測(cè)量誤差及其產(chǎn)生的原因

關(guān)于測(cè)量誤差及其產(chǎn)生的原因1第1頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三2一、觀測(cè)誤差當(dāng)對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行觀測(cè)，其觀測(cè)值與真值(客觀存在或理論值)之差，稱(chēng)為測(cè)量誤差。用數(shù)學(xué)式子表達(dá)：△i=Li–X(i=1,2…n)L—觀測(cè)值X—真值

§5-1

測(cè)量誤差概述1、儀器的原因

①儀器結(jié)構(gòu)、制造方面，每一種儀器具有一定的精確度，因而使觀測(cè)結(jié)果的精確度受到一定限制。二、測(cè)量誤差的來(lái)源測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因很多，但概括起來(lái)主要有以下三個(gè)方面：第2頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三3

例如：

DJ6型光學(xué)經(jīng)緯儀基本分劃為1′，難以確保分以下估讀值完全準(zhǔn)確無(wú)誤。使用只有厘米刻劃的普通鋼尺量距，難以保證厘米以下估讀值的準(zhǔn)確性。

②儀器構(gòu)造本身也有一定誤差。例如：水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)軸不平行，則測(cè)量結(jié)果中含有i角誤差或交叉誤差。水準(zhǔn)尺的分劃不均勻，必然產(chǎn)生水準(zhǔn)尺的分劃誤差。第3頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三4

2、人的原因

觀測(cè)者感官鑒別能力有一定的局限性。觀測(cè)者的習(xí)慣因素、工作態(tài)度、技術(shù)熟練程度等也會(huì)給觀測(cè)者成果帶來(lái)不同程度的影響。

人、儀器和外界環(huán)境通常稱(chēng)為觀測(cè)條件；觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)稱(chēng)為等精度觀測(cè)；觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)稱(chēng)為不等精度觀測(cè)。3、外界條件

例如：外界環(huán)境如溫度、濕度、風(fēng)力、大氣折光等因素的變化，均使觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)生誤差。

例如：溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮陽(yáng)光曝曬使水準(zhǔn)氣泡偏移，大氣折光使望遠(yuǎn)鏡的瞄準(zhǔn)產(chǎn)生偏差，風(fēng)力過(guò)大使儀器安置不穩(wěn)定等。第4頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三5三、測(cè)量誤差的分類(lèi)

先作兩個(gè)前提假設(shè)：①觀測(cè)條件相同.②對(duì)某一量進(jìn)行一系列的直接觀測(cè)在此基礎(chǔ)上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值、符號(hào)及變化規(guī)律。第5頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三6

先看兩個(gè)實(shí)例：例1：用名義長(zhǎng)度為30米而實(shí)際長(zhǎng)度為30.04米的鋼尺量距。丈量結(jié)果見(jiàn)下表5-1：

表5-1

尺段數(shù)

一二三四五···N觀測(cè)值306090120150···30n真實(shí)長(zhǎng)度30.0460.0890.12120.16150.20···30.04n真誤差-0.04-0.08-0.12-0.16-0.20···-0.04n可以看出：

誤差符號(hào)始終不變，具有規(guī)律性。誤差大小與所量直線成正比，具有累積性。誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的危害性很大。第6頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三7例2：

在厘米分劃的水準(zhǔn)尺上估讀毫米時(shí)，有時(shí)估讀過(guò)大，有時(shí)估過(guò)小，每次估讀也不可能絕對(duì)相等，其影響大小，純屬偶然。大氣折光使望遠(yuǎn)鏡中目標(biāo)成像不穩(wěn)定，則瞄準(zhǔn)目標(biāo)有時(shí)偏左、有時(shí)偏右?？梢钥闯觯孩?gòu)膫€(gè)別誤差來(lái)考察，其符號(hào)、數(shù)值始終變化，無(wú)任何規(guī)律性。②多次重復(fù)觀測(cè)，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。第7頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三81.系統(tǒng)誤差

