網(wǎng)絡的靈敏度分析

關于網(wǎng)絡的靈敏度分析第1頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三概述在任何一個系統(tǒng)的設計中，一個很重要的問題是了解由于系統(tǒng)中某一個或某些參數(shù)發(fā)生變化時對系統(tǒng)的影響。例如由于老化或制造工藝方面的原因，使系統(tǒng)元件的參數(shù)偏離標稱值等，都是很正常的。定量描述系統(tǒng)元件參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化對系統(tǒng)性能的影響的工具之一，就是本章要講的“靈敏度分析”。第2頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三所謂系統(tǒng)的性能，就是系統(tǒng)的廣義網(wǎng)絡函數(shù)（任何一個關心的或感興趣的物理量均可稱為廣義網(wǎng)絡函數(shù)）；所謂系統(tǒng)或網(wǎng)絡元件參數(shù)，也是廣義的，它可以是實際的網(wǎng)絡元件參數(shù)，也可以是影響元件參數(shù)的某個物理量（如溫度、壓力等）；所謂“靈敏度”，就是廣義網(wǎng)絡函數(shù)對網(wǎng)絡廣義參數(shù)變化的敏感程度。第3頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三在網(wǎng)絡的“靈敏度”分析中，自然要把廣義網(wǎng)絡函數(shù)表為廣義網(wǎng)絡參數(shù)的函數(shù)。第4頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三寫成向量形式就是我們熟悉的梯度。稱為一階微分靈敏度。第5頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三同理也由多元函數(shù)的Taylor（series）展開式得網(wǎng)絡靈敏度可分為時域靈敏度和頻域靈敏度，本章只講頻域靈敏度分析。其它靈敏度分析可以舉一反三，觸類旁通。下面介紹網(wǎng)絡靈敏度分析的具體內(nèi)容。其中H稱為Hessian矩陣，稱為二階微分靈敏度，依此類推。第6頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三§7-1靈敏度分析的意義～§7-2靈敏度分析的基本概念靈敏度的概念：任何一個系統(tǒng)或網(wǎng)絡特性（廣義網(wǎng)絡函數(shù)），對參數(shù)變化的敏感程度。是一個函數(shù)（全體參數(shù)的函數(shù)）。網(wǎng)絡特性（廣義網(wǎng)絡函數(shù)）：可以是任何一個感興趣的物理量。指系統(tǒng)或網(wǎng)絡的輸出誤差函數(shù)，網(wǎng)絡傳遞函數(shù)等。分析什么什么就是被賦予了特性。如u-i，ψ-i，q-u等等。第7頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三網(wǎng)絡參數(shù)（廣義）：網(wǎng)絡的元件參數(shù)：Z，Y，g，μ；物理參數(shù)：如溫度，頻率，壓力等標稱值，實際值（老化）。例如：2002年11月驗收的電科院高壓試實驗室，加速老化試驗裝置就是一個重要組成部分。（總投入資金1200萬）。若用表示任何一個系統(tǒng)或網(wǎng)絡特性（廣義網(wǎng)絡函數(shù)），則：代表表示系統(tǒng)和網(wǎng)絡對任何一個參數(shù)的靈敏度。第8頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三靈敏度的定義網(wǎng)絡或系統(tǒng)的靈敏度可分為絕對靈敏度、相對靈敏度、微分靈敏度和增量靈敏度。下面給出相應的定義。靈敏度是系統(tǒng)、網(wǎng)絡（或設備）的個重要指標，對網(wǎng)絡的設計、分析都具有重要意義。（容差設計、調(diào)節(jié)、控制等）第9頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三(1)絕對靈敏度為比較分析不同參數(shù)的相對變化對網(wǎng)絡特性的影響，對絕對靈敏度做歸一化處理，引入相對靈敏度。(2)相對靈敏度顯然這是網(wǎng)絡特性的相對比變化量與網(wǎng)絡參數(shù)的相對變化量之比，是無量綱的純數(shù)?？梢杂幸韵聨追N定義方法。P281～P282(1)～(3)第10頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三上式稱為半歸一化靈敏度，例如寄生參數(shù)（特別是寄生電容和電感的高頻時的作用等）。第11頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三靈敏度的基本運算：P283（1）～（7）第12頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三如果把廣義網(wǎng)絡元件參數(shù)推廣到一般意義下的變量（含狀態(tài)變量和控制變量），則可以進行電力系統(tǒng)的靈敏度分析。在電力系統(tǒng)的規(guī)劃、設計和運行中，有時潮流計算的結果不能滿足可靠性或經(jīng)濟性的要求，因而必須改變系統(tǒng)的某些變量以改善系統(tǒng)的潮流分布。即需要對系統(tǒng)的潮流進行適當?shù)恼{(diào)整和控制。4.靈敏度應用的若干說明第13頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三在分析電力系統(tǒng)的調(diào)整問題時，總是希望知道對某些變量的調(diào)整能在多大程度上影響系統(tǒng)的運行狀況。靈敏度分析是潮流問題的一個重要概念（華中理工大學.電力系統(tǒng)分析（下）p56）。在系統(tǒng)的故障分析中也有重要應用。詳見靈敏度分析與潮流計算(王爾智)的專著；在數(shù)學課程計算數(shù)學中的梯度和共軛梯度法是按函數(shù)最大變化率的方向搜索，實際就是按函數(shù)的最大靈敏度方向搜索。第14頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三計算靈敏度最直接的方法計算機求解很容易。如果求出T的解析表達式可以直接求導。