正態(tài)分布及抽樣誤差

正態(tài)分布及其應(yīng)用Normaldistribution

anditsapplications

統(tǒng)計學(xué)中最重要的理論分布之一

1可編輯版正態(tài)分布(Normaldistribution)法國概率論學(xué)者狄莫弗德國數(shù)學(xué)家Gauss最早用于物理學(xué)、天文學(xué)

Gaussiandistribution2233可編輯版4為什么如此擺放獎品？平時，我們很少有人會去關(guān)心小球下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信它是有規(guī)律的。

高爾頓釘板試驗

正態(tài)分布的背景－一個街頭賭博游戲4可編輯版5Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678這條曲線就是我們將要介紹的正態(tài)分布曲線。正態(tài)分布的背景－高爾頓釘板試驗5可編輯版612413214014815616400.100.200.300.40頻率圖某市120名12歲男童身高(cm)的頻數(shù)分布6可編輯版組段頻數(shù)頻率

124～ 1 0.0083

128～ 2 0.0167

132～ 10 0.0833

136～ 22 0.1834

140～ 37 0.3083

144～ 26 0.2167

148～ 15 0.1250

152～ 4 0.0333

156～ 2 0.0167

160～164 1 0.0083合計 120 1.00007極差=160.9-125.9=35分10組，組距=極差/10=35/10=3.5，組距取4下界124，上界1647可編輯版8身高的分布8可編輯版正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

如果隨機變量X的概率密度函數(shù)

則稱X服從正態(tài)分布,記作X～N(,2),其中，為分布的均數(shù)，為分布的標(biāo)準(zhǔn)差。

(-∞＜X

＜+∞)

9可編輯版正態(tài)分布圖示x0.1.2.3.4f(x)10可編輯版方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示31211可編輯版均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示21312可編輯版正態(tài)分布的特征正態(tài)分布有兩個參數(shù)(parameter)，即位置參數(shù)(均數(shù))和變異度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差)。高峰在均數(shù)處；均數(shù)兩側(cè)完全對稱。正態(tài)曲線下的面積分布有一定的規(guī)律。13可編輯版正態(tài)曲線下的面積規(guī)律X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1。對稱區(qū)域面積相等。S(-,

-X)S(

+X,)＝S(-,-X)X14可編輯版正態(tài)曲線下的面積規(guī)律對稱區(qū)域面積相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)15可編輯版正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

S(-,-3)=0.0013S(-,-2)=0.0228S(-,-1)=0.1587S(-,)=0.5S(-,+3)=0.9987S(-,+2)=0.9772S(-,+1)=0.8413S(-,)=116可編輯版正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

1-S(-3

,+3)=0.00261-S(-2

,+2)=0.04561-S(-

,+)=0.317417可編輯版正態(tài)曲線下的面積規(guī)律-3-2-++2+3

S(-,-3)=0.0013S(-,-2)=0.0228S(-,-1)=0.1587S(-,-0)=0.5S(-3,-2)=0.0215S(-2,-1)=0.1359S(-1,)=0.3413

-4-3-2-10123418可編輯版正態(tài)曲線下的面積規(guī)律-1.96+1.962.5%2.5%95%19可編輯版正態(tài)曲線下的面積規(guī)律-1.64+1.645%5%90%20可編輯版正態(tài)曲線下的面積規(guī)律-2.58+2.580.5%0.5%99%21可編輯版S(-1.96,+1.64)=?思考22可編輯版正態(tài)曲線下的面積規(guī)律正態(tài)曲線下面積總和為1；正態(tài)曲線關(guān)于均數(shù)對稱；對稱的區(qū)域內(nèi)面積相等；對任意正態(tài)曲線，按標(biāo)準(zhǔn)差為單位，對應(yīng)的面積相等；-1.64～+1.64內(nèi)面積為90%；-1.96～+1.96內(nèi)面積為95%；-2.58～+2.58內(nèi)面積為99%。小于-3的面積為0.13%;小于-2的面積為2.28%;小于-的面積為15.87%。23可編輯版標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standardnormaldistribution)是均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布。記為N(0,1)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一條曲線。概率密度函數(shù)：

(-∞＜u

＜+∞)

