2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)以及答案解析(全國2卷)

2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)以及答案解析(全國2卷).設集合A={xIxλ2-5x+6>0},B={xlx-l<O},則A∩B=OAo(-∞91)Bo(-2,1)Co(-3,-1)Do(3,+∞)解析：將xzκ2-5x+6=0化為(x-2)(x-3)>0,得至Uχ∈G∞,2)U(3,+∞),將X-IVO化為XV1,得到B={xlxvl},所以A∩B=(-∞,l)o.設z=-3+2i,則在復平面內(nèi)對應的點位于OAo第一象限B。第二象限C。第三象限D(zhuǎn)。第四象限解析：實部為-3,虛部為2,所以該點位于第二象限。.已知lz-3l=2,lz+(3+ti)l=l,則IZl=OAo-3Bo-2Co2Do3解析：將IZ-引=2化為lz-3l八2=4,得到(z-3)(z-3*)=4,其中z*為Z的共軻復數(shù)，將lz+(3+ti)l=l化為lz+(3+ti)l八2二1,得到(z+(3+ti))(z*+(3-ti))=l,將Z展開得到z=x+yi,代入兩式，化簡得至Uxλ2+yλ2-6x+4=0和X八2+(y+t)八2=4,聯(lián)立兩式，解得x=l,y=-2-t,代入IZl八2=x八2+y八2,得到lzl=2.4.2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就。實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系。為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行。L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上。設地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為乂2,地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：M1M2∕(M1+M2)(R+r)^2=G(M1+M2)∕r^2.設α=GM2∕R^2，由于ɑ的值很小，因此在近似計算中α≈3α^3,則r的近似值為()A。RB。R/3C。R/9D。3R解析：將方程化簡得到M3-3aA3rA2-3RaA3r-2M1RA2aA3=0，由于α的值很小，所以r≈Ro.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分。7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A。中位數(shù)B。平均數(shù)C。方差D。極差解析：去掉最高分和最低分后，中位數(shù)和平均數(shù)都可能發(fā)生變化，方差和極差都會發(fā)生變化，唯獨中位數(shù)不變。.若a>b,則(a+b)(a-b)<a^2-b^2.解析：將左邊化簡得到(a+b)(a-b)=a^2-b^2+ab-ba=a^2-b^2,所以(a+b)(a-b)<a^2-b^2..沒有明顯的格式錯誤或問題段落。.小幅度改寫每段話：A。比較大小的四個式子，分別是ln(a-b)o0.3a。O.lal。Ibl。.平面α與β平行的充要條件是：α內(nèi)有兩條相交直線與β平行。.若拋物線y^2=2px(po0)的焦點是橢圓χ^2∕4+y^2∕9=1的一個焦點，則P=8..下列函數(shù)中，以f(x)=lcos(2x)為周期且在區(qū)間(-π∕2.π∕2)單調(diào)遞增的是f(x)=Sinlxlo10.已知α∈(0.π∕2),且2sin^2α=cos2α+1,則Sina=1/2..設F為雙曲線C：x^2∕a^2-y^2∕b^2=1(a。0.bo0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x^2+y^2=a^2交于P,Q兩點。若IPQI=IOFI,則C的離心率為2/3..設函數(shù)f(x)的定義域為R,滿足f(x+1)=2f(x)，且當x∈(0.1]時，f(x)=x(x-1)o若對任意x∈(-∞om],都有f(x)≥-1/2,則m的取值范圍是(-1.+∞)o填空題：.經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為0.98..若f(x)是奇函數(shù)，且當X<0時，f(x)=-eaxo若f(ln2)=8,則a=-4.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c。若b=6,a=2c,則4ABC的面積為6√3.16.該半正多面體共有30個面，其棱長為2∕√3.23.已知$出乂)=反也反+反-21(乂也)$。1)當$2=1$時，求不等式$f(x)<0$的解集；2)當$乂\山(-\山仕丫,1)$時，$f(x)<0$,求$a$的取值范圍。1)當$2=1$時，$f(x)=lx-1lx+lx-2l(x-1)$。