新高考數(shù)學(xué)的平面向量多選題含解析

新高考數(shù)學(xué)的平面向量多選題含解析一、平面向量多選題1．已知向量，，設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是（）A．的最大值為 B．的周期為C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在上是增函數(shù)【答案】ABD【分析】運(yùn)用數(shù)量積公式及三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)性質(zhì)判斷.【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，選項(xiàng)A描述準(zhǔn)確；的周期,選項(xiàng)B描述準(zhǔn)確；當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)C描述不準(zhǔn)確；當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，選項(xiàng)D描述準(zhǔn)確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.2．已知邊長(zhǎng)為4的正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)為，以為圓心，6為半徑作圓；若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段，的垂直平分線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，再利用向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】作出圖形如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段，的垂直平分線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系；觀察可知，，，，，設(shè)，則，故，，，故，故，.故選：BC3．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在年提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)??分別是的外心?重心?垂心，且為的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】向量的線性運(yùn)算結(jié)果仍為向量可判斷選項(xiàng)A；由可得，利用向量的線性運(yùn)算，再結(jié)合集合判斷選項(xiàng)B；利用故選項(xiàng)C不正確，利用外心的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D，即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭堑闹匦?，是的外心，是的垂心，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，所以，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槭堑闹匦?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，即，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)槭堑闹匦?，為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，，即，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)點(diǎn)是的外心，所以點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，即，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用已知條件得，利用向量的線性運(yùn)算結(jié)合可得出向量間的關(guān)系.4．如圖，B是的中點(diǎn)，，P是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的為（）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，，C．若為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段D．的最大值為【答案】BCD【分析】利用向量共線的充要條件判斷出A錯(cuò)，C對(duì)；利用向量的運(yùn)算法則求出，求出，判斷出B對(duì)，過(guò)作，交于，作，交的延長(zhǎng)線于，則，然后可判斷出D正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則在線段上，故，故A錯(cuò)當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，故B對(duì)為定值1時(shí)，，，三點(diǎn)共線，又是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，故的軌跡是線段，故C對(duì)如圖，過(guò)作，交于，作，交的延長(zhǎng)線于，則：；又；，；由圖形看出，當(dāng)與重合時(shí)：；此時(shí)取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故D正確故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若，則三點(diǎn)共線.5．如圖，已知長(zhǎng)方形中，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．對(duì)任意，不成立D．的最小值為4【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，由，根據(jù)向量坐標(biāo)的運(yùn)算可得，當(dāng)時(shí)，得出，根據(jù)向量的線性運(yùn)算即向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可求出，即可判斷A選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)平面向量的夾角公式、向量的數(shù)量積運(yùn)算和模的運(yùn)算，求出，即可判斷B選項(xiàng)；若，根據(jù)向量垂直的數(shù)量積運(yùn)算，即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)向量坐標(biāo)加法運(yùn)算求得，再根據(jù)向量模的運(yùn)算即可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，由，可得，A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，，設(shè)，又，所以，得，故，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，，故，B正確；C項(xiàng)，，，若，則，對(duì)于方程，，故不存在，使得，C正確；D項(xiàng)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算和線性運(yùn)算，考查運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角以及會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，熟練運(yùn)用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.6．在平行四邊形中，，，，交于F且，則下列說(shuō)法正確的有（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，以及向量的夾角公式，逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：易證，所以，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，即，所以，所以，解得：，，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)B的關(guān)鍵點(diǎn)是能得出，即可得，選項(xiàng)D的關(guān)鍵點(diǎn)是由于和的模長(zhǎng)和夾角已知，故將和用和表示，即可求出數(shù)量積.7．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的為（）A．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．若，則在方向上的投影為D．非零向量和滿足，則與的夾角為60°【答案】ACD【分析】由向量的數(shù)量積?向量的投影?基本定理與向量的夾角等基本知識(shí)，逐個(gè)判斷即可求解.【詳解】對(duì)于A，∵，，與的夾角為銳角，∴，且(時(shí)與的夾角為0)，所以且，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，B正確；對(duì)于C，若，則在方向上的正射影的數(shù)量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，兩邊平方得，則，，故，而向量的夾角范圍為，得與的夾角為30°，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故錯(cuò)誤的選項(xiàng)為ACD故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理及向量的數(shù)量積，向量的夾角等知識(shí)，對(duì)知識(shí)廣度及準(zhǔn)確度要求比較高，中檔題.8．已知數(shù)列{an}，，，在平面四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，且，當(dāng)n≥2時(shí)，恒有，則（）A．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列 B．C．?dāng)?shù)列{an}為等比數(shù)列 D．【答案】BD【分析】證明，所以選項(xiàng)B正確；設(shè)（），易得，顯然不是同一常數(shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；數(shù)列{}是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，所以選項(xiàng)D正確，易得，選項(xiàng)C不正確.【詳解】因?yàn)?，所以，所?所以，所以選項(xiàng)B正確；設(shè)（），則當(dāng)n≥2時(shí)，由，所以，所以，，所以，易得，顯然不是同一常數(shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)?=4，，所以數(shù)列{}是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，所以選項(xiàng)D正確，易得，顯然選項(xiàng)C不正確.故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，考查等比數(shù)列等差數(shù)列的判定，考查等比數(shù)列通項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9．下列各式結(jié)果為零向量的有（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】對(duì)于選項(xiàng)，,所以該選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)，，所以該選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)，,所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，，所以該選項(xiàng)正確.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，,所以該選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)，，所以該選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)，,所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，，所以該選項(xiàng)正確.故選：CD【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的加法和減法法則，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10．設(shè)、是兩個(gè)非零向量，則下列描述正確的有（）A．若，則存在實(shí)數(shù)使得B．若，則C．若，則在方向上的投影向量為D．若存在實(shí)數(shù)使得，則【答案】AB【分析】根據(jù)向量模的三角不等式找出和的等價(jià)條件，可判斷A、C、D選項(xiàng)的正誤，利用平面向量加法的平行四邊形法則可判斷B選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)