第15頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三+U0-R2IsR1R3解：可見靈敏度是網(wǎng)絡參數(shù)的函數(shù)。對一個具體的電路網(wǎng)絡參數(shù)是給定的。例如：第16頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三例7－1的計算方法太繁。下面介紹幾種工程實際中常用的靈敏度計算方法。信號流圖法（參數(shù)為網(wǎng)絡參數(shù)時，與導數(shù)（增量）網(wǎng)絡法相同但求解方法不同）與伴隨網(wǎng)絡法。5.信號流圖法（導數(shù)網(wǎng)絡法）的特點：求解一次導數(shù)網(wǎng)絡可求出一個參數(shù)變化時網(wǎng)絡中各處電壓、電流的改變量，也即各網(wǎng)絡特性的靈敏度。6.伴隨網(wǎng)絡法的特點：對原網(wǎng)絡只需求解一次，而每求解一次伴隨網(wǎng)絡可求出一個網(wǎng)絡特性對各個網(wǎng)絡參數(shù)的靈敏度。可見選哪種方法求網(wǎng)絡的靈敏度應根據(jù)具體要求來確定。一位偉人說過：“馬克思主義的精髓和活的靈魂，就是對具體事務作具體分析。人們常說：通向羅馬的路不只一條。但有一條是捷徑。下面就一一介紹。第17頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三均為α的函數(shù)。7.用信號流圖SFG求靈敏度（如果不是關系式中出現(xiàn)x其它地方仍可用x表示參數(shù)。）第18頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三btbt所有輸入支路均按上式處理所有外施激勵輸入支路均按上式處理如圖所示（每個節(jié)點及其輸入均要處理）第19頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三ebfdac由對稱性得：（b）所有輸入支路分出相應的新源點第20頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三ebfdacebfdac同理可得：第21頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三§7-3伴隨網(wǎng)絡法(P286)Uk+-N原Uk+-IkN原+-Uk+?UkIk+?IkUk+-+-該式我們曾在第一章給大家介紹過。由特勒根定理一些特殊的支路，以簡化靈敏度的計算。下面討論伴隨網(wǎng)絡的結構和元件參數(shù)。第22頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三2.線性網(wǎng)絡靈敏度的伴隨網(wǎng)絡法為分析方便，把網(wǎng)絡元件按獨立源（輸入支路）、輸出支路、R、G、L、C、CCCS、CCVS、VCVS、VCCS……把（2）式改寫成：P286(7-3-3)然后據(jù)此式構造輸出量的全微分(增量形式)。（1）輸出支路輸出支路：規(guī)定輸出電壓以開路線取出N原?Uo+-+-1AUoN原+-第23頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三輸出支路規(guī)定：輸出電流以短路線取出N原?IoN原Io+--1V第24頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三＝0可見伴隨網(wǎng)絡中仍取R！第25頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三-+Ir1Ir2++Ur1Ur2rIr1把上述關系代入相應的表達式，-+++令00有第26頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三可見原網(wǎng)絡中的CCVS，伴隨網(wǎng)絡中仍為的CCVS，只是受控源的位置和控制量的位置互易換位，稱為滿足相互互易性。-+++++把上述關系代入相應的表達式，有令00第27頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三可見原網(wǎng)絡中的CCCS，伴隨網(wǎng)絡中變?yōu)榈腣CVS，滿足（受控源反號）相互互易性。同理可得原網(wǎng)絡中的VCVS，伴隨網(wǎng)絡中為的CCCS，滿足（受控源反號）相互互易性。++++++-+++可見原網(wǎng)絡中的VCCS，伴隨網(wǎng)絡中仍為的VCCS，只是受控源的位置和控制量的位置互易換位，稱為滿足相互互易性。第28頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三受控源對應關系小結第29頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三各式中：凡出現(xiàn)伴隨網(wǎng)路電壓的為“＋”；凡出現(xiàn)伴隨網(wǎng)路電流的為“－”。（5）靈敏度計算公式第30頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三（6）理想變壓器的伴隨網(wǎng)絡仍可以用前邊講過的受控源處理，但較繁！+-+-n:1i1i2++u1u2n:1++對原網(wǎng)絡，有由（1）得化簡并略去二階偏差項由（2）得同理可得把（3）、（4）式代入上式化簡得令第31頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三則有（相應的全增量表達式）（5）式就是理想變壓器變比n變化的微分靈敏度計算公式。n:1i1i2++u1u2n:1++第32頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三++-+-+MkjMkjIkIj++UkUj-+-+++Mkj++Mkj（7）互感元件伴隨網(wǎng)絡的說明第33頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三++Mkj++Mkj看成電流控制電壓源的控制系數(shù)。第34頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三例7－3求圖示電路的靈敏度解：分別求解原網(wǎng)絡和伴隨網(wǎng)絡+-USIp1G1G3+-Ub4gm

