專題05 圓錐曲線中的定點(diǎn)問題(教師版)

專題05圓錐曲線中的定點(diǎn)問題一、多選題1．設(shè)A，B是拋物線上的兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，下列結(jié)論成立的是（）A．若，則B．若，直線AB過定點(diǎn)C．若，到直線AB的距離不大于1D．若直線AB過拋物線的焦點(diǎn)F，且，則【答案】ACD【分析】設(shè)直線方程為，將直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線垂直的條件，逐一分析判斷得解.【詳解】B.設(shè)直線方程為，，，，，將直線方程代入拋物線方程，得，則，，，，．于是直線方程為，該直線過定點(diǎn)．故不正確；C.到直線的距離，即正確；A.．正確；D.由題得,所以，不妨取.所以，所以直線AB的方程為，所以.由題得=.所以.所以D正確.故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的綜合問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力．解題的關(guān)鍵是靈活利用韋達(dá)定理和拋物線的定義.2．設(shè)是拋物線上兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，下列結(jié)論正確的為（）A．為定值 B．直線過拋物線的焦點(diǎn)C．最小值為16 D．到直線的距離最大值為4【答案】ACD【分析】由拋物線方程及斜率公式即可判斷A；設(shè)直線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷B；利用韋達(dá)定理求得的最小值，即可判斷C；由直線過定點(diǎn)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)直線，代入可得，所以，即，所以直線過點(diǎn)，而拋物線的焦點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又直線過點(diǎn)，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以到直線的距離最大值為4，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線的方程合理化簡(jiǎn)及韋達(dá)定理的應(yīng)用，細(xì)心計(jì)算即可得解.二、單選題3．已知直線與橢圓總有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．且【答案】D【分析】由直線恒過點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，為使直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，只需點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，所以，即.又，所以且.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于直線恒過的點(diǎn)在橢圓上或橢圓的內(nèi)部，屬于中檔題.三、解答題4．已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(2，m)(m＞0)在拋物線上，且|MF|＝2.（1）求拋物線C的方程；（2）若點(diǎn)P(x0，y0)為拋物線上任意一點(diǎn)，過該點(diǎn)的切線為l0，證明：過點(diǎn)F作切線l0的垂線，垂足必在x軸上.【答案】（1）x2＝4y；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可得m＋＝2，再由2pm＝4，即可求解.（2）討論x0＝0或x0≠0，利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)P處的切線的方程l0，再求出過點(diǎn)F且與切線l0垂直的方程，兩方程聯(lián)立求出交點(diǎn)即可求解.【詳解】（1）由拋物線的定義可知，|MF|＝m＋＝2，①又M(2，m)在拋物線上，所以2pm＝4，②由①②解得p＝2，m＝1，所以拋物線C的方程為x2＝4y.（2）證明：①當(dāng)x0＝0，即點(diǎn)P為原點(diǎn)時(shí)，顯然符合；②x0≠0，即點(diǎn)P不在原點(diǎn)時(shí)，由（1）得，x2＝4y，則y′＝x，所以拋物線在點(diǎn)P處的切線的斜率為x0，所以拋物線在點(diǎn)P處的切線l0的方程為y－y0＝x0(x－x0)，又＝4y0，所以y－y0＝x0(x－x0)可化為y＝x0x－y0.又過點(diǎn)F且與切線l0垂直的方程為y－1＝－x.聯(lián)立方程得消去x，得y＝－(y－1)－y0.(*)因?yàn)椋?y0，所以(*)可化為y＝－yy0，即(y0＋1)y＝0，由y0＞0，可知y＝0，即垂足必在x軸上.綜上，過點(diǎn)F作切線l0的垂線，垂足必在x軸上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出切線方程以及切線的垂線方程，綜合性比較強(qiáng)，考查了計(jì)算求解能力.5．已知拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(2，y0)是E上一點(diǎn)，且|AF|＝2.（1）求E的方程；（2）設(shè)點(diǎn)B是E上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，直線AB與直線y＝x－3交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線交E于點(diǎn)M，證明：直線BM過定點(diǎn).【答案】（1）x2＝4y；（2）證明見解析.【分析】（1）利用拋物線的定義與性質(zhì)求得的值，即可寫出拋物線方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，由直線的方程和拋物線方程聯(lián)立，消去，利用韋達(dá)定理和、、三點(diǎn)共線，化簡(jiǎn)整理可得的方程，從而求出直線所過的定點(diǎn)．【詳解】（1）由題意得，解得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，，由軸以及點(diǎn)在直線上，得，則由、、三點(diǎn)共線，得，整理得，將韋達(dá)定理代入上式并整理得，由點(diǎn)的任意性，得，得，所以，直線的方程為，即直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線和拋物線的位置關(guān)系，以及直線過定點(diǎn)的應(yīng)用問題，利用韋達(dá)定理處理由、、三點(diǎn)共線是解第二問的關(guān)鍵，是中檔題．6．已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，-1）和拋物線.