專題10 數(shù)列求和方法之錯位相減法(教師版)

專題10數(shù)列求和方法之錯位相減法一、單選題1．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=7，S6=63，則數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為（）A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2nC．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n【答案】D【分析】利用已知條件列出方程組求解即可得，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再利用錯位相減法求和即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，易知q≠1，所以由題設(shè)得，兩式相除得1+q3=9，解得q=2，進(jìn)而可得a1=1，所以an=a1qn-1=2n-1，所以nan=n×2n-1.設(shè)數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，兩式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=-1+(1-n)×2n，故Tn=1+(n-1)×2n.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問題以及利用錯位相減法求和的問題.屬于較易題.二、解答題2．在公差不為零的等差數(shù)列中，前五項(xiàng)和，且，，依次成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（）.（1）求及；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合等比中項(xiàng)的應(yīng)用，列方程求出公差，進(jìn)而得出數(shù)列；當(dāng)時，由可得，兩式作差并利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算出；（2）利用錯位相減法計(jì)算出數(shù)列的前項(xiàng)和為．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.因?yàn)?，所以；又，，依次成等比?shù)列，所以，所以.即，解得（舍）或，所以，即.當(dāng)時，即，所以；當(dāng)時，由可得，相減得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以.（2），所以，則，相減得，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生計(jì)算能力，數(shù)列求和的方法如下：1.公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計(jì)算即可；2.裂項(xiàng)相消法，通過把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差，在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；3.錯位相減法，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時使用此方法；4.倒序相加法，如果一個數(shù)列滿足首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和相等，可以使用此方法求和．3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n﹣1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝()x，數(shù)列{bn}滿足條件b1＝f(﹣1)，f(bn+1)．①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，②設(shè)cn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】(1)an＝2n，n∈N*；(2)①bn＝3n﹣1；②Tn＝5．【分析】（1）利用及可得通項(xiàng)公式；（2）①化簡關(guān)系式，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得數(shù)列是等差數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式；②由錯位相減法求和．【詳解】(1)由Sn＝2n﹣1，即Sn＝2n+1﹣2，當(dāng)n＞1時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝(2n+1﹣2)﹣(2n﹣2)＝2n，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2，滿足上式．則有數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n，n∈N*；(2)①f(x)＝()x，b1＝2，f(bn+1)．可得()()，即有bn+1＝bn+3，可得{bn}以2首項(xiàng)和3為公差的等差數(shù)列，即有bn＝3n﹣1；②cn，前n項(xiàng)和Tn＝25()2+…+(3n﹣4)()+(3n﹣1)()n，Tn＝2()2+5()3+…+(3n﹣4)()n+(3n﹣1)()n+1，相減可得，Tn()2+…+3()+3()﹣(3n﹣1)()n+1(3n﹣1)()n+1，化簡可得，前n項(xiàng)和Tn＝5．【點(diǎn)睛】本題考查由求，考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯位相減法求和．?dāng)?shù)列求和的常用方法：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；（（2）錯位相減法：數(shù)列的前項(xiàng)和應(yīng)用錯位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；數(shù)列（為常數(shù)，）的前項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法；（4）分組（并項(xiàng)）求和法：數(shù)列用分組求和法，如果數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)正負(fù)相間等特征時可能用用并項(xiàng)求和法；（5）倒序相加法：滿足（為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和．4．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.（1）求及；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求并證明：.【答案】（1），；（2），證明見解析.【分析】（1）利用可求出，由可得，兩式相減整理可得，從而可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出，（2）先利用錯位相法求出，再利用放縮法可證得結(jié)論【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；符合上式，所以.當(dāng)時，即，所以；當(dāng)時，由可得，相減得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以.（2），所以，則，相減得，所以.因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法通常有：（1）公式法；（2）錯位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；（4）分組求和法；（5）倒序相加法5．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，若，且、、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用已知條件得出關(guān)于的方程，求出的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，然后利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，、、成等比數(shù)列，則，即，整理得，，.因此，；（2）由（1）可得.，①（2）.①②得，因此，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求解；（2）對于型數(shù)列，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝3an－3，其中n∈N*．