----在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果出現(xiàn)的誤差在符號(hào)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱(chēng)為“系統(tǒng)誤差”。系統(tǒng)誤差具有規(guī)律性。2.偶然誤差---在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面上看沒(méi)有任何規(guī)律性，為種誤差稱(chēng)為“偶然誤差”。個(gè)別偶然誤差雖無(wú)規(guī)律，但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。3.粗差----觀測(cè)中的錯(cuò)誤叫粗差。例如：讀錯(cuò)、記錯(cuò)、算錯(cuò)、瞄錯(cuò)目標(biāo)等。錯(cuò)誤是觀測(cè)者疏大意造成的，觀測(cè)結(jié)果中不允許有錯(cuò)誤。一旦發(fā)現(xiàn)，應(yīng)及時(shí)更正或重測(cè)。引進(jìn)如下概念：第8頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三9(二)測(cè)量誤差的處理原則在觀測(cè)過(guò)程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時(shí)產(chǎn)生。系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響尤為顯著，應(yīng)盡可能地加以改正、抵消或削弱。對(duì)可能存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時(shí)間的多次觀測(cè)，消弱其影響。消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法：①檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。②求改正數(shù)：將觀測(cè)值加以改正，消除其影響。③采用合理的觀測(cè)方法：如對(duì)向觀測(cè)。研究偶然誤差是測(cè)量學(xué)的重要課題。消除或削弱偶然誤差的有效方法：①適當(dāng)提高儀器等級(jí)。②進(jìn)行多余觀測(cè)，求最或是值。第9頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三10

四、偶然誤差的特性

若△i=Li–

X（i=1,2,3,···,358）表5-2第10頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三11從表5-2中可以歸納出偶然誤差的特性⑴在一定觀測(cè)條件下的有限次觀測(cè)中，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值；⑵絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的頻率??；⑶絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的頻率；

⑷當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的理論平均值趨近于零。

用公式表示為：實(shí)踐表明：觀測(cè)誤差必然具有上述四個(gè)特性。而且，當(dāng)觀測(cè)的個(gè)數(shù)愈大時(shí)，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。第11頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三12-24-21-18-16-12-9-6–30+3+6+9+12+15+18+21+24x=△

圖5-1頻率直方圖

為了直觀地表示偶然誤差的正負(fù)和大小的分布情況，可以按表5-2的數(shù)據(jù)作誤差頻率直方圖(見(jiàn)下圖)。第12頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三13

若誤差的個(gè)數(shù)無(wú)限增大(n→∞)，同時(shí)又無(wú)限縮小誤差的區(qū)間d△，則圖5-1中各小長(zhǎng)條的頂邊的折線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱(chēng)為“正態(tài)分布曲線”，它完整地表示了偶然誤差出現(xiàn)的概率P。即當(dāng)n→∞時(shí)，上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的概率。正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為:

(5-3)

為標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差的平方為方差。方差為偶然誤差平方的理論平均值：第13頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三14正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為:

(5-3)

第14頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三15從5-3式可以看出正態(tài)分布具有前述的偶然誤差特性。即:

1.f(△)是偶函數(shù)。即絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差求得的f(△)相等，所以曲線對(duì)稱(chēng)于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。

2.△愈小，f(△)愈大。當(dāng)△=0時(shí)，f(△)有最大值;反之，△愈大，f(△)愈小。當(dāng)n→±∞時(shí)，f(△)→0,這就是偶然誤差的第一和第二特性。

3.如果求f(△)二階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，可以求得曲線拐點(diǎn)橫坐標(biāo)：△拐=±

如果求f(△)在區(qū)間±的積分，則誤差出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)的相對(duì)次數(shù)是某個(gè)定值，所以當(dāng)愈小時(shí)，曲線將愈陡峭，即誤差分布比較密集；當(dāng)愈大時(shí)，曲線將愈平緩，即誤差分布比較分散。由此可見(jiàn)，參數(shù)的值表征了誤差擴(kuò)散的特征。第15頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三16f(△)+σ-σ111√2πσ1△-σ+σf(△)△2+σ-σ2√2πσ12√2πσ1第16頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三17觀測(cè)條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù)；觀測(cè)條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù)；具有較小的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較陡的趨勢(shì)迅速下降；具有較大的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較平緩的趨勢(shì)伸展。最大縱坐標(biāo)點(diǎn)：第17頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三18§5-2衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)一.中誤差誤差△的概率密度函數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)差

在測(cè)量工作中，觀測(cè)個(gè)數(shù)總是有限的，為了評(píng)定精度，一般采用下述誤差公式：

①標(biāo)準(zhǔn)差σ中誤差m的不同在于觀測(cè)個(gè)數(shù)n上；②標(biāo)準(zhǔn)差表征了一組同精度觀測(cè)在(n→∞)時(shí)誤差分布的擴(kuò)散特征，即理論上的觀測(cè)指標(biāo)；③而中誤差則是一組同精度觀測(cè)在為n有限個(gè)數(shù)時(shí)求得的觀測(cè)精度指標(biāo)；④所以中誤差是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值估值；⑤隨著n的增大，m將趨近于σ。第18頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三19必須指出：