，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A的動(dòng)直線交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖:（1）若△POM的面積為，求向量與的夾角；（2）證明:直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用得到兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積，根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式可得向量與的數(shù)量積，根據(jù)三角形的面積公式可求得向量與的夾角；（2）利用和得到的縱坐標(biāo)的關(guān)系式，利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，結(jié)合的縱坐標(biāo)的關(guān)系式可得直線過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，即，所以，所以設(shè)∠POM=α，則所以，所以，所以又，所以.故向量與向量的夾角為.(2)設(shè)點(diǎn)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，，即，即，則，即，又，所以，因?yàn)椋灾本€的方程是，即，即，由知，代入上式，得由此可知直線PQ過定點(diǎn)E（1，－4）.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問利用和得到的縱坐標(biāo)的關(guān)系式，并利用此關(guān)系式得到直線的方程是解題關(guān)鍵.7．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的焦距為，離心率為，直線與交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，（0，2）.【分析】（1）利用焦距和離心率解參數(shù)，即得方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到兩根和與差的關(guān)系，再利用向量數(shù)量積計(jì)算求得參數(shù)m，即證得結(jié)論，得到定點(diǎn).【詳解】（1）由題意知，，∴橢圓C的方程為：；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，所以，，所以，＝，因?yàn)椋?，，所以，整理得?m2﹣m﹣10＝0，解得：m＝2或（舍去），故直線為：.所以直線l過定點(diǎn)（0，2）.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中求直線過定點(diǎn)的問題，通常需要聯(lián)立方程，得到二次方程后利用韋達(dá)定理、結(jié)合題中條件（比如斜率關(guān)系，向量關(guān)系，距離關(guān)系，面積等）直接計(jì)算，即可求出結(jié)果，這類題運(yùn)算量較大.8．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1）求拋物線的方程及其相應(yīng)準(zhǔn)線方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的兩條直線分別交拋物線于和四點(diǎn)，其中.設(shè)線段和的中點(diǎn)分別為過點(diǎn)作垂足為證明：存在定點(diǎn)使得線段長(zhǎng)度為定值.【答案】（1）；準(zhǔn)線；（2）存在，【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線即可求解，再由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得準(zhǔn)線.（2）設(shè)出直線：，直線：，將直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出、，從而求出直線，，將兩直線聯(lián)立求出交點(diǎn)，得到點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，從而可得定點(diǎn)為圓心.【詳解】（1）將點(diǎn)代入拋物線，可得，解得，所以拋物線方程：，準(zhǔn)線.（2）由題意可得直線：，直線：，聯(lián)立，整理可得，設(shè)，，則，，所以，同理，，設(shè)，：，：，聯(lián)立，解得，，整理可得，即，所以點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，故的坐標(biāo)為，線段長(zhǎng)度為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出直線，的交點(diǎn)，得到點(diǎn)的軌跡方程，考查了運(yùn)算求解能力.9．設(shè)、分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，，直線過且垂直于x軸，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，連接A、B、，所組成的三角形為等邊三角形.（1）求橢圓C的方程；（2）過右焦點(diǎn)的直線m與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，試問：橢圓C上是否存在點(diǎn)P，使成立？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）橢圓；（2）存在，.【分析】（1）根據(jù)得到，計(jì)算，，得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)點(diǎn)和直線，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到，，轉(zhuǎn)為為點(diǎn)在橢圓上，帶入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由可得，等邊三角形中：，，則，得，又因?yàn)?，所以，則橢圓；（2）設(shè)、，則由題意知的斜率為一定不為，故不妨設(shè)，代入橢圓的方程中：，整理得，滿足.由韋達(dá)定理有：，①且②假設(shè)存在點(diǎn)，使成立，則其充要條件為：點(diǎn)在橢圓上，即.整理得，又在橢圓上，即，，故由①②代入：，解得，驗(yàn)證則.【點(diǎn)睛】橢圓內(nèi)的存在性問題，設(shè)而不求，利用韋達(dá)定理，將題目轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在橢圓上是解題的關(guān)鍵，計(jì)算量較大，需要平時(shí)多訓(xùn)練.10．