（1）證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（2）設(shè)bn＝2n－1，cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系作差法即可證明；（2）利用錯位相減求和法即可求出答案．【詳解】（1）因?yàn)椋?-------①所以當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，---------②由①-②并整理得，，由上遞推關(guān)系得，所以，故數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，（2）由（1）得：，又因?yàn)椋?，所以，，兩式相減得：，即：，整理可得：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：（1）解題關(guān)鍵在于利用遞推式得到，和，利用作差法求出；（2）解題關(guān)鍵在于列出，，利用錯位相消求和法進(jìn)行求解，難度屬于中檔題7．已知等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）用等比數(shù)列基本量計(jì)算表示出已知條件，解方程即可求得公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果；（2）把（1）中求得的結(jié)果代入，求出，利用錯位相減法求出【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知：，∴，即.∴，，即.(2)，∴.①.②①－②得∴.【點(diǎn)睛】錯位相減法求和的方法：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解;在寫“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（3）若存在正整數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用，求得，注意檢驗(yàn)首項(xiàng).（2），錯位相減法求和得解.（3）當(dāng)時，若為奇數(shù)，則，單調(diào)遞增；若為偶數(shù)，則，單調(diào)遞減，利用數(shù)列單調(diào)性得解.【詳解】（1）因?yàn)椋援?dāng)時，，所以，因?yàn)?，不適合，所以.（2）由題意得當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，令，①則，②由①-②得，所以，所以.（3）由題意知，當(dāng)時，若為奇數(shù)，則，單調(diào)遞增；若為偶數(shù)，則，單調(diào)遞減，所以，因?yàn)榇嬖谡麛?shù)，使得成立，所以當(dāng)為奇數(shù)時，則，，所以，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，則，，所以，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用與的關(guān)系求通項(xiàng)及錯位相減法求和.已知求的三個步驟:(1)先利用求出.(2)用替換中的得到一個新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時的表達(dá)式．(3)對時的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．錯位相減法求和的方法：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解;在寫“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.9．已知數(shù)列滿足，.設(shè).（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由遞推關(guān)系式可得，從而可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）先由（1），根據(jù)題中條件，求出，再利用錯位相減法進(jìn)行求和可得．【詳解】（1）由，可得，即則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，，，則有兩式作差得：.10．已知等比數(shù)列滿足，.（1）定義：首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”，證明：數(shù)列是“數(shù)列”；（2）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，根據(jù)題意證明數(shù)列是“數(shù)列”；（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)求出，當(dāng)時，由等差數(shù)列的求和公式求出；當(dāng)時，由錯位相減法求出.【詳解】（1）證明：由題意可設(shè)公比為，則得：得：或∴數(shù)列是“數(shù)列”.（2）設(shè)數(shù)列的公差為易得：得：∴，得：由（1）知若，則∴若，則，∴∴①∴②①②得：∴∴.【點(diǎn)睛】對于“等差乘等比”類型的數(shù)列，一般采用錯位相減法求數(shù)列的和.11．已知等比數(shù)列的公比，且滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）根據(jù)題干已知條件可列出關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，解出與的值，即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先分為奇數(shù)和為偶數(shù)分別計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，在求前項(xiàng)和時，對奇數(shù)項(xiàng)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和，對偶數(shù)項(xiàng)運(yùn)用錯位相減法求和，最后相加進(jìn)行計(jì)算即可得到前項(xiàng)和.【詳解】（1）依題意，由，，可得，因?yàn)?，所以解得，，，，對于?shù)列：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，，.（2）由題意及（1），可知：當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，令，，則，，，兩式相減，可得，，，，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問中當(dāng)為奇數(shù)時，求出，并對進(jìn)行裂項(xiàng)為是解題關(guān)鍵，本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算，以及數(shù)列求和問題.考查了方程思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸能力，整體思想，裂項(xiàng)相消法和錯位相減法求和，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.本題屬中檔偏難題.12．已知各項(xiàng)都大于1的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，4Sn－4n＋1＝an2：數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，bn＋Tn＝1.（1）分別求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn＝anbn，若對任意的n∈N*.不等式5(λn＋3bn)－2bnSn>λn(c1＋c2＋c3＋…＋cn)恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可得，以及，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（2）利用錯位相減法求出，然后再分離參數(shù)即可求解.【詳解】（1）由題可知，①②由②-①得：，，，故或，又，（舍）或，若，則有，而，所以，不滿足題意，所以，故，，兩式相減得，，又，，是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，（2）設(shè)由（1）得，，相減得：，，又，可化為：，即，又，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了與的關(guān)系、數(shù)列求和、數(shù)列不等式，解題的關(guān)鍵是利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，分離參數(shù)，考查了計(jì)算能力.13．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列方程求解；（2）利用錯位相減法求和即可．