2≥﹣1，∴m≥1，故m的取值范圍是[1，+∞）．（12分）14．（2022秋?天心區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2+（2a﹣1）x﹣lnx（a∈R）．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣（2a﹣1）x﹣1存在兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，證明：．【答案】（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增；（2）證明過(guò)程請(qǐng)看解答．【解答】（1）解：f'（x）＝2ax+（2a﹣1）﹣＝，且x＞0，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＝0，則x＝，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增．（2）證明：g（x）＝f（x）﹣（2a﹣1）x﹣1＝ax2﹣lnx﹣1，定義域?yàn)椋?，+∞），設(shè)0＜x1＜x2，則a﹣lnx1﹣1＝0，a﹣lnx2﹣1＝0，兩式相加得，a（+）﹣lnx1x2﹣2＝0，兩式相減得，a（﹣）﹣ln＝0，消去a得，lnx1x2+2＝?ln＝?ln，即lnx1x2＝?ln﹣2，令t＝∈（0，1），則lnx1x2＝?lnt﹣2，要證，需證lnx1x2＞ln＝﹣1，需證?lnt﹣2＞﹣1，即證lnt＜，設(shè)h（t）＝lnt﹣，t∈（0，1），原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明h（t）＜0在（0，1）上恒成立，則h'（t）＝﹣＝＞0恒成立，所以h（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，所以h（t）＜h（1）＝0，故命題得證．15．（2022秋?聊城期中）已知函數(shù)f（x）＝x﹣（a+2）lnx﹣．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)g（x）＝ex+mx2﹣e2﹣3，當(dāng)a＝e2﹣1時(shí)，對(duì)任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)a≤﹣1時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間有（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間有（1，+∞）；當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間有（a+1，1），單調(diào)遞增區(qū)間有（0，a+1），（1，+∞）；當(dāng)a＝0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間有（0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a＞0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間有（1，a+1），單調(diào)遞增區(qū)間有（0，1），（a+1，+∞）．（2）（﹣∞]．【解答】解：（1）f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），且，令f'（x）＝0，得x＝1或x＝a+1，①當(dāng)a≤﹣1即a+1≤0時(shí)：x∈（0，1），f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞），f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；②當(dāng)即﹣1＜a＜0，即0＜a+1＜1時(shí)：x∈（0，a+1），f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x∈（a+1，1），f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞），f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；③當(dāng)a＝0，即a+1＝1時(shí)：x∈（0，+∞），f'（x）≥0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；④當(dāng)a＞0，即a+1＞1時(shí)：x∈（0，1），f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x∈（1，a+1），f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；x∈（a+1，+∞），f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)a≤﹣1時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間有（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間有（1，+∞）；當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間有（a+1，1），單調(diào)遞增區(qū)間有（0，a+1），（1，+∞）；當(dāng)a＝0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間有（0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a＞0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間有（1，a+1），單調(diào)遞增區(qū)間有（0，1），（a+1，+∞）．（2）當(dāng)a＝e2﹣1時(shí)，由（1）得函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，1），（e2，+∞）上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為f（e2）＝﹣e2﹣3，即存在x2∈[1，+∞），使，即存在x∈[1，+∞），使得ex+mx2﹣e2﹣3≤﹣e2﹣3，即，令，x∈[1，+∞），則m≤h（x）max，由，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，所以，所以，故m的取值范圍為（﹣∞]．