當$x0$，$lx-2l0$，$lx-2l>0$，$f(x)>0$。綜上所述，$f(x)<0$的解集為$(-\infty,1)$。2)當$乂\山(-\山仕丫,1)$時，$f(x)=lx-alx+lx-2l(x-a)2$時，$lx-al>0$，$lx-2l0$。綜上所述，$a\in(1,2]$。3.根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可以得到a3=-1，b3=-1，因此C選項正確。lal=l-1l=1，與b不相等，因此排除D選項。因此答案為Co.對于選項A,α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，因此α與β要么相交，要么平行；對于選項B,α內(nèi)有兩條相交直線與β平行，因此α與β要么相交，要么平行；對于選項C,a,β平行于同一條直線，因此α與β要么相交，要么平行；對于選項D,α,β垂直于同一平面，因此α與β要么相交，要么平行。因此答案為B。.根據(jù)拋物線的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)列出方程，可以得到3p-p=64，解得p=8.因此答案為Do.對于選項A,f(x)=sinlxl不是周期函數(shù)，因此排除；對于選項B,f(x)=coslxl是周期為2π的函數(shù)，因此排除；對于選項C,f(x)=lsin2xl?區(qū)間［0,π∕2］單調(diào)遞增，在區(qū)間［π∕2,π］單調(diào)遞減，因此排除；對于選項D,f(x)=lcos2xl在區(qū)間［0,π∕4］單調(diào)遞增，在區(qū)間［π∕4,π∕2］單調(diào)遞減，在區(qū)間［π∕2,3π∕4］單調(diào)遞增，在區(qū)間［3π∕4,π］單調(diào)遞減。因此答案為Do.根據(jù)二倍角的三角函數(shù)公式,可以化簡已知式,得到4sinacosα=2cos2α，結(jié)合角的范圍可以得到sina>0,cosα>0,因此CoSa=2sinαo根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系式，可以得到sin2a+cos2a=sin2a+(2sina)2=5sin2a=1,因此解得Sina=±1∕√5.因為a∈(0,π∕2),所以sina>0，因此答案為B。.根據(jù)題意畫出圖形，可以求出PQ的長度為√(a2-c2),由于IPQi=IOFI，因此可以列出2a-ea=c,代入?2=Η2上2,可以得到e=√(1-b2∕a2)。因此答案為A。點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，需要根據(jù)給定條件推導出函數(shù)的解析式，并結(jié)合圖像進行分段討論。改寫時可以將公式整理得更加清晰，例如將分段的解析式單獨列出來，方便閱讀。因為$f(x+1)=2f(x)$，所以$f(x)=2f(x-1)$。根據(jù)這個遞推式，可以得到以下分段解析式：當$x\in(-\infty,1]$時，$f(x)=x(x-1)\in[-\infty,0]$；當$x\in(1,2]$時，$x-1\in(0,1]$，所以$f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)\in[-\infty,0]$；當$x\in(2,3]$時，$x-1\in(1,2]$，所以$f(x)=2f(x-1)=4(x-2)(x-3)\in[-1,0]$。當$x\in(2,3]$時，由$4(x-2)(x-3)=0$解得$x=2$或$x=3$。如果對任意$x\in(-\infty,m]$,都有$f(x)\geq-1$,那么$m\leq3$。因此選項B正確。點評】本題考查了函數(shù)與方程的綜合運用，需要根據(jù)給定條件列出方程并解出未知數(shù)的值。改寫時可以將文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達式，例如將“對任意$x$”轉(zhuǎn)化為$\forallX$。根據(jù)奇函數(shù)的定義，對于任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$。因此$f(-\ln2)=-f(\ln2)$，而已知$f(-\ln2)=-8$，所以$f(\ln2)=8$。又因為$f(x)=-ae\ax}$，所以$f(\ln2)=-ae^{-a'ln2}=-a/2$。因此$a=-3$，答案為$-3$。點評】本題考查了三角函數(shù)的基本知識，需要根據(jù)給定條件列出方程并解出未知數(shù)的值。改寫時可以將公式整理得更加簡潔，例如將面積公式的三角函數(shù)表達式合并。根據(jù)余弦定理，有*b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$。代入已知條件$b=6$、$a=2c$和$B=\pi/3$，得至U$i2=12$。根據(jù)三角形的面積公式$S_{\triangleABC}=ac?sinB=c^2?sin8/2$,代入已知條件，得到$S_{\triangleABC}=6$。