復(fù)變函數(shù)與積分變換期末總復(fù)習(xí)課件

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算2.復(fù)數(shù)的各種表示法3.

乘冪與方根運(yùn)算公式4.復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域1解2解3解4例5

滿足下列條件的點(diǎn)組成何種圖形?是不是區(qū)域?若是區(qū)域請(qǐng)指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解

是實(shí)數(shù)軸,不是區(qū)域.

是以為界的帶形單連通區(qū)域.解5

是以為焦點(diǎn),以3為半長軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)域.

不是區(qū)域，因?yàn)閳D中解解在圓環(huán)內(nèi)的點(diǎn)不是內(nèi)點(diǎn).6例6

函數(shù)將平面上的下列曲線變成平面上的什么曲線？解又于是表示平面上的圓.(1)7解表示平面上以為圓心，為半徑的圓.8第二章解析函數(shù)1.解析函數(shù)的概念；2.函數(shù)解析性的判別（C-R方程）3.

幾個(gè)常用初等函數(shù)93.初等解析函數(shù)1)指數(shù)函數(shù)10

2)三角函數(shù)11(4)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù)12其它復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)的定義133）對(duì)數(shù)函數(shù)因此14154)冪函數(shù)16典型例題證1718例2

函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處解析.解故僅在直線上可導(dǎo).故在復(fù)平面上處處不解析.19例3

設(shè)為解析函數(shù)，求的值.解設(shè)故由于解析，所以即故20

設(shè)為平面上任意一定點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)沿直線趨于時(shí),有解例4

研究的可導(dǎo)性.21當(dāng)點(diǎn)沿直線趨于時(shí),有例4

研究的可導(dǎo)性.22例5

解方程解23例6

求出的值.解24解例7

試求函數(shù)值及其主值:令得主值:25

第三章復(fù)變函數(shù)的積分1.復(fù)積分的計(jì)算公式及基本性質(zhì)2.復(fù)積分的基本定理

3.柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式26積分存在的條件及計(jì)算（1）化成線積分（2）用參數(shù)方程將積分化成定積分274.積分的性質(zhì)28

柯西－古薩基本定理(柯西積分定理)29

閉路變形原理復(fù)合閉路定理一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.那末3031柯西積分公式一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.32

高階導(dǎo)數(shù)公式33調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)

任何在

D

內(nèi)解析的函數(shù),它的實(shí)部和虛部都是

D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).34定理區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù).共軛調(diào)和函數(shù)35典型例題例1

計(jì)算的值，其中C為1）沿從到的線段：2）沿從到的線段：與從到的線段所接成的折線.解36說明同一函數(shù)沿不同路徑所得積分值不同.37解分以下四種情況討論：3839404142解為大于1的自然數(shù).例6

計(jì)算下列積分43解法一不定積分法.利用柯西—黎曼方程,44因而得到解析函數(shù)45解例8

已知求解

析函數(shù),使符合條件4647第四章級(jí)數(shù)1、復(fù)數(shù)列、復(fù)級(jí)數(shù)收斂充要條件2、冪級(jí)數(shù)收斂半徑求法3、函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)48常見函數(shù)的泰勒展開式4950根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開.(2)間接展開法將函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的方法(1)直接展開法51典型例題例1

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解發(fā)散，收斂，52典型例題例1

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解53解收斂收斂典型例題例1

判別級(jí)數(shù)的斂散性.54解

由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知絕對(duì)收斂.典型例題例1

判別級(jí)數(shù)的斂散性.55例2

求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑解5657分析：采用間接法即利用已知的展開式來求.解例4

求在的泰勒展式.解析函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)的方法58由于59例7分析：利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分法.解所以60例9分析:利用部分分式與幾何級(jí)數(shù)結(jié)合法.即把函數(shù)分成部分分式后,應(yīng)用等比級(jí)數(shù)求和公式.解61故兩端求導(dǎo)得6263例10解64例11解有6566

同一級(jí)數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展開式是不同的.67解例126869

第五章留數(shù)1、孤立奇點(diǎn)的判別2、留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理701）定義

如果函數(shù)在

不解析,但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析,則稱為的孤立奇點(diǎn).

孤立奇點(diǎn)的概念與分類孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)2）孤立奇點(diǎn)的分類依據(jù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類:i)可去奇點(diǎn);ii)極點(diǎn);iii)本性奇點(diǎn).71定義

如果洛朗級(jí)數(shù)中不含

的負(fù)冪項(xiàng),那末孤立奇點(diǎn)

稱為

的可去奇點(diǎn).

i)

可去奇點(diǎn)72ii)極點(diǎn)

定義

如果洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng),其中關(guān)于的最高冪為即級(jí)極點(diǎn).那末孤立奇點(diǎn)稱為函數(shù)的或?qū)懗?3極點(diǎn)的判定方法在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且的負(fù)冪項(xiàng)為有的洛朗展開式中含有限項(xiàng).(a)由定義判別(b)由定義的等價(jià)形式判別(c)利用極限判斷

.74如果洛朗級(jí)數(shù)中含有無窮多個(gè)那末孤立奇點(diǎn)稱為的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng),注意:

在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)不存在且不為iii)本性奇點(diǎn)75i)零點(diǎn)的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱為的

m級(jí)零點(diǎn).

3)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系ii)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系如果是的m級(jí)極點(diǎn),那末就是的

m級(jí)零點(diǎn).反過來也成立.76

2.留數(shù)記作定義

如果的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿內(nèi)包含的任意一條簡單閉曲線

C的積分的值除后所得的數(shù)稱為以771)留數(shù)定理

設(shè)函數(shù)在區(qū)域

D內(nèi)除有限個(gè)孤外處處解析,C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線,那末立奇點(diǎn)留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).78(1)如果為的可去奇點(diǎn),則如果為的一級(jí)極點(diǎn),那末

a)(2)如果為的本性奇點(diǎn),則需將成洛朗級(jí)數(shù)求展開(3)如果為的極點(diǎn),則有如下計(jì)算規(guī)則2)留數(shù)的計(jì)算方法79c)設(shè)及在如果那末為一級(jí)極點(diǎn),且有都解析，如果為的級(jí)極點(diǎn),那末b)80也可定義為記作1.定義設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡單閉曲線那末積分值為在的留數(shù).的值與C無關(guān)

,則稱此定

3)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)81如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那末在所有各奇點(diǎn)

(包括

點(diǎn))的留數(shù)的總和必等于零.

定理82在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算計(jì)算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法:

此法在很多情況下此法更為簡單.83典型例題解求函數(shù)奇點(diǎn)及類型。84例4