【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，得解得所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是；（2）由（1）知則，①①式兩邊同乘以，得，②①②，得，所以．【點(diǎn)睛】(1)一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．14．記等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用作差思想可得，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式；（2）通過（1）求出的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法求其前項(xiàng)和即可.【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，所以等比數(shù)列的公比是3，所以，即，得，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，.（2）由（1）知，，故.則，，兩式相減得，，故.【點(diǎn)睛】一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解.15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)寫出，然后兩式作差結(jié)合證明為等比數(shù)列并求解出通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)（1）寫出的通項(xiàng)公式，采用錯位相減法求和，從而可求解出.【詳解】解：（1）因?yàn)?，①?dāng)時，，解得；當(dāng)時，②①②，得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，從而．（2）由（1）知，則，兩邊同乘以，得；兩式相減得，所以．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：滿足等差乘以等比形式的數(shù)列的前項(xiàng)和的求解步驟（錯位相減法）：（1）先根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的一般形式：；（2）將（1）中的關(guān)于等式的左右兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比；（3）用（1）中等式減去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一項(xiàng)減去（2）中等式的第2項(xiàng)，依次類推，得到結(jié)果；（4）利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及相關(guān)計(jì)算求解出.16．已知數(shù)列中，，.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【分析】（1）對遞推關(guān)系兩邊取倒數(shù)得，再利用構(gòu)造等比數(shù)列，即可得答案；（2）求出，再利用錯位相減求和，根據(jù)數(shù)據(jù)的單調(diào)性，可求得參數(shù)的取值范圍；【詳解】（1）由得，即，又，所以是以是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以，即.（2），所以，.兩式相減得，所以，所以.令，易知單調(diào)遞增，若為偶數(shù)，則，所以；若為奇數(shù)，則，所以，所以.綜上所述.【點(diǎn)睛】利用構(gòu)造等比數(shù)列可求解形如遞推關(guān)系的通項(xiàng)公式；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值，可求得參數(shù)的取值范圍.17．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為0，且2anan+1+an+3an+1+2＝0.（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且，若不等式(-1)nλ＜Sn+3×2n+1對一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；；（2）-14＜λ＜38.【分析】（1）通過化簡，得到，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）利用錯位相消求和法，得出，然后代入不等式，利用參變分離法求出λ的取值范圍【詳解】（1）證明：∵2anan+1+an+3an+1+2＝0，∴2(an+1)(an+1+1)+an+1-an＝0，∴2(an+1)(an+1+1)+(an+1+1)-(an+1)＝0，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.∴，∴.（2）解：由題可知bn＝(2n-1)×2n，Sn＝1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，2Sn＝1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1，兩式相減得-Sn＝1×21+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)×2n+1，，得，代入不等式中得，，化簡得，設(shè)，明顯地，該數(shù)列為遞增數(shù)列，若n為偶數(shù)，則λ＜n·2n+2+6，當(dāng)時，取最小值，此時，∴λ＜38；若n為奇數(shù)，則-λ＜n·2n+2+6，當(dāng)時，取最小值，此時，，∴-λ＜14，∴λ＞-14，綜上，-14＜λ＜38.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于，利用錯位相消求和法和參變分離法進(jìn)行求解，即先求出Sn＝2n+1(2n-3)+6，進(jìn)而不等式化簡為(-1)nλ＜n·2n+2+6，進(jìn)而利用參變分離法得到λ＜n·2n+2+6，進(jìn)而分類討論求解，屬于中檔題18．已知等比數(shù)列{an}的公比大于1，且滿足a3+a5＝90，a4＝27．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記bn＝log3an，求數(shù)列{an(bn+1)}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的公式求出、，即可寫出通項(xiàng)公式；（2）由（1）結(jié)合已知有數(shù)列{an(bn+1)}的通項(xiàng)為，利用錯位相減及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求Tn.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為，由已知得：，解之得：或(舍去)，所以，故{an}的通項(xiàng)公式.（2），所以數(shù)列{an(bn+1)}的通項(xiàng)為，∴，，即得，∴【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等比通項(xiàng)公式結(jié)合已知即可得，進(jìn)而求基本量并寫出通項(xiàng)公式，由新數(shù)列的組成得到其通項(xiàng)公式結(jié)合等差、等比的項(xiàng)積的混合型數(shù)列，應(yīng)用錯位相減即可得到一個等比數(shù)列形式，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求和.19．已知在等差數(shù)列中，，其前8項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式﹔（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知條件列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求解通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，利用錯位相減法求和.【詳解】解：（1）由，由，得，聯(lián)立，解得，故.（2），所以，①，②由①一②，得，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：一般數(shù)列求和包含：1.公式法，利用等差和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解；2.錯位相減法求和，適用于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的數(shù)列求和；3.裂項(xiàng)相消法求和，適用于能變形為，4.分組轉(zhuǎn)化法求和，適用于；5.