山西省岢嵐縣中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．方程表示的曲線是（）A．一個(gè)圓 B．兩個(gè)圓 C．半個(gè)圓 D．兩個(gè)半圓2．設(shè)，則有()A． B． C． D．3．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，m的值為（）A．3 B．0 C． D．14．已知向量滿足，．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．曲線，區(qū)域．若是兩段分離的曲線，則（）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知平行四邊形對(duì)角線與交于點(diǎn)，設(shè)，，則（）A． B． C． D．7．在直角梯形中，，為的中點(diǎn)，若，則A．1 B． C． D．8．如圖，在中，，，若，則()A． B． C． D．9．如圖，在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．10．如圖，在中，面，，是的中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則_______.12．方程的解集為____________.13．點(diǎn)到直線的距離為________.14．已知兩個(gè)數(shù)k＋9和6－k的等比中項(xiàng)是2k，則k＝________．15．已知二面角為60°，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為．16．已知，則____________________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．一扇形的周長(zhǎng)為20，當(dāng)扇形的圓心角等于多少時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？18．某學(xué)校高一、高二、高三的三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)如下表

高三

高二

高一

女生

133

153

z

男生

333

453

633

按年級(jí)分層抽樣的方法評(píng)選優(yōu)秀學(xué)生53人，其中高三有13人．（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機(jī)抽樣的方法從高二女生中抽取2人,經(jīng)檢測(cè)她們的得分如下：1．4，2．6，1．2，1．6，2．7，1．3，1．3，2．2，把這2人的得分看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)3．5的概率．19．從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表，求：（１）甲被選中的概率；（２）丁沒被選中的概率.20．已知角終邊上一點(diǎn)，且，求的值．21．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）求的圖像的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】原方程即即或故原方程表示兩個(gè)半圓．2、A【解析】

根據(jù)題意，利用輔助角公式得，對(duì)于，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式對(duì)進(jìn)行處理，即可得到；對(duì)于，利用二倍角公式對(duì)變形處理可以得到，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】由題意得因?yàn)檎液瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以,選A.【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于三角函數(shù)值大小比較的題目，解答本題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)公式；二倍角公式、輔助角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等．屬于中等題．3、C【解析】

求得直線所過(guò)的定點(diǎn)，當(dāng)和直線垂直時(shí)，距離取得最大值，根據(jù)斜率乘積等于列方程，由此求得的值.【詳解】直線可化為，故直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)和直線垂直時(shí)，距離取得最大值，故，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查含有參數(shù)的直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，考查點(diǎn)到直線距離的最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由圓的定義及平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算可得：點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，r為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)且點(diǎn)P在以Q為圓心，半徑為1和2的圓環(huán)區(qū)域運(yùn)動(dòng)，由圖可得解．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，由，則，即點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，r為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，又，則點(diǎn)P在以Q為圓心，半徑為1和2的圓環(huán)區(qū)域運(yùn)動(dòng)，由圖可知：當(dāng)C∩Ω是兩段分離的曲線時(shí)，r的取值范圍為：3<r<5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，利用數(shù)形結(jié)合思想，將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題.5、C【解析】

利用特殊值，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除，由此得到正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，由此排除D選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，由此排除B選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，由此排除A選項(xiàng).綜上所述，本小題選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)求值，考查利用特殊值法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)向量減法的三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算直接可得結(jié)果.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，涉及到向量的減法和數(shù)乘運(yùn)算的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，得到，可求出，從而可得出結(jié)果.【詳解】連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，,.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量基本定理的應(yīng)用，熟記平面向量基本定理即可，屬于常考題型.8、B【解析】∵∴又，∴故選B.9、D【解析】連結(jié)，∵，

∴是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），

∵在直三棱柱中，，，，

∴，，，，

∴，

∴異面直線與所成角的余弦值為，故選D.10、C【解析】試題分析：因?yàn)槊妫?，則三角形為直角三角形，因?yàn)?，所以，所以三角形是直角三角形，易證，所以面，即，則三角形為直角三角形，即共有7個(gè)直角三角形；故選C．考點(diǎn)：空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用將變?yōu)?，整理發(fā)現(xiàn)數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出，進(jìn)一步可以求出，再將，代入，發(fā)現(xiàn)可以裂項(xiàng)求的前99項(xiàng)和?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，符合，當(dāng)時(shí)，符合，【點(diǎn)睛】一般公式的使用是將變?yōu)?，而本題是將變?yōu)?，給后面的整理帶來(lái)方便。先求，再求，再求，一切都順其自然。12、或【解析】

首先將原方程利用輔助角公式化簡(jiǎn)為，再求出的值即可.【詳解】由題知：，，.所以或，.解得：或.所以解集為：或.故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖像及特殊角的三角函數(shù)值，同時(shí)考查了輔助角公式，屬于中檔題.13、3【解析】

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，代值求解即可.【詳解】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬基礎(chǔ)題.14、3【解析】由已知得(2k)2＝(k＋9)(6－k)，k∈N*，∴k＝3.15、【解析】

如圖

分別作于A,于C,于B,于D,

連CQ,BD則,,

又

當(dāng)且僅當(dāng),即點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)取最小值.

故答案選C.【點(diǎn)睛】16、【解析】

分子、分母同除以，將代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系，平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換，商的關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、；；【解析】

設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，利用周長(zhǎng)關(guān)系，表示出扇形的面積，利用二次函數(shù)求出面積的最大值，以及圓心角的大小.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則，即，扇形的面積，將上式代入得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，可得，所以當(dāng)時(shí)，扇形的面積取最大值，最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式、面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，需熟記扇形的弧長(zhǎng)、面積公式，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）433（2）（3）【解析】

（1）設(shè)該校總?cè)藬?shù)為n人,由題意得,，所以n=2333．z=2333-133-333-153-453-633=433；（2）設(shè)所抽樣本中有m個(gè)女生,因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ诟咭慌谐槿∫粋€(gè)容量為5的樣本，所以，解得m=2也就是抽取了2名女生，3名男生，分別記作S1，S2；B1，B2，B3，則從中任取2人的所有基本事件為（S1,B1），（S1,B2），（S1,B3），（S2,B1），（S2,B2）,（S2,B3），（S1,S2），（B1,B2），（B2,B3），（B1,B3）共13個(gè)，其中至少有1名女生的基本事件有7個(gè)：（S1,B1），（S1,B2），（S1,B3），（S2,B1），（S2,B2），（S2,B3），（S1,S2），所以從中任取2人，至少有1名女生的概率為．（3）樣本的平均數(shù)為，那么與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)3．5的數(shù)為1．4,2．6,1．2,2．7,1．3,1．3這6個(gè)數(shù),總的個(gè)數(shù)為2,所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)3．5的概率為．19、（1）；（2）.【解析】

（1）先確定從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定甲被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率（2）先確定從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定丁沒被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.【詳解】（1）從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁、丙丁共6種基本事件，其中甲被選中包括甲乙，甲丙，甲丁三種基本事件，所以甲被選中的概率為.（2）丁沒被選中包括甲乙，甲丙，乙丙三種基本事件，所以丁沒被選中的概率為.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.20、見解析【解析】

根據(jù)三角函數(shù)定義列方程解得，再根據(jù)三角函數(shù)定義求的值．【詳解】，(1)當(dāng)時(shí)，．(2)當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）