天津太平村第二中學2021年高二數學文月考試卷含解析

天津太平村第二中學2021年高二數學文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.將個不同的小球放入個盒子中，則不同放法種數有（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B

解析：每個小球都有種可能的放法，即2.設Sn為數列{an}的前n項和，a3=6且Sn+1=3Sn，則a1+a5等于（）A．12 B． C．55 D．參考答案：C【考點】數列遞推式．【分析】Sn+1=3Sn，可得數列{Sn}為等比數列，公比為3．可得．利用遞推關系即可得出．【解答】解：∵Sn+1=3Sn，∴數列{Sn}為等比數列，公比為3．∴．∴a3=S3﹣S2==6，解得S1=1=a1．∴Sn=3n﹣1．∴a5=S5﹣S4=34﹣33=54．∴a1+a5=55．故選：C．3.（5分）F1，F2是橢圓的兩個焦點，A為橢圓上一點，且∠AF1F2=45°，則三角形AF1F2的面積為（） A． 7 B． C． D． 參考答案：C考點： 橢圓的簡單性質．專題： 計算題．分析： 求出F1F2的長度，由橢圓的定義可得AF2=6﹣AF1，由余弦定理求得AF1=，從而求得三角形AF1F2的面積．解答： 解：由題意可得a=3，b=，c=，故，AF1+AF2=6，AF2=6﹣AF1，∵AF22=AF12+F1F22﹣2AF1?F1F2cos45°=AF12﹣4AF1+8，∴（6﹣AF1）2=AF12﹣4AF1+8，AF1=，故三角形AF1F2的面積S=×××=．點評： 本題考查橢圓的定義、標準方程，簡單性質，以及余弦定理的應用，求出AF1的值，是解題的關鍵．4.如圖是某四面體ABCD水平放置時的三視圖（圖中網格紙的小正方形的邊長為1，則四面體ABCD外接球的表面積為（）A．20π B． C．25π D．100π參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；數形結合；立體幾何．【分析】還原三視圖成直觀圖，得到如圖所示的三棱錐P﹣ABC，其中AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AB=BC=2且PA=3．利用線面垂直的判定與性質，證出PB是Rt△PAB與Rt△PBC公共的斜邊，從而得到PB的中點O就是多面體的外接球的球心．再根據勾股定理和球的表面積公式加以計算，可得答案．【解答】解：根據三視圖的形狀，將該多面體還原成直觀圖，得到如圖所示的三棱錐P﹣ABC．其中△ABC中，AC=4，AB=BC=2，PA⊥平面ABC，PA=3∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．∵BC⊥AC，PA∩AC=C，∴BC⊥平面PAC結合PC?平面PAC，得BC⊥PC因此，PB是Rt△PAB與Rt△PBC公共的斜邊，設PB的中點為0，則OA=OB=OC=OP=PB．∴PB的中點O就是多面體的外接球的球心∵Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，∴AB=2．又∵Rt△PAB中，PA=3，∴PB==，所以外接球表面積為S=4πR2=25π．故選：C．【點評】本題給出三視圖，求多面體的外接球的表面積．著重考查了三視圖的認識、線面垂直的判定與性質、勾股定理和球的表面積公式等知識，屬于中檔題．5.l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面參考答案：B【考點】平面的基本性質及推論；空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】通過兩條直線垂直的充要條件兩條線所成的角為90°；判斷出B對；通過舉常見的圖形中的邊、面的關系說明命題錯誤．【解答】解：對于A，通過常見的圖形正方體，從同一個頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直，A錯；對于B，∵l1⊥l2，∴l(xiāng)1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l(xiāng)1，l3所成的角是90°∴l(xiāng)1⊥l3，B對；對于C，例如三棱柱中的三側棱平行，但不共面，故C錯；對于D，例如三棱錐的三側棱共點，但不共面，故D錯．故選B．【點評】本題考查兩直線垂直的定義、考查判斷線面的位置關系時常借助常見圖形中的邊面的位置關系得到啟示．6.學習合情推理后，甲、乙兩位同學各舉一個例子.甲:由“若三角形周長為l,面積為S,則其內切圓半徑r=”類比可得“若三棱錐表面積為S,體積為V,則其內切球半徑r=”;乙:由“若直角三角形兩直角邊長分別為a、b,則其外接圓半徑r=”類比可得“若三棱錐三條側棱兩兩垂直,側棱長分別為a、b、c,則其外接球半徑r=”.這兩位同學類比得出的結論 （）A．兩人都對 B．甲錯、乙對 C．甲對、乙錯 D．兩人都錯參考答案：C7.已知，是兩條不同直線，是三個不同平面，則下列命題中正確的為（