24可編輯版正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布若

X～N(,2)，作變換：

則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。u稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差(standardnormaldeviate)25標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積(u)

u 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010-2.5 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049-2.0 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188-1.9 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239-1.6 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465-1.0 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401-0.5 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.28100 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.46810u26可編輯版正態(tài)分布的應(yīng)用估計頻數(shù)分布質(zhì)量控制確定臨床參考值范圍27可編輯版估計頻數(shù)分布某項目研究嬰兒的出生體重服從正態(tài)分布，其均數(shù)為3150g，標(biāo)準(zhǔn)差為350g。若以2500g作為低體重兒，試估計低體重兒的比例。首先計算標(biāo)準(zhǔn)離差：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表:(-1.86)=0.0314結(jié)果：估計低體重兒的比例為3.14%.28可編輯版質(zhì)量控制質(zhì)量控制的意義監(jiān)控日常工作、科研過程、生產(chǎn)過程中誤差的變化，分析變化的趨勢是否出現(xiàn)異常，從而引起警覺和注意，以便分析原因，并及時采取措施。29可編輯版參考值范圍(referenceinterval)參考值范圍又稱正常值范圍(normalrange)。什么是參考值范圍：是絕大多數(shù)正常人的某觀察指標(biāo)所在的范圍。絕大多數(shù)：90%，95%，99%等等。確定參考值范圍的意義：用于判斷正常與異常?！罢Ｈ恕钡亩x：排除了影響所研究的指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)的人群。30可編輯版參考值范圍確定的原則選定同質(zhì)的正常人作為研究對象控制檢測誤差判斷是否分組(性別,年齡組)選擇百分界值(90%,95%)確定可疑范圍單、雙側(cè)問題31可編輯版單側(cè)與雙側(cè)參考值范圍根據(jù)醫(yī)學(xué)專業(yè)知識確定！雙側(cè)：白細(xì)胞計數(shù)，血清總膽固醇，單側(cè)：上限:轉(zhuǎn)氨酶，尿鉛，發(fā)汞……

下限:肺活量，IQ，32可編輯版參考值范圍的估計方法方法 雙側(cè) 單側(cè)下限 單側(cè)上限正態(tài)分布法33可編輯版例20～

29歲正常成年男子尿酸濃度求雙側(cè)95%的參考值范圍：下限上限34可編輯版總結(jié)正態(tài)分布是描述個體變異的重要分布之一，也是統(tǒng)計學(xué)理論中的重要分布之一；正態(tài)分布是一簇分布，由兩個參數(shù)決定：均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；正態(tài)分布曲線下的面積是有規(guī)律的，且與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積對應(yīng)(以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差為單位)。35可編輯版需要掌握的內(nèi)容正態(tài)分布的性質(zhì)正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律參考值范圍確定的原則和方法36可編輯版抽樣誤差及其規(guī)律性Samplingvariability

anditsattributes37可編輯版從一個例子來談抽樣誤差假如事先知道某地七歲男童的平均身高為119.41cm。研究者從所有符合要求的七歲男童中每次抽取100人，共計抽取了五次。3838122.7121.0118.1108.3124.5121.1115.8120.9117.9……39μ=119.4cmσ

=4.38cm=118.4cmS=4.41cm119.4u3940μ＝119.41cmσ=4.38cm40可編輯版導(dǎo)致總體均數(shù)與樣本均數(shù)、樣本均數(shù)之間有差別的可能原因是？4141可編輯版抽樣誤差的定義五次抽樣得到了不同的結(jié)果，原因何在？42個體變異隨機抽樣不同男童的身高不同每次抽到的人幾乎不同抽樣誤差42可編輯版抽樣誤差的表現(xiàn)43抽樣誤差的表現(xiàn)樣本均數(shù)和總體均數(shù)間的差別樣本均數(shù)和樣本均數(shù)間的差別43可編輯版抽樣誤差定義：由于個體變異的存在,由抽樣引起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)間的差別。原因：個體變異＋抽樣表現(xiàn)：不同樣本統(tǒng)計量間的差別樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)間的差別抽樣誤差是不可避免的！抽樣誤差是有規(guī)律的！44★★★★★44可編輯版均數(shù)的抽樣誤差之特點各樣本均數(shù)未必等于總體均數(shù)；樣本均數(shù)間存在差異；樣本均數(shù)的分布很有規(guī)律；4545可編輯版中心極限定理(centrallimittheorem)Case1:

從正態(tài)分布總體N(μ,σ)

中隨機抽樣(每個樣本的含量為n[如10])，可得無限多個樣本[如1000次]，每個樣本計算樣本均數(shù)，則樣本均數(shù)也服從正態(tài)分布。樣本均數(shù)的均數(shù)為μ;樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為。4646可編輯版中心極限定理(centrallimittheorem)Case2:

