三角形的中位線-教學課件

18.1.2平行四邊形判定第十八章平行四邊形導入新課講授新課當堂練習課堂小結(jié)第3課時三角形的中位線學習目標1.理解三角形中位線的概念，掌握三角形的中位線定理.（重點）2.能利用三角形的中位線定理解決有關證明和計算問題.(重點）問題

平行四邊形的性質(zhì)和判定有哪些？導入新課復習引入邊：角：對角線：BODACAB∥CD,AD∥BCAB=CD,AD=BCAB∥CD,AD=BC∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADCAO=CO,DO=BO判定性質(zhì)我們探索平行四邊形時，常常轉(zhuǎn)化為三角形，利用三角形的全等性質(zhì)進行研究，今天我們一起來利用平行四邊形來探索三角形的某些問題吧.思考如圖，有一塊三角形蛋糕，準備平分給四個小朋友，要求四人所分的形狀大小相同，該怎樣分呢？講授新課三角形的中位線定理一概念學習定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.ABCDE如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，連接DE.則線段DE就稱為△ABC的中位線.問題1

一個三角形有幾條中位線？你能在△ABC中畫出它所有的中位線嗎？ABCDEF有三條，如圖，△ABC的中位線是DE、DF、EF.問題2

三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？中位線是連接三角形兩邊中點的線段.

中線是連結(jié)一個頂點和它的對邊中點的線段.問題3：如圖，DE是△ABC的中位線，DE與BC有怎樣的關系？DE兩條線段的關系位置關系數(shù)量關系分析：DE與BC的關系猜想：DE∥BC？度量一下你手中的三角形，看看是否有同樣的結(jié)論？并用文字表述這一結(jié)論．問題4：平行角平行四邊形或線段相等一條線段是另一條線段的一半倍長短線分析1：DE猜想：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．問題3：如何證明你的猜想？分析2：DE互相平分構(gòu)造平行四邊形倍長DE證明：DE延長DE到F，使EF=DE．連接AF、CF、DC．∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形．F∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴CF

AD

,∴CF

BD

,又∵，∴DF

BC．∴DE∥BC，．如圖，在△ABC中，點D,E分別是AB,AC邊的中點，求證：

證一證DE證明：延長DE到F，使EF=DE．F∴四邊形BCFD是平行四邊形．∴△ADE≌△CFE．∴∠ADE=∠F連接FC．∵∠AED=∠CEF，AE=CE，證法2：，AD=CF,∴BDCF．又∵，∴DF

BC．∴DE∥BC，．∴CF

AD

,

三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．DE△ABC中，若D、E分別是邊AB、AC的中點，則DE∥BC，DE=BC．三角形中位線定理：符號語言：歸納總結(jié)ABCDEF重要發(fā)現(xiàn)：①中位線DE、EF、DF把△ABC分成四個全等的三角形；有三組共邊的平行四邊形，它們是四邊形ADFE和BDEF，四邊形BFED和CFDE，四邊形ADFE和DFCE.②頂點是中點的三角形，我們稱之為中點三角形；中點三角形的周長是原三角形的周長的一半.面積等于原三角形面積的四分之一.由此你知道怎樣分蛋糕了嗎典例精析

例1

如圖，在△ABC中，D、E分別為AC、BC的中點，AF平分∠CAB，交DE于點F.若DF＝3，求AC的長解：∵D、E分別為AC、BC的中點，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝2DF＝6.123

例2如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度數(shù)．解：∵M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，∴PN，PM分別是△CDB與△DAB的中位線，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+(180°?∠NPB)=130°，∴∠PMN=(180°?130°)÷2=25°．

例3如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為AB的中點，在AB的延長線上取一點D，使BD＝AB，求證：CD＝2CE.證明：取AC的中點F，連接BF.∵BD＝AB，∴BF為△ADC的中位線，∴DC＝2BF.∵E為AB的中點，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE.F

恰當?shù)貥?gòu)造三角形中位線是解決線段倍分關系的關鍵．歸納練一練1.如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC中點．（1）

若DE=5，則BC=

．（2）

若∠B=65°，則∠ADE=

°．（3）

若DE+BC=12，則BC=

．106582.如圖，A，B兩點被池塘隔開，在A，B外選一點C，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點M，N，如果測得MN=20m，那么A，B兩點間的距離為______m．NM40例4如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．四邊形問題連接對角線三角形問題（三角形中位線定理）三角形的中位線的與平行四邊形的綜合運用二分析：證明:連接AC.∵E,F,G,H分別為各邊的中點,∴EF∥HG,EF=HG.∴EF∥AC,HG∥AC,∴四邊形EFGH是平行四邊形.