同精度觀測(cè)值對(duì)應(yīng)著同一個(gè)誤差分布，即對(duì)應(yīng)著同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，而標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值即為中誤差。

同精度觀測(cè)值具有相同的中誤差。例3:

設(shè)對(duì)某個(gè)三角形用兩種不同的精度分別對(duì)它進(jìn)行了10次觀測(cè)，求得每次觀測(cè)所得的三角形內(nèi)角和的真誤差為

第一組：+3″,-2″,-4″,+2″,0″,-4″,+3″,+2″,-3″,-1″；第二組：0″,-1″,-7″,+2″,+1″,+1″,-8″,0″,+3″,-1″.

試求這兩組觀測(cè)值的中誤差。由

解得：m1=±2.7″m2=±3.6″

可見(jiàn)：第一組的觀測(cè)精度較第二組觀測(cè)精度高。第19頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三20二、容許誤差（極限誤差）

根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間d△中的概率：

p(△)=f(△)·d△設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為：

分別以k=1,2,3代入上式，可得：

P(︱△︱≤m)=0.683=68.3℅P(︱△︱≤2m)=0.955=95.5℅P(︱△︱≤3m)=0.997=99.7℅

由此可見(jiàn)：偶然誤差的絕對(duì)值大于2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的5℅，而大于3倍的誤差僅占誤差總數(shù)的0.3℅。由于一般情況下測(cè)量次數(shù)有限，3倍中誤差很少遇到，故以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱(chēng)為“容許誤差”，或稱(chēng)為“限差”即△容=2m第20頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三21三、相對(duì)誤差

在某些測(cè)量工作中，對(duì)觀測(cè)值的精度僅用中誤差來(lái)衡量還不能正確反映觀測(cè)的質(zhì)量。例如:用鋼卷尺量200米和40米兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，但不能認(rèn)為兩者的精度是相同的，因?yàn)榱烤嗟恼`差與其長(zhǎng)度有關(guān)。為此，用觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比的形式來(lái)描述觀測(cè)的質(zhì)量。即m/L來(lái)評(píng)定精度，通常稱(chēng)此比值為相對(duì)中誤差。

相對(duì)中誤差又可要求寫(xiě)成分子為1的分式，即。上例為K1=m1/L1=1/10000,K2=m2/L2=1/2000

可見(jiàn):前者的精度比后者高。

與相對(duì)誤差相對(duì)應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都稱(chēng)為絕對(duì)誤差。第21頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三22§5-3算術(shù)平均值及其中誤差

設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了n次出該未知量的最或然值。，觀測(cè)值為L(zhǎng)1、L2……Ln，現(xiàn)在要根據(jù)這n個(gè)觀測(cè)值確定

設(shè)未知量的真值為X，寫(xiě)出觀測(cè)值的真誤差公式為?i=Li-X(i=1,2…n)將上式相加得或故一、觀測(cè)值的算術(shù)平均值第22頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三23

設(shè)以x表示上式右邊第一項(xiàng)的觀測(cè)值的算術(shù)平均值，即以?X表示算術(shù)平均值的真誤差，即代入上式，則得由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，?x趨近于零，即:也就是說(shuō)，n趨近無(wú)窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值。第23頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三24

現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式。因?yàn)槭街校?／n為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m?，F(xiàn)以mx表示算術(shù)平均值的中誤差，則可得算術(shù)平均值的中誤差為故

該式即算術(shù)平均值的中誤差公式。

二、算術(shù)平均值的中誤差公式第24頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三25

三、同精度觀測(cè)值的中誤差

同精度觀測(cè)值中誤差的計(jì)算公式為而這是利用觀測(cè)值真誤差求觀測(cè)值中誤差的定義公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真誤差也就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求觀測(cè)值的中誤差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和觀測(cè)值的差數(shù)也可以求得，即第25頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三26因n為有限值，故在實(shí)用上可以用x的中誤差近似地代替x的真誤差，即為用改正數(shù)來(lái)求觀測(cè)值中誤差的公式，稱(chēng)為白塞爾公式。用改正數(shù)計(jì)算最或然值中誤差的公式為第26頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三27