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，短軸長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)、），求的值；（3）過點(diǎn)作一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為.試問：直線與是否交于定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，否則說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）是，.【分析】（1）由題意，列出所滿足的等量關(guān)系式，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，求得，從而求得橢圓的方程；（2）寫出，設(shè)，利用斜率坐標(biāo)公式求得兩直線斜率，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，得出，從而求得結(jié)果；（3）設(shè)直線的方程為：，，則，聯(lián)立方程可得：，結(jié)合韋達(dá)定理，得到，結(jié)合直線的方程，得到直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可知，，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）,設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，，又，.（3）設(shè)直線的方程為：，，則，聯(lián)立方程可得：，所以，所以，又直線的方程為：，令，則，所以直線恒過，同理，直線恒過，即直線與交于定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)橢圓的問題，解題思路如下：（1）根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，建立方程組求得橢圓方程；（2）根據(jù)斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，整理求得斜率之積，可以當(dāng)結(jié)論來用；（3）將直線與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，結(jié)合直線方程，求得其過的定點(diǎn).11．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線交動(dòng)點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)直線繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試探究：是否存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線．【分析】（1）設(shè)，由化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理得，橢圓的對(duì)稱性知，若存在定點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上，設(shè)，根據(jù)列式，結(jié)合可求出.【詳解】（1）設(shè)，則，化簡(jiǎn)得故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．（2）由題知且直線斜率存在，設(shè)為，則直線方程為由得設(shè)，則，由橢圓的對(duì)稱性知，若存在定點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上故假設(shè)存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線，則且又，即化簡(jiǎn)得將式代入上式得化簡(jiǎn)得故存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由橢圓的對(duì)稱性知，若存在定點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上是解題關(guān)鍵.12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三條曲線：①；②；③.請(qǐng)從中選擇合適的一條作為曲線C，使得曲線C滿足：點(diǎn)F(1，0)為曲線C的焦點(diǎn)，直線y=x-1被曲線C截得的弦長(zhǎng)為8.（1）請(qǐng)求出曲線C的方程；（2）設(shè)A，B為曲線C上兩個(gè)異于原點(diǎn)的不同動(dòng)點(diǎn)，且OA與OB的斜率之和為1，過點(diǎn)F作直線AB的垂線，垂足為H，問是否存在定點(diǎn)M，使得線段MH的長(zhǎng)度為定值?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和線段MH的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）；【分析】（1）利用焦點(diǎn)以及弦長(zhǎng)排除①②，從而可得，進(jìn)而求出拋物線.（2）、的斜率存在且不為，不可能是斜率為的直線，設(shè)方程：，與拋物線聯(lián)立，設(shè)，，利用韋達(dá)定理求出，再將、方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)，過點(diǎn)，觀察兩個(gè)定點(diǎn)，，由，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可證出.【詳解】（1）對(duì)于②，，故排除②；假設(shè)①為曲線C，則有，解得，將直線代入，整理可得，解得，此時(shí)弦長(zhǎng)為，故排除①；所以曲線C為③，則，解得，所以曲線C的方程為.（2）易知、的斜率存在且不為，不可能是斜率為的直線，設(shè)方程：，代入，可得，，設(shè)，，則，，且，解得，聯(lián)立、方程，即，解得，，已知過點(diǎn)，不妨猜測(cè)可能為，則，此時(shí)不滿足為定值，觀察兩個(gè)定點(diǎn)，，由于，故在以為直徑的圓上，的中心為圓心，圓心到的距離恒為.中點(diǎn)為，，所以定點(diǎn)M，線段MH的長(zhǎng)度為定值，且.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)焦點(diǎn)以及弦長(zhǎng)確定曲線C，解題的關(guān)鍵是求出直線過點(diǎn)，圍繞以及焦點(diǎn)，進(jìn)行求解，考查了考生的計(jì)算求解能力.13．.已知圓，點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．（1）當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若的外接圓為圓N，試問：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【答案】（1）或；（2）過定點(diǎn)；定點(diǎn)，.