16．（2022秋?葫蘆島月考）已知函數(shù)f（x）＝xlnx﹣ax2．（1）當(dāng)a＝e時(shí)，證明：f（x）+2x≤0；（2）記函數(shù)g（x）＝（x﹣1）ex﹣f（x），若g（x）為增函數(shù)，求a的取值范圍．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）．【解答】解：（1）證明：當(dāng)a＝e時(shí)，f（x）＝xlnx﹣2x2（x＞0）．要證f（x）+2x≤0，即證lnx﹣ex+2≤0．設(shè)h（x）＝lnx﹣x+1，則．當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0．所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以h（x）max＝h（1）＝0，所以lnx﹣x+1≤0．所以ln（ex）﹣ex+1≤0，所以lnx﹣ex+2≤0，所以f（x）+2x≤0．（2）因?yàn)間（x）＝（x﹣1）ex﹣f（x），所以g（x）＝（x﹣1）ex﹣xlnx+ax2，則g′（x）＝xex﹣1﹣lnx+2ax．因?yàn)間（x）為增函數(shù)，所以g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以在（0，+∞）上恒成立．由（1）可知lnx﹣x+1≤0，則ln（xex）﹣xex+1≤0，即x+lnx﹣xex+1≤0，所以lnx﹣xex+1≤﹣x，即，當(dāng)且僅當(dāng)xex＝1時(shí)取等號(hào)，所以2a≥﹣1，解得，所以a的取值范圍為．17．（2022秋?臨澧縣校級(jí)月考）已知函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范圍；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解答】解：（1）已知函數(shù)，得f′（x）＝lnx﹣ax，x∈（0，+∞），函數(shù)佮有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），即方程lnx﹣ax＝0有兩個(gè)解，令，則，所以當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，又因?yàn)楫?dāng)x趨于0時(shí)，g（x）趨于﹣∞；當(dāng)x趨于+∞時(shí)，g（x）趨于，所以由圖像得g（x）＝a有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，；證明：（2）由（1）得lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0且，所以，又因?yàn)閘nx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2），所以，令，證明即可，令，所以恒成立，所以h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又因?yàn)閔（1）＝0，所以在（1，+∞）上t恒成立，即．18．（2022秋?臨澧縣校級(jí)月考）已知函數(shù)．（1）若f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）設(shè)m＞0，n＞0，m≠n且mlnn﹣nlnm＝m﹣n，求證：mn＞e4．【答案】（1）（0，）．（2）見(jiàn)證明過(guò)程．【解答】解：（1）f'（x）＝x﹣1﹣aex，由f'（x）＝0得，令，g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝2．x＜2時(shí)，g′（x）＞0；x＞2時(shí)，g′（x）＜0．可得函數(shù)g（x）在（﹣∞，2）上單調(diào)遞增；在（2，+∞）上單調(diào)遞減．∴x＝2時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值，g（2）＝，又x→+∞時(shí)，g（x）→0；x→﹣∞時(shí)，g（x）→﹣∞．∵f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)?函數(shù)y＝a與y＝g（x）的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，∴，∴a的取值范圍是（0，）．（2）證明：由m＞0，n＞0，m≠n且mlnn﹣nlnm＝m﹣n，得＝，即＝，不妨設(shè)x1＝lnm，x2＝lnn，x1＜x2，∵x1，x2是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，即為函數(shù)y＝g（x）與y＝a交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由（1）知1＜x1＜2，x2＞2，要證mn＞e4，即證lnm+lnn＞4?x1+x2＞4，即證明x2＞4﹣x1＞2，即證明g（x1）＝g（x2）＜g（4﹣x1），令F（x）＝h（x）﹣h（4﹣x）＝﹣，x∈（1，2），F(xiàn)（2）＝0．即證：F（x）＜0．F′（x）＝﹣＝（2﹣x），∵x∈（1，2），2﹣x＞0，e4﹣x﹣ex＞0，∴（2﹣x）＞0，即F′（x）＞0，∴函數(shù)F（x）在x∈（1，2）上單調(diào)遞增，∴F（x）＜F（2）＝0，結(jié)論得證．19．（2022秋?歷城區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)，a∈R．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），證明：．【答案】（1）a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；a＞0時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）見(jiàn)證明過(guò)程．【解答】解：（1），f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），，（i）當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，若，則f'（x）＞0，∴f（x）在上單調(diào)遞增；若，則f'（x）＜0，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增；綜上：a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；a＞0時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證法一：，a∈R．