從非正態(tài)分布總體(均數(shù)為μ，方差為σ)中隨機抽樣(每個樣本的含量為n)，可得無限多個樣本，每個樣本計算樣本均數(shù)，則只要抽樣次數(shù)足夠大(n>50),樣本均數(shù)也近似服從正態(tài)分布。樣本均數(shù)的均數(shù)為μ;樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為。4747可編輯版標(biāo)準(zhǔn)誤(standarderror)樣本統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)差稱為標(biāo)準(zhǔn)誤。樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差稱為均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤表示樣本均數(shù)的變異度。前者稱為理論標(biāo)準(zhǔn)誤，后者稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)誤。48這個公式是怎么來的？48可編輯版已知變量x的方差V(x)=S2，則2x的方差為？已知變量x1的方差V(x1)=S12，變量x2的方差V(x2)=S22，則x1+x2的方差為？4949可編輯版標(biāo)準(zhǔn)誤與標(biāo)準(zhǔn)差（1）聯(lián)系：都表示變異的大??；樣本含量一定時，標(biāo)準(zhǔn)差越大，標(biāo)準(zhǔn)誤越大。50可編輯版標(biāo)準(zhǔn)誤與標(biāo)準(zhǔn)差（2）標(biāo)準(zhǔn)差含義：一組變量值離散程度；標(biāo)準(zhǔn)差越小，均數(shù)的代表性越好；應(yīng)用：估計參考值范圍；與n的關(guān)系：樣本含量越大，標(biāo)準(zhǔn)差越穩(wěn)定，n很大時，標(biāo)準(zhǔn)差趨向于總體標(biāo)準(zhǔn)差。51可編輯版標(biāo)準(zhǔn)誤與標(biāo)準(zhǔn)差（3）標(biāo)準(zhǔn)誤含義：樣本統(tǒng)計量的離散程度；標(biāo)準(zhǔn)誤越小，用樣本均數(shù)來反映總體均數(shù)越可靠；應(yīng)用：計算可信區(qū)間；與n的關(guān)系：樣本含量越大，均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤越小，n很大時，標(biāo)準(zhǔn)誤趨向于0。52可編輯版53

SamplingDistributionofsamplemeansSamplingDistributionofsamplemeans

SamplingDistributionofsamplemeansPopulationBX

XPopulationC

XPopulationDXPopulationAn=10n=4n=25n=2SamplingDistributionofsamplemeans樣本均數(shù)的抽樣分布

53與樣本含量的關(guān)系n

越大，均數(shù)的均數(shù)就越接近總體均數(shù)；n越大，變異越小，分布越窄；對稱分布接近正態(tài)分布的速度，大于非對稱分布。分布越偏，接近正態(tài)分布所需樣本含量就越大。5454可編輯版抽樣誤差的規(guī)律性(1)均數(shù)的抽樣誤差規(guī)律：在樣本含量足夠大時，無論總體分布如何，其均數(shù)的分布趨于正態(tài)分布5555可編輯版56

f(t)(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線)

=30.10.2-4-3-2-1012340.3如果樣本含量較小時均數(shù)的抽樣分布？56可編輯版t分布5757可編輯版正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化變化若X~N(μ,σ2),則。58因,則。58可編輯版t

分布的概念實際工作中，總體方差未知。所以，用樣本方差代替總體方差，且當(dāng)樣本含量較小時的分布如何？5959可編輯版t分布起源6060t

分布的概念用樣本方差代替總體方差，此時不服從正態(tài)分布。而服從

t分布。記為：6161可編輯版62

f(t)

=∞(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線)

=5

=10.10.2-4-3-2-1012340.3自由度分別為1、5、∞時的

t分布62可編輯版t分布的性質(zhì)t分布為一簇單峰分布曲線。t分布以0為中心，左右對稱。分布的高峰位置比u分布低，尾部高。即相同的尾部面積對應(yīng)的界值，比u分布大。例如：P=0.05，u=1.64，而自由度為3的t分布界值，t=3.182。t分布與自由度有關(guān)，自由度越小，t分布的峰越低，而兩側(cè)尾部翹得越高；自由度逐漸增大時，t分布逐漸逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；當(dāng)自由度為無窮大時，t分布就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。每一自由度下的t分布曲線都有其自身分布規(guī)律。t界值表。63可編輯版t界值表單側(cè)：

P(t<=-tα,ν)=α或

P(t>=tα,ν)=α雙側(cè)：

P(t<=-tα,ν)+P(t>=tα,ν)=α

即:P(-tα,ν<t<tα,ν)=1-α[例]查t界值表得t值表達(dá)式

t0.05,10=2.228(雙側(cè)）

t0.05,10=1.812(單側(cè)）-tt064t

分布曲線下面積雙側(cè)：t0.05,10=2.228

表明，從正態(tài)分布總體中抽取樣本含量為n=11的樣本，由該樣本計算的t值大與等于2.228的概率為0.025，小于等于-2.228的概率亦為0.025

P(t≤-2.228)+P(t≥2.228)=0.05

或：P(-2.228<t