淺談數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)美獲獎(jiǎng)科研報(bào)告

淺談數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)美獲獎(jiǎng)科研報(bào)告摘要：數(shù)學(xué)本質(zhì)上說(shuō)，是客觀世界的真實(shí)反映，只不過(guò)是高度濃縮的、極度概括的抽象反映而已，它具有美感，表現(xiàn)為“統(tǒng)一美，對(duì)稱(chēng)美，簡(jiǎn)單美，辨證美”等。

關(guān)鍵詞：淺談；數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)，無(wú)論是簡(jiǎn)單的代數(shù)幾何，還是深?yuàn)W的解析幾何、線(xiàn)性代數(shù)、微積分以及用于微觀研究的復(fù)雜數(shù)學(xué)，好像遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)世界，極度抽象，與人們生活遠(yuǎn)之又遠(yuǎn)。其實(shí)不然，所有的數(shù)學(xué)都有現(xiàn)實(shí)世界的模型作為基底，而不只是數(shù)學(xué)天才憑空奇想出來(lái)的符號(hào)、公式、圖形的演繹。數(shù)學(xué)是透過(guò)抽象化和邏輯推理的使用，在計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對(duì)物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的真理，數(shù)學(xué)具有美感，我們稱(chēng)之為數(shù)學(xué)美！

數(shù)學(xué)美主要表現(xiàn)為：主要有：統(tǒng)一美，對(duì)稱(chēng)美，簡(jiǎn)單美，辨證美等。

一.統(tǒng)一美

統(tǒng)一美，反映的是審美對(duì)象在形式或內(nèi)容上的某種共同性、關(guān)聯(lián)性或一致性，它能給人一種整體和諧的美感。數(shù)學(xué)對(duì)象的統(tǒng)一性通常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)和其它科學(xué)的統(tǒng)一。

1.數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一。在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的歷史過(guò)程中，一直存在著分化和整體化兩種趨勢(shì)。數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一性主要表現(xiàn)在它的整體性趨勢(shì)。布爾基學(xué)派的《數(shù)學(xué)原本》，用結(jié)構(gòu)的思想和語(yǔ)言來(lái)重新整理各個(gè)數(shù)學(xué)分支，在本質(zhì)上揭示數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，使之成為一個(gè)有機(jī)整體，在數(shù)學(xué)的高度統(tǒng)一性上給人一美的啟迪。

2.數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一。一切客觀事物都是相互聯(lián)系的，因而，作為反映客觀事物的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則也是互相聯(lián)系的，在一定條件下可處于一個(gè)統(tǒng)一體之中。例如，運(yùn)算、變換、函數(shù)分別是代數(shù)、幾何、分析這三個(gè)數(shù)學(xué)分支中的重要概念，在集合論中，便可統(tǒng)一于映射的概念。又如代數(shù)中的算術(shù)平均——幾何平均定理、加權(quán)平均定理、冪平均定理、加權(quán)冪平均定理等著名不等式，都可以統(tǒng)一于一元凹、凸函數(shù)的琴森不等式。

3.數(shù)學(xué)和其它科學(xué)的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)和其它科學(xué)的相互滲透，導(dǎo)致了科學(xué)數(shù)學(xué)化。力學(xué)的數(shù)學(xué)化使牛頓建立了經(jīng)典力學(xué)體系。科學(xué)的數(shù)學(xué)化使物理學(xué)與數(shù)學(xué)趨于統(tǒng)一。建立在相對(duì)論和量子論兩大基礎(chǔ)理論上的物理學(xué)，其各個(gè)分支都離不開(kāi)數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，它們的理論表述也采用了數(shù)學(xué)的形式。化學(xué)的數(shù)學(xué)化加速了化學(xué)這門(mén)實(shí)驗(yàn)性很強(qiáng)的學(xué)科向理論科學(xué)和精確科學(xué)過(guò)渡。生物數(shù)學(xué)化使生物學(xué)日益擺脫對(duì)生命過(guò)程進(jìn)行現(xiàn)象描述的階段，從定性研究轉(zhuǎn)向定量研究，這個(gè)數(shù)學(xué)化的方向，必將同物理學(xué)、化學(xué)的數(shù)學(xué)化方向一樣，把人類(lèi)對(duì)生命世界的認(rèn)識(shí)提高到一個(gè)嶄新的水平。不僅自然科學(xué)普遍數(shù)學(xué)化了，而且數(shù)學(xué)方法也進(jìn)入了經(jīng)濟(jì)學(xué)、法學(xué)、人口學(xué)、人種學(xué)、史學(xué)、考古學(xué)、語(yǔ)言學(xué)等社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，日益顯示出它的效用。