§5-4誤差傳播定律

在實(shí)際工作中有許多未知量不能直接觀測(cè)而求其值，需要由觀測(cè)值間接計(jì)算出來(lái)。例如某未知點(diǎn)B的高程HB，是由起始點(diǎn)A的高程HA加上從A點(diǎn)到B點(diǎn)間進(jìn)行了若干站水準(zhǔn)測(cè)量而得來(lái)的觀測(cè)高差h1……h(huán)n求和得出的。這時(shí)未知點(diǎn)B的高程H。是各獨(dú)立觀測(cè)值的函數(shù)。那么如何根據(jù)觀測(cè)值的中誤差去求觀測(cè)值函數(shù)的中誤差呢？

闡述觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律，稱(chēng)為誤差傳播定律。第27頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三28

一、倍數(shù)的函數(shù)設(shè)有函數(shù)：

Z為觀測(cè)值的函數(shù)，K為常數(shù)，X為觀測(cè)值，已知其中誤差為mx，求Z的中誤差mZ。設(shè)x和z的真誤差分別為△x和△z則：若對(duì)x共觀測(cè)了n次，則：將上式平方，得：求和，并除以n，得第28頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三29

即，觀測(cè)值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測(cè)值中誤差乘常數(shù)。因?yàn)椋核裕旱?9頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三30

例：在1：500比例尺地形圖上，量得A、B兩點(diǎn)間的距離SAB=23.4mm，其中誤差msab=土0.2mm，求A、B間的實(shí)地距離SAB及其中誤差msAB。解：由題意：

SAB=500×Sab=500×23.4=11700mm=11.7mmSAB＝500×mSab＝500×（士0.2）

=土100mm＝土0.1m

最后答案為：SAB=11.7m士0.1m第30頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三31

二、和或差的函數(shù)設(shè)有函數(shù)：

Z為x、y的和或差的函數(shù)，x、y為獨(dú)立觀測(cè)值，已知其中誤差為mx、my，求Z的中誤差mZ。設(shè)x、y和z的真誤差分別為△x、△y和△z則

若對(duì)x、y均觀測(cè)了n次，則將上式平方，得第31頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三32

由于Δx、Δy均為偶然誤差，其符號(hào)為正或負(fù)的機(jī)會(huì)相同，因?yàn)棣、Δy為獨(dú)立誤差，它們出現(xiàn)的正、負(fù)號(hào)互不相關(guān)，所以其乘積ΔxΔy也具有正負(fù)機(jī)會(huì)相同的性質(zhì)，在求［ΔxΔy］時(shí)其正值與負(fù)值有互相抵消的可能；當(dāng)n愈大時(shí)，上式中最后一項(xiàng)［ΔxΔy］/n將趨近于零，即求和，并除以n，得

第32頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三33

將滿(mǎn)足上式的誤差Δx、Δy稱(chēng)為互相獨(dú)立的誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立誤差，相應(yīng)的觀測(cè)值稱(chēng)為獨(dú)立觀測(cè)值。對(duì)于獨(dú)立觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，即使n是有限量，由于式殘存的值不大，一般就忽視它的影響。根據(jù)中誤差定義，得

即，兩觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測(cè)值中誤差的平方之和。第33頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三34

當(dāng)z是一組觀測(cè)值X1、X2…Xn代數(shù)和（差）的函數(shù)時(shí)，即可以得出函數(shù)Z的中誤差平方為：

式中mxi是觀測(cè)值xi的中誤差。即，n個(gè)觀測(cè)值代數(shù)和（差）的中誤差平方，等于n個(gè)觀測(cè)值中誤差平方之和。第34頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三35

當(dāng)諸觀測(cè)值xi為同精度觀測(cè)值時(shí)，設(shè)其中誤差為m，即mx1=mx2=mxn=m則為這就是說(shuō)，在同精度觀測(cè)時(shí)，觀測(cè)值代數(shù)和（差）的中誤差，與觀測(cè)值個(gè)數(shù)n的平方根成正比。例設(shè)用長(zhǎng)為L(zhǎng)的卷尺量距，共丈量了n個(gè)尺段，已知每尺段量距的中誤差都為m，求全長(zhǎng)S的中誤差ms。解：因?yàn)槿L(zhǎng)S=L＋L＋……＋L（式中共有n個(gè)L）。而L的中誤差為m。