順次連結(jié)四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形.歸納【變式題】如圖，E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點．求證：四邊形EFGH為平行四邊形.證明：如圖，連接BD.∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點，∴EH是△ABD的中位線，

FG是△BCD的中位線，∴EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD，∴EH∥FG且EH=FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形.證明：∵D、E分別為AB、AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=

BC.∵CF=BC，∴DE=FC；例5如圖，等邊△ABC的邊長是2，D、E分別為AB、AC的中點，延長BC至點F，使CF=BC，連接CD和EF．（1）求證：DE=CF；例5如圖，等邊△ABC的邊長是2，D、E分別為AB、AC的中點，延長BC至點F，使CF=BC，連接CD和EF．（2）求EF的長．解：∵DE∥FC，DE=FC，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC=EF，∵D為AB的中點，等邊△ABC的邊長是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴EF=DC=．練一練1.如圖，在△ABC中，AB=6，AC=10，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點，則四邊形ADEF的周長為（）A.8B.10C.12D.16D2.如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點O，點E是CD的中點，BD=12，求△DOE的周長．解：∵?ABCD的周長為36，∴BC+CD=18．∵點E是CD的中點，∴OE是△BCD的中位線，DE=CD，∴OE=BC，∴△DOE的周長為OD+OE+DE=（BD+BC+CD）=15，即△DOE的周長為15．當堂練習2.如圖，在?ABCD中，AD=8，點E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點，則EF等于（）A.2B.3C.4D.51.如圖，在△ABC中，點E、F分別為AB、AC的中點．若EF的長為2，則BC的長為（）A.1B.2C.4D.8第2題圖第1題圖CC3.如圖，點D、E、F分別是△ABC的三邊AB、BC、AC的中點.（1）若∠ADF=50°，則∠B=

°；（2）已知三邊AB、BC、AC分別為12、10、8，則△DEF的周長為

.5015ABCDFE4.在△ABC中，E、F、G、H分別為AC、CD、BD、AB的中點，若AD=3，BC=8，則四邊形EFGH的周長是

.ABDCEFGH115.如圖，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，BD的延長線交AC于點F，E為BC的中點，求DE的長．解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴AB=AF=6，BD=DF，∴CF=AC-AF=4，∵BD=DF，E為BC的中點，∴DE=

CF=2．6.如圖，E為?ABCD中DC邊的延長線上一點，且CE＝DC，連接AE，分別交BC、BD于點F、G，連接AC交BD于O，連接OF，判斷AB與OF的位置關系和大小關系，并證明你的結(jié)論．解：AB∥OF，AB＝2OF.證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE,∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位線，∴AB∥OF，AB＝2OF.7.如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，求EF的長．解：取BC邊的中點G，連接EG、FG．∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，∴EG是△ABC的中位線，F(xiàn)G是△BCD的中位線，又BD=12，AC=16，AC⊥BD，∴EG=8，F(xiàn)G=6，EG⊥FG，∴∴EG∥AC,FG∥BD,G課堂小結(jié)三角形的中位線三角形中位線平行于第三邊，并且等于它的一半三角形的中位線定理三角形的中位線定理的應用導入新課講授新課當堂練習課堂小結(jié)20.2數(shù)據(jù)的波動程度第二十章數(shù)據(jù)的分析第2課時根據(jù)方差做決策情境引入學習目標1.能熟練計算一組數(shù)據(jù)的方差；（重點）2.能用樣本的方差估計總體的方差及根據(jù)方差做決策.（難點）導入新課方差的計算公式，請舉例說明方差的意義．方差的適用條件：當兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時，才利用方差來判斷它們的波動情況．方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越?。畯土曇胫v授新課根據(jù)方差做決策每個雞腿的質(zhì)量；雞腿質(zhì)量的穩(wěn)定性．抽樣調(diào)查．問題1某快餐公司的香辣雞腿很受消費者歡迎．現(xiàn)有甲、乙兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠到快餐公司推銷雞腿，兩家雞腿的價格相同，品質(zhì)相近．快餐公司決定通過檢查雞腿的質(zhì)量來確定選購哪家的雞腿．（1）可通過哪些統(tǒng)計量來關注雞腿的質(zhì)量？（2）如何獲取數(shù)據(jù)？例1在問題1中，檢查人員從兩家的雞腿中各隨機抽取15個，記錄它們的質(zhì)量（單位：g）如下表所示．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你認為快餐公司應該選購哪家加工廠的雞腿？