∵y＝eu+u單調(diào)遞增，令u（x）＝lnx﹣ax，∴若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則u（x1）＝u（x2）＝0，即：lnx1＝ax1，lnx2＝ax2，∴，要證，只要證lnx1+lnx2＞2，即a（x1+x2）＞2．只要證，即證（其中），令，，∴g（t）在（1，+∞）單調(diào)遞增，g（t）＞g（1）＝0，即（其中）成立，故原不等式成立．證法二：，a∈R．∵y＝eu+u單調(diào)遞增，令u（x）＝lnx﹣ax，∴若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則u（x1）＝u（x2）＝0，即：lnx1＝ax1，lnx2＝ax2，要證，只要證lnx1+lnx2＞2，即a（x1+x2）＞2．lnx2﹣lnx1＝ax2﹣ax1①．令，則x2＝tx1（t＞1），將其代入①式得：，．要證a（x1+x2）＞2成立，只需證成立，即證lnt+tlnt﹣2t+2＞0成立．設(shè)g（t）＝lnt+tlnt﹣2t+2（t＞1），則．設(shè)，則，∴h（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，∴h（t）＞h（1）＝0，即g'（t）＞0，∴g（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，∴g（t）＞g（1）＝0，即lnt+tlnt﹣2t+2＞0成立．∴成立，因此原結(jié)論成立．證法三：，a∈R．∵y＝eu+u單調(diào)遞增，令u（x）＝lnx﹣ax，∴若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則u（x1）＝u（x2）＝0，即：lnx1＝ax1，lnx2＝ax2，由（1）問(wèn)可知：a＞0，，要證，只要證lnx1+lnx2＞2，即．只需證：；由u（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以只需證：因?yàn)閡（x1）＝u（x2）即證，令，，下證：g（x）＜0，，所以g（x）單調(diào)遞增，所以，得證．20．（2022秋?廣東月考）已知函數(shù)f（x）＝aex﹣x﹣2，和g（x）＝x﹣ln[a（x+2）]+2．（1）若f（x）與g（x）有相同的最小值，求a的值；（2）設(shè)F（x）＝f（x）+g（x）+2lna﹣2有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）a＝e；（2）實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，e）．【解答】解：1）f（x）＝aex﹣x﹣2，g（x）＝x﹣ln[a（x+2）]+2，則f'（x）＝aex﹣1，g'（x）＝1﹣＝，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，無(wú)最值，∴a＞0，由f'（x）＝0得，由f'（x）＞0得x＞﹣lna，由f'（x）＜0得x＜﹣lna，∴f（x）在（﹣lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，﹣lna）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝﹣lna時(shí)，f（x）取得極小值也是最小值，∴f（x）min＝f（﹣lna）＝lna﹣1；由g'（x）＝0得x＝﹣1，當(dāng)﹣2＜x＜﹣1時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣2，﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，g（x）取得極小值也是最小值，∴g（x）min＝g（﹣1）＝1﹣lna，∵f（x）與g（x）有相同的最小值，∴l(xiāng)na﹣1＝1﹣lna，解得a＝e；（2）∵f（x）＝aex﹣x﹣2，g（x）＝x﹣ln[a（x+2）]+2，∴F（x）＝aex﹣ln（x+2）+lna﹣2（x＞﹣2，a＞0），∵F（x）＝f（x）+g（x）+2lna﹣2有兩個(gè)零點(diǎn)，∴aex﹣ln（x+2）+lna﹣2＝0在（﹣2，+∞）上有兩個(gè)根，即ex+lna+x+lna＝ln（x+2）+x+2＝eln（x+2）+ln（x+2），令h（x）＝ex+x，則h'（x）＝ex+1＞0，∴h（x）在（﹣2，+∞）上單調(diào)遞增，又h（x+lna）＝h（ln（x+2）），∴x+lna＝ln（x+2），則題意轉(zhuǎn)化為lna＝ln（x+2）﹣x在（﹣2，+∞）上有兩個(gè)根，令m（x）＝ln（x+2）﹣x，則m'（x）＝＝﹣，當(dāng)m'（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1，當(dāng)m'（x）＜0得x＞﹣1，∴m（x）在（﹣2，﹣1）上單調(diào)遞增，在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞減，∴m（x）≤m（﹣1）＝1，∴l(xiāng)na＜1，解得0＜a＜e，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，e）．21．（2022秋?武漢月考）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣k﹣3）ex﹣x．（1）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)f（x）恰有一個(gè)極值點(diǎn)x0時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值，使得f（x0）取最大值．【答案】（1）當(dāng)k≤﹣1時(shí)，f（x）無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)﹣1＜k＜0時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）有一個(gè)極值點(diǎn)．（2）k＝．