量距的中誤差與丈量段數(shù)n的平方根成正比。第35頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三36

例如以30m長(zhǎng)的鋼尺丈量90m的距離，當(dāng)每尺段量距的中誤差為±5mm時(shí)，全長(zhǎng)的中誤差為第36頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三37

當(dāng)使用量距的鋼尺長(zhǎng)度相等，每尺段的量距中誤差都為mL，則每公里長(zhǎng)度的量距中誤差mKm也是相等的。當(dāng)對(duì)長(zhǎng)度為S公里的距離丈量時(shí)，全長(zhǎng)的真誤差將是S個(gè)一公里丈量真誤差的代數(shù)和，于是S公里的中誤差為式中，S的單位是公里。即：在距離丈量中，距離S的量距中誤差與長(zhǎng)度S的平方根成正比。第37頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三38

例:為了求得A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差，今自A點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量，經(jīng)n站后測(cè)完。已知每站高差的中誤差均為m站，求A、B兩點(diǎn)間高差的中誤差。解：因?yàn)锳、B兩點(diǎn)間高差hAB等于各站的觀測(cè)高差hi（i=l，2…n）之和，即:hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn

則即水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差，與測(cè)站數(shù)n的平方根成正比。第38頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三39

在不同的水準(zhǔn)路線上，即使兩點(diǎn)間的路線長(zhǎng)度相同，設(shè)站數(shù)不同時(shí)，則兩點(diǎn)間高差的中誤差也不同。但是，當(dāng)水準(zhǔn)路線通過(guò)平坦地區(qū)時(shí)，每公里的水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差可以認(rèn)為相同，設(shè)為mkm。當(dāng)A、B兩點(diǎn)間的水準(zhǔn)路線為S公里時(shí)，A、B點(diǎn)間高差的中誤差為即，水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差與距離S的平方根成正比?；虻?9頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三40

在水準(zhǔn)測(cè)量作業(yè)時(shí)，對(duì)于地形起伏不大的地區(qū)或平坦地區(qū)，可用式計(jì)算高差的中誤差；對(duì)于起伏較大的地區(qū)，則用式計(jì)算高差的中誤差。

例如，已知用某種儀器，按某種操作方法進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，每公里高差的中誤差為±20mm，則按這種水準(zhǔn)測(cè)量進(jìn)行了25km后，測(cè)得高差的中誤差為第40頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三41三、線性函數(shù)設(shè)有線性函數(shù)：則有

例設(shè)有線性函救觀測(cè)量的中誤差分別為，求Z的中誤差第41頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三42四、一般函數(shù)

式中xi(i=1，2…n)為獨(dú)立觀測(cè)值，已知其中誤差為mi(i=12…n)，求z的中誤差。當(dāng)xi具有真誤差Δ時(shí)，函數(shù)Z相應(yīng)地產(chǎn)生真誤差Δz。這些真誤差都是一個(gè)小值，由數(shù)學(xué)分析可知，變量的誤差與函數(shù)的誤差之間的關(guān)系，可以近似地用函數(shù)的全微分來(lái)表達(dá)。第42頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三43式中（i=l，2…n）是函數(shù)對(duì)各個(gè)變量所取的偏導(dǎo)數(shù)，以觀測(cè)值代人所算出的數(shù)值，它們是常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)可為：第43頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三44

例設(shè)有某函數(shù)z=S·sinα

式中S=150.11m，其中誤差ms=士005m；α=119°45′00″，其中誤差mα=20.6″；求z的中誤差mz。解：因?yàn)閦=S·sinα，所以z是S及a的一般函數(shù)。第44頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三45求觀測(cè)值函數(shù)的精度時(shí)，可歸納為如下三步：

1）按問(wèn)題的要求寫(xiě)出函數(shù)式：

2）對(duì)函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測(cè)值真誤差之間的關(guān)系式：式中，是用觀測(cè)值代入求得的值。

3）寫(xiě)出函數(shù)中誤差與觀測(cè)值中誤差之間的關(guān)系式：

第45頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三46例如，設(shè)有函數(shù)z=x＋y，而y=3x，此時(shí)，。因?yàn)閤與y不是獨(dú)立觀測(cè)值，因?yàn)椴徽搉值多少，恒有因此，應(yīng)把Z化成獨(dú)立觀測(cè)值的函數(shù)，即z=x+3x=4x上式中X與3X兩項(xiàng)是由同一個(gè)觀測(cè)值X組成的，必須先并項(xiàng)為z=4x而后求其中誤差，即mz=4mx第46頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三47