Ub4G2Ib5Ip2+-Uo（1）確定網(wǎng)絡特性（廣義網(wǎng)絡函數(shù)）（2）構造伴隨網(wǎng)絡Ip1G1G3+-Ub4gm

Ub5G2Ib5Ip2+-Uo1A+-Ub5第35頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三+-USIp1G1G3+-Ub4gm

Ub5G2Ib5Ip2+-Uo+-Ub5+-USIp1G1G3+-Ub4gm

Ub4G2Ib5Ip2+-Uo伴隨網(wǎng)絡構造過程原網(wǎng)絡伴隨網(wǎng)絡1Agm

Ub51A第36頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三+-USIp1G1G3+-Ub4gm

Ub4G2Ib5Ip2+-Uo（3）求解原網(wǎng)絡（4）求解伴隨網(wǎng)絡（5）按公式網(wǎng)絡待求靈敏度Ip1G1G3+-Ub4gm

Ub5G2Ib5Ip2+-Uo1A+-Ub5第37頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三R1-R1R3解：（1）用SFG法：其信號流圖如下I2R1+-U1R3Ip2+-UoISR2第38頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三R1-R1R3（2）用SFG法：其信號流圖如下R1-R1R3第39頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三R1-R1R302=??RIS第40頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三伴隨網(wǎng)絡法的步驟（1）確定原網(wǎng)絡的網(wǎng)絡特性（廣義網(wǎng)絡函數(shù)）一般為輸出或網(wǎng)絡函數(shù)。若輸出為電壓以開路線取出，若輸出為電流以短路線取出，也即人為增加一條開路或短路的支路。NRkIo＝0+-UoNRkIo+-Uo＝0IoNRk+-UoIo第41頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三（3）求解原網(wǎng)路各支路電壓和電流（4）求解伴隨網(wǎng)路各支路電壓和電流（5）按下式(P290)：求出輸出對各網(wǎng)絡元件參數(shù)的靈敏度。各式中：凡出現(xiàn)伴隨網(wǎng)路電壓的為“＋”；凡出現(xiàn)伴隨網(wǎng)路電流的為“－”。求對電感和電容元件的靈敏度（T＝UO）由復合函數(shù)的求導法則得：第42頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三求對頻率ω的靈敏度由復合函數(shù)的求導法則和頻率ω與L、C的對稱性：由電感和電容的靈敏度公式得（P282）：第43頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三（6）注意事項伴隨網(wǎng)絡法對求一個網(wǎng)絡函數(shù)對所有網(wǎng)絡參數(shù)的靈敏度較方便。只需要計算一次原網(wǎng)絡，每求解一次不同的伴隨網(wǎng)絡（主要區(qū)別在于輸出的位置不同，伴隨網(wǎng)絡中等效激勵的位置不同），可以得到不同的一個網(wǎng)絡函數(shù)對所有網(wǎng)絡參數(shù)的靈敏度。與上述伴隨網(wǎng)絡構造相關結論（P293）把原網(wǎng)絡和伴隨網(wǎng)絡中的輸入支路和輸出支路抽出可以形成多端口網(wǎng)絡，則伴隨網(wǎng)絡與原網(wǎng)絡是相互互易的，這兩個網(wǎng)絡互為伴隨網(wǎng)絡。