二.簡(jiǎn)單美

簡(jiǎn)單、明快才能給人以和諧之感，繁雜晦澀就談不上和諧一致。因此，簡(jiǎn)單性既是和諧性的一種表現(xiàn)，又是和諧性的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)美的簡(jiǎn)單性，并非指數(shù)學(xué)對(duì)象本身簡(jiǎn)單、淺顯，而是指數(shù)學(xué)對(duì)象由盡可能少的要素通過(guò)盡可能簡(jiǎn)捷、經(jīng)濟(jì)的方式組成，并且蘊(yùn)含著豐富和深刻的內(nèi)容。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美，主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)方法和表達(dá)形式的簡(jiǎn)單性。

1.數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單美。簡(jiǎn)單性是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美的基本內(nèi)容。就數(shù)學(xué)理論的邏輯結(jié)構(gòu)而論，它的簡(jiǎn)單性一般包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是理論前提的簡(jiǎn)單性，獨(dú)立的概念簡(jiǎn)單明確，以最少的公理來(lái)建立理論；二是理論表述的簡(jiǎn)單性，以最簡(jiǎn)單的方式抓住現(xiàn)象的本質(zhì)，定理和公式簡(jiǎn)單明晰。著名的皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)，就是邏輯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單美的一個(gè)典范。

2.數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)單美。簡(jiǎn)單性是數(shù)學(xué)方法美的重要標(biāo)志。一個(gè)美的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)證明，一般都包含著簡(jiǎn)單性的涵義。如希爾伯特解決果爾丹問(wèn)題的存在性證明方法就是數(shù)學(xué)方法簡(jiǎn)單美的一個(gè)范例。正是由于希爾伯特的方法簡(jiǎn)單而深刻，才使它能進(jìn)一步應(yīng)用到抽象代數(shù)中去，并把群、環(huán)、域的抽象理論提高到顯著的地位。

3.數(shù)學(xué)形式的簡(jiǎn)單美。簡(jiǎn)單性也是數(shù)學(xué)形態(tài)美的主要特征。數(shù)學(xué)形態(tài)美，是數(shù)學(xué)美的外部表現(xiàn)形態(tài)，是數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式（或表達(dá)式）的外在結(jié)構(gòu)中呈現(xiàn)出來(lái)的美。形態(tài)美的主要特征，在于它的簡(jiǎn)單性。例如，牛頓用F=ma概括了力、質(zhì)量、加速度之間的定量關(guān)系；中國(guó)著名數(shù)學(xué)家張景中院士認(rèn)為，“周氏猜測(cè)”以非常簡(jiǎn)潔、優(yōu)美的形式揭示了數(shù)學(xué)之美。

三.對(duì)稱(chēng)美

對(duì)稱(chēng)美，反映的是審美對(duì)象形態(tài)或結(jié)構(gòu)的均衡性、勻稱(chēng)性或變化的周期性、節(jié)律性。數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，實(shí)質(zhì)上是自然物的和諧性在量和量的關(guān)系上最直觀的表現(xiàn)。

從數(shù)學(xué)美來(lái)講，對(duì)稱(chēng)包括狹義對(duì)稱(chēng)、常義對(duì)稱(chēng)與泛對(duì)稱(chēng)等，內(nèi)容十分豐富。狹義對(duì)稱(chēng)可分為代數(shù)對(duì)稱(chēng)（共軛根式、共軛復(fù)數(shù)、對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式、輪換對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式、線(xiàn)性方程組的克萊姆法則、對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣、厄米特矩陣、反厄米特矩陣等）與幾何對(duì)稱(chēng)（軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)、平面對(duì)稱(chēng)等），常義對(duì)稱(chēng)包括同構(gòu)、同態(tài)、映射、反演、互補(bǔ)、互逆、相似、全等等，泛對(duì)稱(chēng)包括數(shù)學(xué)對(duì)象的系統(tǒng)性、守恒性、不變性、周期性、對(duì)偶性、等價(jià)性和勻稱(chēng)等。

四.辨證美

數(shù)學(xué)充滿(mǎn)著相對(duì)數(shù)量、概念和性質(zhì)，是辯證的對(duì)立統(tǒng)一，是真正的辯證法。如果說(shuō)各門(mén)科學(xué)都包含著豐富的辯證思想，那么，數(shù)學(xué)則有自己特殊的表現(xiàn)方式，即用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言以及簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)公式能明確地表達(dá)出各種辯證的關(guān)系和轉(zhuǎn)化。例如：初等數(shù)學(xué)中：點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)；曲線(xiàn)與方程之間的關(guān)系；概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)所揭示出的事物的必然性與偶然性的內(nèi)在聯(lián)系等。

總之，數(shù)學(xué)中的美是千姿百態(tài)、豐富多彩的，如美的形式符號(hào)、美的公式、美的曲線(xiàn)、美的曲面、美的證明、美的方法、美的理論