） A、若 B、若C、若 D、若參考答案：B略8.已知為R上的可導函數，且均有′（x），則有（

）A．B．C．D．參考答案：D9.已知直線ax+by﹣1=0（a，b不全為0）與圓x2+y2=50有公共點，且公共點的橫、縱坐標均為整數，那么這樣的直線有（）A．66條 B．72條 C．74條 D．78條參考答案：B【考點】J9：直線與圓的位置關系；D3：計數原理的應用．【分析】先考慮在第一象限找出圓上橫、縱坐標均為整數的點有3個，依圓的對稱性知，圓上共有3×4=12個點橫縱坐標均為整數，經過其中任意兩點的割線有12個點任取2點確定一條直線，利用計數原理求出直線的總數，過每一點的切線共有12條，又考慮到直線ax+by﹣1=0不經過原點，如圖所示上述直線中經過原點的有6條，所以滿足題意的直線利用總數減去12，再減去6即可得到滿足題意直線的條數．【解答】解：當x≥0，y≥0時，圓上橫、縱坐標均為整數的點有（1，7）、（5，5）、（7，1），根據題意畫出圖形，如圖所示：根據圓的對稱性得到圓上共有3×4=12個點橫縱坐標均為整數，經過其中任意兩點的割線有C122=66條，過每一點的切線共有12條，上述直線中經過原點的有6條，如圖所示，則滿足題意的直線共有66+12﹣6=72條．故選B10.已知命題函數是奇函數，命題函數在區(qū)間上單調遞增，則下列命題中為真命題的是A.B.C.D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓的左右焦點分別為F1，F2，C上一點P滿足，則△PF1F2的內切圓面積為

．參考答案：4π【考點】橢圓的簡單性質．【專題】轉化思想；數形結合法；解三角形；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】根據橢圓的方程，算出a=5且焦距|F1F2|=2c=10．設|PF1|=m，|PF2|=n，根據橢圓的定義和勾股定理建立關于m、n的方程組，平方相減即可求出|PF1|?|PF2|=48，結合直角三角形的面積公式，可得△PF1F2的面積S=|PF1|?|PF2|=24，再由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|），求得r，即可得到所求內切圓的面積．【解答】解：∵橢圓，∴a2=49，b2=24，可得c2=a2﹣b2=25，即a=7，c=5，設|PF1|=m，|PF2|=n，則有m+n=2a=14，m2+n2=（2c）2=100，可得2mn=96，即mn=48，∴|PF1|?|PF2|=48，∵PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面積S=|PF1|?|PF2|=×48=24，由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=r?（2a+2c）=12r（r為內切圓的半徑），由12r=24，解得r=2，則所求內切圓的面積為4π．故答案為：4π．【點評】本題給出橢圓的焦點三角形為直角三角形，求它的面積，著重考查了勾股定理、橢圓的定義和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．12.若在區(qū)間上是增函數，則的范圍是___________．（用區(qū)間來表示）參考答案：略13.在平面直角坐標系中，若點到直線的距離為，且點在不等式表示的平面區(qū)域內，則