【分析】（1）設(shè)，解方程，即得解；（2）求出圓N方程：，解方程即得解.【詳解】（1）由題可知，圓M的半徑，設(shè)，因?yàn)镻A是圓M的一條切線，所以，所以，解得或，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.（2）設(shè)，因?yàn)?，所以?jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，其方程為，即，由，解得或，所以圓過定點(diǎn)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)問題：對(duì)滿足一定條件曲線上兩點(diǎn)連結(jié)所得直線過定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過定點(diǎn)問題，證明直線過定點(diǎn)，一般有兩種方法.（1）特殊探求，一般證明：即可以先考慮動(dòng)直線或曲線的特殊情況，找出定點(diǎn)的位置，然后證明該定點(diǎn)在該直線或該曲線上（定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點(diǎn).14．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交橢圓于?兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線是線段的垂直平分線，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，直線過定點(diǎn).【分析】（1）由拋物線的焦點(diǎn)為，求得c，再根據(jù)橢圓的離心率求解.（2）設(shè)，，利用點(diǎn)差法結(jié)合線段的中點(diǎn)為，求得線段的垂直平分線的方程即可.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，則.橢圓的離心率，則.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，故，且直線的斜率不為.當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)，，則有，，兩式相減得.由線段的中點(diǎn)為，則，故直線的斜率.因?yàn)橹本€是線段的垂直平分線，故直線，即.令，此時(shí)，于是直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易知，此時(shí)直線，故直線過定點(diǎn).綜上所述，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)問題的常見解法：①假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；②從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意．15．已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作直線與橢圓相較于，兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得兩條不同直線，恰好關(guān)于軸對(duì)稱，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）存在，使得兩條不同直線，恰好關(guān)于軸對(duì)稱.【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，結(jié)合離心率公式及，即可求出，進(jìn)而可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立，可得，的表達(dá)式，根據(jù)題意可得，直線，的斜率互為相反數(shù)，列出斜率表達(dá)式，計(jì)算化簡(jiǎn)，即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）有題意可得，解得，所以橢圓的方程為.（2）存在定點(diǎn)，滿足直線，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)直線l的方程為，由，聯(lián)立得，，設(shè)，定點(diǎn)，由題意得，所以，因?yàn)橹本€，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，所以直線，的斜率互為相反數(shù)，所以，即，所以，即，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，直線，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，即.綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使直線，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程及幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題，解題的關(guān)鍵是將條件：直線，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為直線，的斜率互為相反數(shù)，再根據(jù)韋達(dá)定理及斜率公式，進(jìn)行求解，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在直線上且不在x軸上，直線與橢圓E的交點(diǎn)分別為A、B，直線與橢圓E的交點(diǎn)分別為C、D．（1）設(shè)直線、的斜率分別為、，求的值（2）問直線m上是否點(diǎn)P，使得直線OA，OB，OC，OD的斜率，，，滿足若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）2；（2）存在；點(diǎn)P的坐標(biāo)是或或.【分析】（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，由斜率公式化簡(jiǎn)即可得解；（2）按照、的斜率是否都存在討論，當(dāng)斜率均存在時(shí)，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得或，再代入斜率公式即可得解.【詳解】（1）由條件知，設(shè)點(diǎn)，則，所以（2）設(shè)存在點(diǎn)符合條件，當(dāng)直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時(shí)，則，不合題意；當(dāng)直線、的斜率均存在時(shí)，設(shè)直線、的斜率分別為、，則直線：，直線：，設(shè)，聯(lián)立，消去y得，，所以，所以，同理可得，由得，所以或，又，所以或解得舍去，，，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是或或.