原網(wǎng)絡N與伴隨網(wǎng)絡相應的開路阻抗矩陣、短路導納矩陣和第二類混合參數(shù)矩陣滿足下列關系第44頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三非線性電阻網(wǎng)絡靈敏度的伴隨網(wǎng)絡法設流控型非線性電阻的特性方程為設壓控型非線性電阻的特性方程為設流控型非線性電阻的參變量有一個增量則有：展成泰勒級數(shù)取一次項代入特勒根定理的微分形式得第45頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三為了消去，令：可見在伴隨網(wǎng)絡中，流控型非線性電阻可以用其工作點的小信號電阻代替，非線性原網(wǎng)絡的伴隨網(wǎng)絡是其工作點處的線性網(wǎng)絡。這就是流控型非線性電阻的靈敏度公式。獨立電流源－>開路，獨立電壓源－>短路；輸出電壓－>開路線取出，輸出電流－>短路線取出。同理可得壓控型非線性電阻的公式第46頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三設雙口電阻（壓控型非線性電阻）的特性為則其伴隨網(wǎng)絡為第47頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三系統(tǒng)化方法：以改進節(jié)點法（一個元件一條支路）為例（P295）前面介紹的伴隨網(wǎng)絡法，是一種很有效的方法，但需要畫出伴隨網(wǎng)絡，這對大型網(wǎng)絡的分析會增加很大的工作量。下面介紹不畫伴隨網(wǎng)絡直接生成伴隨網(wǎng)絡方程的方法。不失一般性，以改進的節(jié)點法為例。原網(wǎng)絡記為N，伴隨網(wǎng)絡記為，每個元件為一條支路（包括開路支路和短路支路）。把改進的節(jié)點法方程改寫為第48頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三這在本質(zhì)上與我們講過的改進節(jié)點法是一致的。但增加了短路支路。即AEV為獨立電壓源（無伴）、短路支路和受控電壓源（無伴）對應的關聯(lián)矩陣。第49頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三由以上分析可得：由以上分析可知，這種處理方法可以利用原網(wǎng)絡的計算結果簡化計算（如：LU分解法，只需更換右端項。）第50頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三整體處理方法（以單輸入單輸出系統(tǒng)為例）N(b條支路)+-Up2Ip2+-Up1Ip1由特勒根定理得：（1）－（2）得：+-+-(b條支路)第51頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三設網(wǎng)絡N的參數(shù)發(fā)生變化，則：把帶入（4）得：令：伴隨網(wǎng)絡同理可得：可得：注意Up，Ip的參考方向！第52頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三N(b條支路)+-Up2Ip2+-Up1Ip1+-+-(b條支路)若原網(wǎng)絡中的輸出為電壓以開路線取出，則若原網(wǎng)絡中的輸入為電壓源，伴隨網(wǎng)絡中用短路線，若原網(wǎng)絡中的輸入為電流源，伴隨網(wǎng)絡中用開路線，考慮到電源一般增量為零，輸出電壓（以開路取出）輸出電流（以短路取出）。則有：第53頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三由上式很容易得到待求量的全微分→求出靈敏度。若原網(wǎng)絡中的輸出為電流以短路線取出同理可得寫成一個式子要求：（1）N中無獨立源；所有支路或為壓控型或為流控型；（2）CCCS→VCCS，VCVS→CCVS；（3）注意：復合函數(shù)的特點；注意△Zb、△Yb關系。注意：抽出的輸入、輸出支路電壓、電流的參考方向；如果不滿足Ib=YbUb或Ub=ZbIb

