吉林市第一中學(xué)2023屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．化為弧度是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，則的（）A.最小正周期，最大值為 B.最小正周期為，最大值為C.最小正周期為，最大值為 D.最小正周期為，最大值為3．已知，則等于（）A.1 B.2C.3 D.64．中國5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至8000，則C大約增加了()（）A.10% B.30%C.60% D.90%5．已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為A. B.C. D.6．已知函數(shù)，，如圖所示，則圖象對(duì)應(yīng)的解析式可能是（）A. B.C. D.7．若直線與直線相交，且交點(diǎn)在第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是A. B.C. D.8．函數(shù)在上的圖象為A. B.C. D.9．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)在單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，若，則不等式的解集為（）A. B.C. D.10．如圖，在正三棱錐中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為__________12．設(shè)函數(shù)即_____13．已知，點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________14．已知函數(shù)，若是的最大值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______15．已知，，則__________三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知方程（1）若此方程表示圓,求的取值范圍；(2)若此方程表示圓,且點(diǎn)在圓上,求過點(diǎn)的圓的切線方程17．在中，，記，且為正實(shí)數(shù)），（1）求證：；（2）將與的數(shù)量積表示為關(guān)于的函數(shù)；（3）求函數(shù)的最小值及此時(shí)角的大小18．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）用括號(hào)中的正確條件填空.函數(shù)的圖象可以用下面的方法得到：先將正弦曲線，向___________（左，右）平移___________（，）個(gè)單位長度；在縱坐標(biāo)不變的條件下再把所得曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腳__________（，2）倍，再在橫坐標(biāo)不變的條件下把所得曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腳__________（，2）倍，最后再把所得曲線向___________（上，下）平移___________（1，2）個(gè)單位長度.19．已知，，（1）值；（2）的值.20．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)其中（1）求a的值；（2）若,求x的取值范圍.21．已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為、、，.（1）若，求角的值；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、D【解析】根據(jù)角度制與弧度制的互化公式，正確運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)角度制與弧度制的互化公式，可得.故選：D.2、B【解析】利用輔助角公式化簡得到，求出最小正周期和最大值.【詳解】所以最小正周期為,最大值為2.故選：B3、A【解析】利用對(duì)數(shù)和指數(shù)互化，可得，，再利用即可求解.【詳解】由得：，，所以，故選：A4、B【解析】根據(jù)所給公式、及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則代入計(jì)算可得；【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴約增加了30%.故選：B5、D【解析】根據(jù)正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對(duì)角線，故，即得，所以該球的體積，故選D.考點(diǎn)：正四棱柱的幾何特征；球的體積.6、C【解析】利用奇偶性和定義域，采取排除法可得答案.【詳解】顯然和為奇函數(shù)，則和為奇函數(shù)，排除A，B，又定義域?yàn)?，排除D故選：C7、C【解析】聯(lián)立方程得交點(diǎn)，由交點(diǎn)在第一象限知：解得，即是銳角，故，選C.8、B【解析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)奇偶性求出結(jié)果【詳解】函數(shù)的解析式滿足，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除CD選項(xiàng)，由可知：，排除A選項(xiàng).故選B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．屬中檔題.9、D【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)為偶函數(shù)分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又由函數(shù)在，單調(diào)遞增且f(3)，則，解可得：，即不等式的解集為；故選：D10、C【解析】取BC的中點(diǎn)E，∠DFE即為所求，結(jié)合條件即求.【詳解】如圖取BC的中點(diǎn)E，連接EF，DE，則EF∥AB，∠DFE即為所求，設(shè)，在正三棱錐中，，故，∴，∴，即異面直線與所成角的大小為.故選：C.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、2【解析】依題意，故，即元素個(gè)數(shù)為個(gè).12、-1【解析】結(jié)合函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可.【詳解】由題意可得：，則.【點(diǎn)睛】求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值13、，【解析】設(shè)點(diǎn),得出向量,代入坐標(biāo)運(yùn)算即得的坐標(biāo)，得到關(guān)于的方程，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)在直線,且,,或,，即或,解得或;即點(diǎn)的坐標(biāo)是，.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示以及平面向量的共線問題,意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.14、【解析】先求出時(shí)最大值為，再由是的最大值，解出t的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得：在時(shí)取得最大值；當(dāng)時(shí)，，且是的最大值，所以，解得：.故答案為：15、【解析】構(gòu)造角，，再用兩角和的余弦公式及二倍公式打開.【詳解】，，，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題是給值求值題，關(guān)鍵是構(gòu)造角，應(yīng)注意的是確定三角函數(shù)值的符號(hào).三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、(1)或;(2)或【解析】（1）若此方程表示圓,則，即可得解；（2）代入點(diǎn)得，從而得圓心半徑，由已知得所求圓的切線斜率存在,設(shè)為，切線方程為:，由圓心到直線距離等于半徑列方程求解即可.試題解析：(1)若此方程表示圓,則或(2)由點(diǎn)在圓,代入圓的方程得,此時(shí)圓心,半徑,由已知得所求圓的切線斜率存在,設(shè)為，切線方程為:或,∴切線方程為:或.17、（1）證明見解析；（2）；（3）2，.【解析】（1）由，得到，根據(jù)，即可求解；（2）由，整理得，即可求得表達(dá)式；（3）由（2）知，結(jié)合基本不等式，求得的最小值，再利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）在中，，可得，所以，所以.（2）由，可得，即，整理得，所以（3）由（2）知，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2，即，此時(shí)，因?yàn)?，可得，又因?yàn)椋藭r(shí)為等邊三角形，所以【點(diǎn)睛】求平面向量的模的2種方法：1、利用及，把向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算；2、利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.18、（1），（2）左，，，2，上，1【解析】（1）根據(jù)降冪公式、二倍角的正弦公式及兩角和的正弦公式化簡，由正弦型三角函數(shù)的周期公式求周期，由正弦型函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間;（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換過程求解即可.【小問1詳解】，∴函數(shù)的最小正周期.由，得：，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，.【小問2詳解】將的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象，在縱坐標(biāo)不變的條件下再把所得曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖象，再在橫坐標(biāo)不變的條件下把所得曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象，最后再把所得曲線向上平移1個(gè)單位長度，即可得到函數(shù)的圖象.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)二倍角公式，求出，即可求解；（2）由兩角和的正切公式，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）.=..=（2）====【點(diǎn)睛】本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系以及恒等變換求值，應(yīng)用平方關(guān)系要注意角的范圍，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)代入解析式，即可求得的值；（2）由（1）可得函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出x的取值范圍.【詳解】解：（1）∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，即，可得；（2）由（1）得，即，，【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法