倒序相加法求和.20．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，和的等差中項(xiàng)為.（1）求及；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列前項(xiàng)的性質(zhì)求解，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列前項(xiàng)公式求解即可；（2）由(1)得，利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，解得，所以?（2）由(1)得，①②①－②所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法：（1）等差等比公式法；（2）裂項(xiàng)相消法；（3）錯位相減法；（4）分組（并項(xiàng)）求和法；（5）倒序相加法.21．甲?乙兩名同學(xué)在復(fù)習(xí)時發(fā)現(xiàn)他們曾經(jīng)做過的一道數(shù)列題目因紙張被破壞導(dǎo)致一個條件看不清，具體如下等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知____________，（1）判斷的關(guān)系并給出證明.（2）若，設(shè)，的前n項(xiàng)和為，證明.甲同學(xué)記得缺少的條件是首項(xiàng)的值，乙同學(xué)記得缺少的條件是公比q的值，并且他倆都記得第（1）問的答案是成等差數(shù)列.如果甲?乙兩名同學(xué)記得的答案是正確的，請通過推理把條件補(bǔ)充完整并解答此題.【答案】補(bǔ)充條件見解析；（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）可補(bǔ)充公比的值，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，計(jì)算即可得所求得結(jié)論；（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，再利用乘公比錯位相減求和結(jié)合等比數(shù)列求和公式，不等式的性質(zhì)即可得證.【詳解】（1）補(bǔ)充的條件為，的關(guān)系為成等差數(shù)列.證明如下：若則，，，可得，因此成等差數(shù)列.（2）證明：由，可得，解得，則，，上面兩式相減可得.整理可得，因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題得關(guān)鍵點(diǎn)是利用成等差數(shù)列求出等比數(shù)列的公比才能求出，在利用乘公比錯位相減求和時要仔細(xì)，必要時可以用萬能公式建議求和的結(jié)果，再利用不等式的性質(zhì)即可得證.22．已知數(shù)列中，且滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）求證：對于數(shù)列，的充要條件是.【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【分析】（1）兩邊同時除以即可證明，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，即得出的通項(xiàng)公式；（2）先正充分性，由得，相減即可證出；再證必要性，利用錯位相減法求和可證明.【詳解】（1），兩邊同時除以，可得，是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，，；（2），即①，充分性：時，，時，②，①-②得，則，滿足，，充分性成立；必要性：若，則，設(shè)，，，兩式相減得：，，故，必要性成立.故得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.23．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，若，點(diǎn)在直上.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；【答案】（1）證明見解析，；（2）.【分析】（1）由點(diǎn)（Sn，Sn+1）在直線（n∈N*）上，得，對此式兩邊同除以n+1，得到，可得；根據(jù)，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，（2）求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，然后利用錯位相減法求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；【詳解】（Ⅰ），則有：數(shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列故-當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時也成立．（Ⅱ），，解得：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解及等差數(shù)列性質(zhì)，考查數(shù)列求和方法，易錯點(diǎn)點(diǎn)睛由求不檢驗(yàn)首項(xiàng)；方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的基本方法：1.公式法，2錯位性減法，3裂項(xiàng)相消，4分組求和24．已知數(shù)列，，滿足，.（1）令，證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，證明：.【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【分析】（1）由，變形得，可得，即，所以是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式.（2）由題設(shè)知，然后利用錯位相減法求，即可證得結(jié)論.【詳解】（1），，又，兩邊同除以，可得，即，所以是公差為2的等差數(shù)列.又，所以.（2）由（1）得，，則，①，②由①②，得，.又，，，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求通項(xiàng)公式與求和問題，求數(shù)列和常用的方法：（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項(xiàng)相消法；（4）等差等比數(shù)列：錯位相減法.25．已知是遞增的等差數(shù)列，、是方程的根（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）轉(zhuǎn)化條件為，，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程即可得，即可得解；（2）結(jié)合錯位相減法運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）因?yàn)榉匠痰母鶠?，，是遞增的等差數(shù)列，所以，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以；（2）由題意，，所以，，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是注意錯位相減法的應(yīng)用，要注意適用條件，細(xì)心計(jì)算.三、填空題26．求和____________.(用數(shù)字作答)【答案】【分析】利用錯位相減法求解.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得：，.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練共39講（附解析版）目錄如下。全套39講（附解析）word版本見：高考高中資料無水印無廣告word群559164877新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練01圓錐曲線中的弦長問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練02圓錐曲線中的面積問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練03圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練04圓錐曲線中的范圍問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練05圓錐曲線中的定點(diǎn)問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練06圓錐曲線中的定值問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練07圓錐曲線中的向量共線問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)