.參考答案：14.四棱錐的各棱長都相等，是側棱的中點，則與底面所成角的正弦值是___________。參考答案：略15.原點和點（1，1）在直線兩側，則的取值范圍是_________.參考答案：略16.賭博有陷阱．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有1，2，3，4，5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金（單位：元）．若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則Eξ1﹣Eξ2=

（元）．參考答案：0.2【考點】離散型隨機變量的期望與方差．【分析】分別求出賭金的分布列和獎金的分布列，計算出對應的均值，即可得到結論．【解答】解：賭金的分布列為ξ112345P所以

Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，獎金的分布列為：若兩張卡片上數字之差的絕對值為1，則有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4種，若兩張卡片上數字之差的絕對值為2，則有（1，3），（2，4），（3，5），3種，若兩張卡片上數字之差的絕對值為3，則有（1，4），（2，5），2種，若兩張卡片上數字之差的絕對值為4，則有（1，5），1種，則P（ξ2=1.4）==，P（ξ2=2.8）==，P（ξ2=4.2）==，P（ξ2=5.6）==

ξ21.42.84.25.6P所以Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，則Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元．故答案為：0.2【點評】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望的計算，根據概率的公式分別進行計算是解決本題的關鍵．17.函數y=單調遞增區(qū)間為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18..已知.（1）當函數在上的最大值為3時，求a的值；（2）在（1）的條件下，若對任意的，函數，的圖像與直線有且僅有兩個不同的交點，試確定b的值.并求函數在上的單調遞減區(qū)間.參考答案：（1）;（2）.【分析】（1）利用輔助角公式化簡，再利用正弦函數的圖像和性質求出在上的最大值，即可得到實數的值；（2）把的值代入中，求出的最小正周期為，根據函數在的圖像與直線有且僅有兩個不同的交點，可得的值為，再由正弦函數的單調區(qū)間和整體思想求出減區(qū)間，再結合的范圍求出減區(qū)間。【詳解】（1）由已知得，時，的最大值為，所以；綜上：函數在上的最大值為3時，（2）當時，，故的最小正周期為，由于函數在的圖像與直線有且僅有兩個不同的交點，故的值為.又由，可得，，∵，∴函數在上的單調遞減區(qū)間為.【點睛】本題主要考查正弦函數的圖像與性質，考查學生整體的思想，屬于中檔題。19.設函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范圍.參考答案：(1).(2).分析：（1）先根據絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍．詳解：（1）當時，可得的解集為．（2）等價于．而，且當時等號成立．故等價于．由可得或，所以的取值范圍是．點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數形結合思想，將絕對值不等式與函數以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數、數形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．20.已知數列{an}滿足a5=13，an+1﹣an=3（n∈N*），數列{bn}的前n項和Sn=1﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求數列{an}和{bn}的通項公式；（Ⅱ）記Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn，比較Tn與4的大?。畢⒖即鸢福骸究键c】數列的求和；數列遞推式．【分析】（I）利用等差數列的通項公式可得an．利用數列遞推關系可得bn．（II）利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵an+1﹣an=3（n∈N*），∴數列{an}為等差數列，公差d=3，又a5=a1+4d=13，得a1=1，∴an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．又因為數列{bn}的前n項和為Sn=1﹣（n∈N*）．，當n=1時，b1=S1=，當n≥2時，bn=Sn﹣Sn﹣1=1﹣﹣=．，∴bn=．綜上：an=3n﹣2，bn=．（Ⅱ）anbn=（3n﹣2）．Tn=1×+7×+…+（3n﹣2）×，=+…+（3n﹣5）×+（3n﹣2）×，得：=﹣（3n﹣2）×=﹣（3n﹣2）×，∴Tn=1+3﹣（3n﹣2）×=4﹣＜4．21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且經過點（0，1），四邊形MNPQ的四個頂點都在橢圓C上，對角線MP所在直線的斜率為﹣1，且MN=MQ，PN=PQ．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）求四邊形MNPQ面積的最大值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質；直線與圓錐曲線的綜合問題；直線與橢圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）利用橢圓C：+=