【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是設(shè)出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線斜率的關(guān)系，利用斜率公式可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，整個(gè)過程中要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.17．已知直線l：x=my+1過橢圓C：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A?B兩點(diǎn)，點(diǎn)A?B在直線G：x=a2上的射影依次為點(diǎn)D?E.（1）若，其中O為原點(diǎn)，A2為右頂點(diǎn)，e為離心率，求橢圓C的方程；（2）連接AF，BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE，BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由.【答案】（1）（2）相較于定點(diǎn)，，證明見解析.【分析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，由已知等式可得，進(jìn)而得到，，即可得到橢圓方程；（2）當(dāng)時(shí)，求得，的交點(diǎn)，猜想定點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，分別設(shè)，的坐標(biāo)為，，，，由題意可得，，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合三點(diǎn)共線的性質(zhì)，計(jì)算直線，的斜率，可判斷，，共線，同理可判斷，，共線，即可得到定點(diǎn)．【詳解】（1）橢圓的方程為，設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，由，可得，即有，即，解得，則，，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)時(shí)，直線垂直于軸，可得四邊形為矩形，直線，相交于點(diǎn)，，猜想定點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，分別設(shè)，的坐標(biāo)為，，，，由題意可得，，由可得，，，由，，由，又，則，即，所以，，三點(diǎn)共線；同理可得，，三點(diǎn)共線．則直線，相交于一定點(diǎn)，．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線和橢圓的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線在第一象限相切于點(diǎn)，點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)任作直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，請(qǐng)判斷軸上是否存點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線，的距離都相等.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在；點(diǎn)的坐標(biāo)為.【分析】（1）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式等于0，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為可得結(jié)果；（2）設(shè)直線，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，設(shè)，，點(diǎn)，聯(lián)立方程消去整理成關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到和，將點(diǎn)到直線，的距離都相等轉(zhuǎn)化為直線，的斜率互為相反數(shù)，根據(jù)可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，，由，因?yàn)?，解得（舍），所以由可得，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，設(shè)，，點(diǎn)，聯(lián)立方程消去整理得，可得，，若點(diǎn)到直線，的距離相等，則直線，的斜率互為相反數(shù)，有（先假設(shè)，），可得，整理得，，得對(duì)任意的都成立，得.顯然且.故存在這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是將點(diǎn)到直線，的距離都相等轉(zhuǎn)化為直線，的斜率互為相反數(shù)，然后根據(jù)可得結(jié)果.本題考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力．轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題．19．已知橢圓E：的離心率為，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知Q(4，0)，斜率為的直線(不過點(diǎn)Q)與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo).【分析】（1）根據(jù)橢圓定義可求得a的值，根據(jù)離心率為，可求得c的值，根據(jù)可求得b的值，即可求得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，直線l：，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，可求得，的表達(dá)式，根據(jù)，可得直線AQ、BQ傾斜角互補(bǔ)，斜率相反，化簡(jiǎn)整理，即可求得直線過的定點(diǎn).【詳解】（1）由橢圓定義可知，，，所以c=1，又，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）直線l過定點(diǎn)，證明如下：設(shè)，直線l：，聯(lián)立方程，得，，得，，因?yàn)椋?，所以，即，所以，即，代入，得，化?jiǎn)整理得，滿足，則直線l方程為：，所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程求法及幾何性質(zhì)，解題的突破點(diǎn)在于根據(jù)，分析可得直線AQ、BQ傾斜角互補(bǔ)，斜率相反，根據(jù)斜率公式，列式計(jì)算即可，考查計(jì)算求值，分析理解的能力，屬中檔題.20．