解：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是：

樣本平均數(shù)相同，估計這批雞腿的平均質(zhì)量相近．甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175

解：樣本數(shù)據(jù)的方差分別是：

由

可知，兩家加工廠的雞腿質(zhì)量大致相等；由

＜

可知，甲加工廠的雞腿質(zhì)量更穩(wěn)定，大小更均勻．因此，快餐公司應該選購甲加工廠生產(chǎn)的雞腿．例2在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)高低不等的臺階.如圖是其中的甲、乙兩段臺階路的示意圖(圖中數(shù)字表示每一階的高度，單位：cm).哪段臺階路走起來更舒服？為什么？212021191920172420171923甲乙分析：通過計算兩段臺階的方差，比較波動性大小.

∴走甲臺階的波動性更，走起來更舒適.解：∵隊員平均成績方差甲9.72.12乙9.60.56丙9.80.56丁9.61.34甲、乙、丙、丁四名射擊隊員考核賽的平均成績（環(huán)）及方差統(tǒng)計如表，現(xiàn)要根據(jù)這些數(shù)據(jù)，從中選出一人參加比賽，如果你是教練員，你的選擇是（）A.甲B.乙C.丙D.丁C練一練議一議（1）在解決實際問題時，方差的作用是什么？反映數(shù)據(jù)的波動大?。讲钤酱?數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，可用樣本方差估計總體方差．（2）運用方差解決實際問題的一般步驟是怎樣的？

先計算樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)，當兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

相等或相近時，再利用樣本方差來估計總體數(shù)據(jù)的波動情況．例3某校要從甲、乙兩名跳遠運動員中挑選一人參加一項校際比賽．在最近10次選拔賽中，他們的成績（單位:cm）如下：甲：585596610598612597604600613601乙：613618580574618593585590598624（1）這兩名運動員的運動成績各有何特點？分析：分別計算出平均數(shù)和方差；根據(jù)平均數(shù)判斷出誰的成績好，根據(jù)方差判斷出誰的成績波動大．解：(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)=601．6，s2甲≈65.84；(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)=599．3，s2乙≈284.21．由上面計算結(jié)果可知：甲隊員的平均成績較好，也比較穩(wěn)定，乙隊員的成績相對不穩(wěn)定．但甲隊員的成績不突出，乙隊員和甲隊員相比比較突出．（2）歷屆比賽表明，成績達到5.96m就很可能奪冠，你認為為了奪冠應選誰參加這項比賽？如果歷屆比賽成績表明，成績達到6.10m就能打破紀錄，那么你認為為了打破紀錄應選誰參加這項比賽．解：從平均數(shù)分析可知，甲、乙兩隊員都有奪冠的可能．但由方差分析可知，甲成績比較平穩(wěn)，奪冠的可能性比乙大．但要打破紀錄，成績要比較突出，因此乙隊員打破紀錄的可能性大，我認為為了打破紀錄，應選乙隊員參加這項比賽．做一做甲、乙兩班各有8名學生參加數(shù)學競賽，成績?nèi)缦卤恚杭?574708065666971乙6075786180626579請比較兩班學生成績的優(yōu)劣.當堂練習1.學校準備從甲、乙、丙、丁四名同學中選擇一名同學代表學校參加市里舉辦的“漢字聽寫”大賽，四名同學平時成績的平均數(shù)（單位：分）及方差s2如下表所示：如果要選出一個成績好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學參賽，那么應該選擇的同學是

.甲乙丙丁94989896

s211.211.8丙2.某籃球隊對運動員進行3分球投籃成績測試，每人每天投3分球10次，對甲、乙兩名隊員在五天中進球的個數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如下：