【解答】解：（1）f′（x）＝[ex+（x﹣k﹣3）ex]﹣1＝[﹣k]，設(shè)g（x）＝﹣k，則g′（x）＝，設(shè)h（x）＝ex+x﹣1，h（x）為增函數(shù)，且h（0）＝0，所以當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，又g（0）＝﹣1﹣k，且x＜0時(shí)，g（x）＜﹣k，①當(dāng)﹣1﹣k≥0，即k≤﹣1時(shí)，g（x）≥0，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，此時(shí)f（x）無(wú)極值點(diǎn)，②當(dāng)﹣1﹣k＜0＜﹣k，即﹣1＜k＜0時(shí)，存在x1＜0＜x2使得g（x1）＝g（x2）＝0，x＜x1時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x1＜x＜x2時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x＞x2時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，③當(dāng)﹣k＜0，即k＞0時(shí)，存在x0，使得g（x0）＝0，x＜x0時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x＞x0時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）有一個(gè)極值點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)k≤﹣1時(shí)，f（x）無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)﹣1＜k＜0時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）有一個(gè)極值點(diǎn)．（2）由（1）知，k＞0且f′（x0）＝0，即k＝，此時(shí)x0＞2，此時(shí)f（x）在（﹣∞，x0）單調(diào)遞減，在（x0，+∞）單調(diào)遞增，所以f（x0）≤f（3）＝﹣e3﹣3，當(dāng)且僅當(dāng)x0＝3時(shí)，f（x0）取得最大值﹣e3﹣3，所以k＝＝．22．（2022?臨沭縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知函數(shù)f（x）＝．（1）討論f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）證明：f（x）．【答案】（1）f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)．（2）證明詳情見(jiàn)解答．【解答】解：（1）f（x）＝﹣＝，f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞），設(shè)g（x）＝xex﹣x﹣1，因?yàn)間（0）≠0，所以f（x）與g（x）有相同的零點(diǎn)，由g（x）＝xex﹣x﹣1，得g′（x）＝ex（x+1）﹣1，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，又g（0）＝﹣1＜0，g（﹣2）＝1﹣＞0，g（1）＝e﹣2＞0，所以g（x）在（﹣2，0）和（0，1）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，所以f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)．（2）證明：f（x）≥為﹣≥（x＞0），即﹣≥0，即證ex﹣≥0，設(shè)F（x）＝ex﹣，則F′（x）＝，令h（x）＝x2ex+lnx，則h′（x）＝ex（x2+2x）+＞0，所以h（x）＝x2ex+lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又h（1）＝e＞0，h（）＝﹣1＝﹣1＜0，所以存在x1∈（，1），使得h（x1）＝e+lnx1＝0，①所以當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，h（x）＜0，即F′（x）＜0，F(xiàn)（x）在（0，x1）上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x1，+∞）時(shí)，h（x）＞0，即F′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（x1，+∞）上單調(diào)遞增，則F（x）min＝F（x1）＝e﹣②，由①得x1e＝﹣lnx1＝ln＝ln?e，設(shè)φ（x）＝xex，φ′（x）＝ex+xex＝（x+1）ex，所以在（0，+∞）上，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，所以x1＝ln③，將③代入②，得F（x）min＝0，所以F（x）≥0，即f（x）≥．23．（2022秋?信陽(yáng)月考）已知函數(shù)f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣3（a∈R）．（1）求f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程；（2）若對(duì)于任意的，都有2f（x）≥g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）y＝2x﹣e；（2）（﹣∞，4]．【解答】解：（1）由f（x）＝xlnx，可得f'（x）＝lnx+1，所以切線的斜率k＝f'（e）＝2，又f（e）＝e，所以f（x）在（e，f（e））處的切線方程為y﹣e＝2（x﹣e），即y＝2x﹣e；（2）由2f（x）≥g（x）對(duì)于任意的恒成立，則2xlnx≥﹣x2+ax﹣3對(duì)于任意的恒成立，即對(duì)于任意的恒成立，令h（x）＝，，只需滿足a≤h（x）min，又h′（x）＝，因?yàn)?，所以由h′（x）＝0得x＝1，當(dāng)時(shí)，h′（x）＜0，則h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)1＜x＜e時(shí)，h（x）＞0，則h（x）單調(diào)遞增，所以h（1）為極小值且為最小值，又h（1）＝4，所以a≤4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，4]．24．（2022秋?湖北月考）已知函數(shù)f（x）＝（k≠0），e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)k＝1時(shí)，設(shè)f（x）的最小值為m，求證：m＜；（2）求證：當(dāng)k≥時(shí)，f（x）≥0．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解答．【解答】