設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，直線方程：，直線與直線分別相交于兩點(diǎn)，交軌跡與點(diǎn)（1）求點(diǎn)的軌跡方程.（2）求證：三點(diǎn)共線（3）求證：以為直徑的圓過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）設(shè)，化簡(jiǎn)即得點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)方程為，證明即得證；（3）先求出圓方程為，即得解.【詳解】（1）設(shè)，由題意，由已知有化簡(jiǎn)得（2）設(shè)方程為，令得點(diǎn)，由消元得：顯然恒成立由，且，得：代入直線方程得，又因?yàn)?，所以：，所以直線為：，令得點(diǎn)，，聯(lián)立方程，消去得：所以，，因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.（3）設(shè)以為直徑的圓上點(diǎn)，則，所以圓方程為即當(dāng)時(shí)與無關(guān)，所以以為直徑的圓過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)滿足一定條件曲線上兩點(diǎn)連結(jié)所得直線過定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過定點(diǎn)問題，證明直線過定點(diǎn)，一般有兩種方法.（1）特殊探求，一般證明：即可以先考慮動(dòng)直線或曲線的特殊情況，找出定點(diǎn)的位置，然后證明該定點(diǎn)在該直線或該曲線上（定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點(diǎn).21．已知橢圓，以拋物線的焦點(diǎn)為橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，與直線相交于Q點(diǎn)，P是橢圓E上一點(diǎn)，且滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試問在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）利用橢圓以拋物線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且離心率為，求出，即可求橢圓E的方程；（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理確定P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，再利用向量的數(shù)量積公式，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)即為橢圓E的頂點(diǎn)，即，∵離心率為，，∴橢圓E的方程為；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則直線方程代入橢圓方程，可得，代入橢圓方程可得設(shè)T（t，0），Q（﹣4，m﹣4k），，∴∴要使為定值，只需∴在x軸上存在一點(diǎn)T（，0），使得．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．22．已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、，其中、為切點(diǎn).（1）證明：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線交橢圓于、兩點(diǎn)，、分別是、的面積，求的最小值.【答案】（1）定點(diǎn)坐標(biāo)為，證明見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)、、，寫出直線、的方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩直線方程，可得出，可得知點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足直線的方程，可得出直線的方程，由此可求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求得，由題意可知直線不與軸重合，可設(shè)直線的方程為，將該直線方程分別與拋物線、橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得出關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而可求得的最小值.【詳解】（1）先證明出拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為，由于點(diǎn)在拋物線上，則，聯(lián)立，消去得，，即，所以，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，此時(shí)，因此，直線與拋物線相切，且切點(diǎn)為.設(shè)點(diǎn)、，則以為切點(diǎn)的切線方程為，同理以為切點(diǎn)的切線方程為，兩條切線均過點(diǎn)，，即，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足直線的方程，所以，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，所以，直線過定點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則.由題意可知，直線不與軸重合，可設(shè)直線的方程為，設(shè)、，由，得，恒成立，由韋達(dá)定理得，，由弦長(zhǎng)公式可得，由，得，恒成立.由韋達(dá)定理得，，由弦長(zhǎng)公式得.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線過定點(diǎn)的證明，同時(shí)也考查了三角形面積比值最值的求解，考查了切點(diǎn)弦方程的應(yīng)用以及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于難題.23．已知橢圓的離心率為，其短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線，過橢圓右焦點(diǎn)的直線（不與軸重合）與橢圓相交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．①求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；②點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）①證明見解析；定點(diǎn)為；②．