經(jīng)過計算，甲進球的平均數(shù)為=8，方差為．隊員每人每天進球數(shù)甲1061068乙79789（1）求乙進球的平均數(shù)和方差；（2）現(xiàn)在需要根據(jù)以上結(jié)果，從甲、乙兩名隊員中選出一人去參加3分球投籃大賽，你認為應該選哪名隊員去？為什么？3.在學校，小明本學期五次測驗的數(shù)學成績和英語成績分別如下（單位：分）數(shù)學7095759590英語8085908585通過對小明的兩科成績進行分析，你有何看法？對小明的學習你有什么建議？解：數(shù)學、英語的平均分都是85分.數(shù)學成績的方差為110，英語成績的方差為10.建議：英語較穩(wěn)定但要提高;數(shù)學不夠穩(wěn)定有待努力進步!課堂小結(jié)根據(jù)方差做決策方差方差的作用：比較數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性利用樣本方差估計總體方差導入新課講授新課當堂練習課堂小結(jié)20.2數(shù)據(jù)的波動程度第二十章數(shù)據(jù)的分析第2課時根據(jù)方差做決策情境引入學習目標1.能熟練計算一組數(shù)據(jù)的方差；（重點）2.能用樣本的方差估計總體的方差及根據(jù)方差做決策.（難點）導入新課方差的計算公式，請舉例說明方差的意義．方差的適用條件：當兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時，才利用方差來判斷它們的波動情況．方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越?。畯土曇胫v授新課根據(jù)方差做決策每個雞腿的質(zhì)量；雞腿質(zhì)量的穩(wěn)定性．抽樣調(diào)查．問題1某快餐公司的香辣雞腿很受消費者歡迎．現(xiàn)有甲、乙兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠到快餐公司推銷雞腿，兩家雞腿的價格相同，品質(zhì)相近．快餐公司決定通過檢查雞腿的質(zhì)量來確定選購哪家的雞腿．（1）可通過哪些統(tǒng)計量來關注雞腿的質(zhì)量？（2）如何獲取數(shù)據(jù)？例1在問題1中，檢查人員從兩家的雞腿中各隨機抽取15個，記錄它們的質(zhì)量（單位：g）如下表所示．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你認為快餐公司應該選購哪家加工廠的雞腿？

解：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是：

樣本平均數(shù)相同，估計這批雞腿的平均質(zhì)量相近．甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175

解：樣本數(shù)據(jù)的方差分別是：

由

可知，兩家加工廠的雞腿質(zhì)量大致相等；由

＜

可知，甲加工廠的雞腿質(zhì)量更穩(wěn)定，大小更均勻．因此，快餐公司應該選購甲加工廠生產(chǎn)的雞腿．例2在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)高低不等的臺階.如圖是其中的甲、乙兩段臺階路的示意圖(圖中數(shù)字表示每一階的高度，單位：cm).哪段臺階路走起來更舒服？為什么？212021191920172420171923甲乙分析：通過計算兩段臺階的方差，比較波動性大小.

∴走甲臺階的波動性更，走起來更舒適.解：∵隊員平均成績方差甲9.72.12乙9.60.56丙9.80.56丁9.61.34甲、乙、丙、丁四名射擊隊員考核賽的平均成績（環(huán)）及方差統(tǒng)計如表，現(xiàn)要根據(jù)這些數(shù)據(jù)，從中選出一人參加比賽，如果你是教練員，你的選擇是（）A.甲B.乙C.丙D.丁C練一練議一議（1）在解決實際問題時，方差的作用是什么？反映數(shù)據(jù)的波動大?。讲钤酱?數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，可用樣本方差估計總體方差．（2）運用方差解決實際問題的一般步驟是怎樣的？

先計算樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)，當兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

相等或相近時，再利用樣本方差來估計總體數(shù)據(jù)的波動情況．例3某校要從甲、乙兩名跳遠運動員中挑選一人參加一項校際比賽．在最近10次選拔賽中，他們的成績（單位:cm）如下：甲：585596610598612597604600613601乙：613618580574618593585590598624（1）這兩名運動員的運動成績各有何特點？分析：分別計算出平均數(shù)和方差；根據(jù)平均數(shù)判斷出誰的成績好，根據(jù)方差判斷出誰的成績波動大．解：(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)=6