§5-5廣義算術(shù)平均值及權(quán)

如果對(duì)某個(gè)未知量進(jìn)行n次同精度觀測(cè)，則其最或然值即為n次觀測(cè)量的算術(shù)平均值：一、廣義算術(shù)平均值第47頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三48在相同條件下對(duì)某段長(zhǎng)度進(jìn)行兩組丈量：第一組：第二組：

算術(shù)平均值分別為第48頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三49其中誤差分別為：第49頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三50全部同精度觀測(cè)值的最或然值為：第50頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三51在值的大小體現(xiàn)了中比重的大小，稱(chēng)為的權(quán)。令第51頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三52若有不同精度觀測(cè)值其權(quán)分別為該量的最或然值可擴(kuò)充為：稱(chēng)之為廣義算術(shù)平均值（加權(quán)平均值）。第52頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三53當(dāng)各觀測(cè)值精度相同時(shí)第53頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三54二、權(quán)定權(quán)的基本公式：稱(chēng)為中誤差，為單位權(quán)觀測(cè)值，當(dāng)觀測(cè)值稱(chēng)為單位權(quán)，單位權(quán)中誤差。第54頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三55權(quán)的特性1反映了觀測(cè)值的相互精度關(guān)系。

3

不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小，而在于相互的比例關(guān)系。值的大小，對(duì)X值毫無(wú)影響。2第55頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三564若同類(lèi)量的觀測(cè)值，此時(shí)，權(quán)無(wú)單位。若是不同類(lèi)量的觀測(cè)值，權(quán)是否有單位不能一概而論，而視具體情況而定。第56頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三57例：已知的中誤差分別為：設(shè)若設(shè)第57頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三581水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的權(quán)例：常用定權(quán)公式第58頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三59

當(dāng)各測(cè)站觀測(cè)高差的精度相同時(shí)，水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的權(quán)與測(cè)站數(shù)成反比。四條水準(zhǔn)路線分別觀測(cè)了3,4,6,5測(cè)站。第59頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三60令c=3,令c=4,第60頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三61

水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)分別為設(shè)每公里水準(zhǔn)測(cè)量觀測(cè)的中誤差為第61頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三62

當(dāng)每公里水準(zhǔn)測(cè)量的精度相同時(shí)，水準(zhǔn)路線觀測(cè)的權(quán)與路線長(zhǎng)度成反比。第62頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三63當(dāng)S=c=10公里的水準(zhǔn)路線的觀測(cè)高差為單位權(quán)觀測(cè)。每測(cè)站觀測(cè)高差精度相同時(shí)：每公里觀測(cè)高差精度相同時(shí)：第63頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三64例對(duì)某角作三組同精度觀測(cè)：第一組測(cè)4測(cè)回，算術(shù)平均值為

第二組測(cè)6測(cè)回，算術(shù)平均值為

第三組測(cè)8測(cè)回，算術(shù)平均值為

三、不同個(gè)數(shù)的同精度觀測(cè)值求得的算術(shù)平均值的權(quán)。第64頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三65由不同個(gè)數(shù)的同精度觀測(cè)值求得的算術(shù)平均值，其權(quán)與觀測(cè)值個(gè)數(shù)成正比。第65頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三66令第66頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三67§5-6單位權(quán)中誤差的計(jì)算公式

在同精度觀測(cè)中，觀測(cè)值的精度是相同的，因此可用來(lái)計(jì)算觀測(cè)值的中誤差。在不同精度觀測(cè)中，每個(gè)觀測(cè)值的精度不同，就必須先求出單位權(quán)中誤差μ，然后根據(jù)

求出各觀測(cè)值的中誤差。以推導(dǎo)計(jì)算單位權(quán)中誤差的公式為第67頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三68

§5-7由真誤差計(jì)算中誤差對(duì)于一組同精度或不同精度觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，如果已經(jīng)知道它們的真誤差，則可按式計(jì)算觀測(cè)值的中誤差；用式計(jì)算單位權(quán)中誤差。第68頁(yè)，講稿共77頁(yè)，2023年5月2日，星期三69一、由三角形閉合差求測(cè)角中誤差上式就是由三角形閉合差計(jì)算的測(cè)角中誤差的公式，名