【分析】（1）根據(jù)離心率和短軸長(zhǎng)求出后，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①設(shè)直線，代入，得，根據(jù)韋達(dá)定理得和，根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線的方程，令，得，利用和化簡(jiǎn)可得，故可證直線過定點(diǎn)；②根據(jù)，再換元可求得最大值.【詳解】（1）由題意可得，解得，故橢圓的方程為．（2）由對(duì)稱性，若直線過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必在軸上，①由題得，設(shè)直線，設(shè)，，，聯(lián)立方程，得，（*）所以有，，且，因?yàn)椋灾本€的方程為，令，得，（**）將代入（**），則，故直線過定點(diǎn)，即定點(diǎn)為．②在（*）中，，所以，又直線過定點(diǎn)，∴，令，則在上單調(diào)遞減，故當(dāng)，時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了直線過定點(diǎn)問題，考查了面積問題，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.24．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程（2）過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另一點(diǎn)A，B，求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析，.【分析】（1）由已知得，從而可求出的值，進(jìn)而可得橢圓的方程；（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，由可得，從而可得，由此可得或，進(jìn)而可得直線方程恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，由可求出坐標(biāo)，從而可得直線方程，再驗(yàn)證直線是否過定點(diǎn)即可【詳解】（1）解：由已知得故所求橢圓的方程為．（2）證明：①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與橢圓C聯(lián)立消去y得，．設(shè)，，則．因?yàn)?，所以，，，代入韋達(dá)定理，整理得，解得或．若，則直線AB的方程為，過點(diǎn)M，不符題意；若，則直線AB的方程為，恒過點(diǎn)；②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，由解得或(舍)，此時(shí)直線AB也過點(diǎn)．綜上知，直線AB恒過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】此題考查橢圓方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力和分類思想，屬于中檔題25．已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)，橢圓的兩頂點(diǎn)分別為，，M為橢圓上除A，B之外的任意一點(diǎn)，直線MA，BM的斜率之積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）若P為橢圓短軸的上頂點(diǎn)，斜率為的直線不經(jīng)過P點(diǎn)且與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)直線PE，PF的斜率分別為，且，試問直線是否過定點(diǎn)，若是，求出這定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)（2，-1）.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)MA，BM的斜率之積為，可得，又M在橢圓上，所以，聯(lián)立方程，可解得，又根據(jù)題意，即可求得橢圓方程.（2）設(shè)，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得的表達(dá)式，根據(jù)題意，代入求解可得，代入直線，即可求得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意知，設(shè)點(diǎn)，則①，又點(diǎn)M在橢圓上，所以②，①②聯(lián)立可得，即，又及，解得：所以橢圓方程為：.（2）直線過定點(diǎn)（2，-1），證明如下：設(shè)直線：，，聯(lián)立方程，整理得：，，，所以=，代入得：，化簡(jiǎn)得，此時(shí)，所以存在k使得成立，所以直線l的方程為：，即，所以直線l恒過定點(diǎn)（2，-1）【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)與方程，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立直線與曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得的表達(dá)式，再結(jié)合題意，代入求解即可，計(jì)算量偏大，考查計(jì)算化簡(jiǎn)，分析理解的能力，屬中檔題.四、填空題26．設(shè)拋物線上兩點(diǎn)A，B位于x軸的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為4，則直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是______.【答案】.【分析】設(shè)A，B同在第一象限，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線的方程，消去y，可得x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得k，b的關(guān)系式，再由直線恒過定點(diǎn)的求法，可得所求定點(diǎn).【詳解】可設(shè)A，B同在第一象限，設(shè)直線的方程為，代入拋物線，可得，則，設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為，，可得，即，或，則直線的方程為，即，則直線恒過定點(diǎn)，若，則，直線過點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線相交的兩個(gè)交點(diǎn)在軸的異側(cè)，故舍去.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用直線與拋物線的位置關(guān)系求直線過定點(diǎn)問題時(shí)，常采用設(shè)出直線，與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知條件求得的關(guān)系，求得直線所過的定點(diǎn).新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練共39講（附解析版）目錄如下。全套39講（附解析）word版本見：高考