則應采用多口網(wǎng)絡的混合參數(shù)，該方法失效。但前面介紹的方法仍成立！第54頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三如：第55頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三其系數(shù)陣與原網(wǎng)絡方程相同，僅右端項不同，因每條支路都接在兩個節(jié)點之間，每次只有一個參量變化，一般情況下右端至多有二個非零項?！?-4導數(shù)（增量）網(wǎng)絡法導數(shù)網(wǎng)絡的概念：設原網(wǎng)絡的方程為TX=B，設P為求靈敏度時發(fā)生變化的某一網(wǎng)絡元件的參數(shù)，則：為網(wǎng)絡的全部輸出量對某一網(wǎng)絡參數(shù)的靈敏度。線性網(wǎng)絡的導數(shù)網(wǎng)絡法P297—P300TX=B→X一般B與外施激勵有關，很多情況下有第56頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三線性網(wǎng)絡的導數(shù)（增量）網(wǎng)絡的建立P297—P300，P300表7-4-1?IG/?P+?UG/?P-GIG+UG-GI+U-R?IG/?G+?UG/?G-GUG?I/?R+?U/?R-GU/R2?I/?P+?U/?P-R第57頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三+Us-+E-+?UE/?P-?IE/?P+1V-+?Us/?P-?IS/?P+?Us/?Is-?Is/?Is1A+Us-IsIs+?U/?P-?IE/?PIS=IS第58頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三I1+U1-I2+U2-βI1I2+?U1/?P-?I1/?Pβ?I1/?P?I2/?P+?U2/?P-I2+?U1/?β-?I1/?ββ?I1/?β?I2/?β+?U2/?β-I1第59頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三一般至多只有四個非零元素（含受控源時按相應的規(guī)則處理。）步驟（2）建立導數(shù)網(wǎng)絡方程（3）求解導數(shù)網(wǎng)絡方程，得一個網(wǎng)絡參數(shù)變化的全部輸出靈敏度（1）對原網(wǎng)絡建立方程（如節(jié)點法），求解保留系數(shù)矩陣（LU）

該項的非零元素來源于電壓源的等效電流第60頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三G1=2sG3=1sG2=4s2U1?Is/?G3=0?U1/?G3?U2/?