因此答案為$6$。.分析：本題講述了一個半正多面體，其中中間層為正八棱柱，共有26個面，棱長為中間層正八棱柱的棱長加上兩個棱長的cos45倍。解答：該半正多面體共有8+8+8+2=26個面，設其棱長為X,則x+x*cos45=-1,解得x=-1.故答案為26.點評：本題考查了球內(nèi)接多面體，屬于中檔題。.分析：本題要求證明BE垂直于平面EB1C1,并求出二面角BEC1的正弦值。解答：證明：長方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C1垂直于平面人8人181，因此B1C1垂直于8￡；又因為BE垂直于EC1，所以BE垂直于平面EB1C1.解：以C為坐標原點，建立空間直角坐標系，設AE=AIE=1，因為BE垂直于平面EB1C1，所以BE垂直于￡81，因此AB=1，所以E(1,1,1)，A(1,1,0)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)，C(0,0,0)。因為BC垂直于EB1，所以EB1垂直于面EBC，所以取平面EBC的法向量為(-1,0,1)，設平面ECC1的法向量為(x,y,z)，由點E在平面ECC1上得到方程x+y+z=2.又因為BC垂直于EC1,所以EC1垂直于平面EBC,所以平面EBC的法向量也是平面EB1C1的法向量，即(0,-1,1),所以(x,y,z)與(0,-1,1)垂直，又因為x+y+z=2所以(x,y,z為(1,-1,0)。因此cos=-1∕√6,所以sin=√(1-1∕6)=√5∕√6.點評：本題考查了線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理能力與計算能力，是中檔題。.分析：本題要求求出比賽雙方平了10:10后，甲獲勝第2個球的概率，以及甲獲勝第4個球且比賽結(jié)束的概率。解答：設雙方10:10平后的第k個球甲獲勝為事件Ak(k=1,2,3.)。則P(X=2)=P(A1A2)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3A4)+。其中P(A1A2)=P(A1)P(A2)，P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A3)，P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A4)+P(A1)P(A3)P(A4)+P(A2)P(A3)P(A4)，以此類推。因此P(X=2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+。=P(AI)P(A2)/(1-P(A1))。P(X=4且甲獲勝)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A3)P(A4)+P(A2)P(A3)P(A4)。因此P(X=4且甲獲勝)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)∕P(A1A2A3)+P(A1)P(A3)∕P(A1A3)+P(A2)P(A3)/P(A2A3)+P(A1)P(A2)P(A4)/P(A1A2)+P(A1)P(A4)/P(A1A4)+P(A2)P(A4)/P(A2A4)+P(A3)P(A4)/P(A3A4)。點評：本題考查了概率計算的基本方法，考查了條件概率、乘法原理等知識，屬于中檔題。x,x)處的斜率為1,與曲線y=lnx的切線斜率相同，因此兩個曲線在點(1，0)處相切，證畢．點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)、零點的求法以及曲線的切線方程,是中檔題．需要注意格式錯誤和表述不清晰的地方,進行適當?shù)母膶懞托拚?。剔除下面文章的格式錯誤,刪除明顯有問題的段落,然后再小幅度的改寫每段話。21．【分析】(1)利用直接法不難得到方程；2)⑴設P(x,y)，則Q(-χ,-y),E(x,),利用直線QE的方程與橢圓方程聯(lián)立求得G點坐標，去證PQ,PG斜率之積為-1；打)利用S=函數(shù)可得最值.解答】解：(1)由題意得，y=x+1∕x，代入已得數(shù)據(jù)，并對換元，利用“對號”整理得曲線C的方程：x^3-2x^2+x-2=0,???曲線C是焦點在X軸上不含長軸端點的橢圓；2)(i)設P(x,y)，則Q(-x,-y),E(x,),G(xG,yG),.,?直線QE的方程為：y=x,與x^2∕4+y^2=1得y=√(1-x^2∕4),聯(lián)立消去y,得x^2+4y^2=4,Λy=√(4-x^2)∕2,把y代入x+1/x,得kPG=-1∕2x,JkPQxkPG=-I,???PQ⊥PG,故△PQG為直角三角形；ii)S=1∕2×PQ×PG,設PG=x,PQ=y,??.丫二1僅，利用“對號”函數(shù)f(t)=2t+1∕t在［2,+∞)的單調(diào)性可知，f(t)單調(diào)遞增，f(2)=5,故S=5∕2,(此時)x=2,y=1∕2,故^PQG面積的最大值為5/2.點評】此題考查