遼寧省沈陽市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

沈陽市第120中學(xué)2022-2023學(xué)年度上學(xué)期

高二年級第三次質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)試題

滿分：150分時間：120分鐘命題人：韓春靜潘爽

一、單項選擇題：每題只有一個選項是正確的（共8小題，每小題5分，共40分）

1,已知直線L的方程為2x+（5+m）y=8,直線%的方程為（3+m）x+4y=5—3m,若IJ/%,則m=（

）

A.-1或一7B.—1C.-7D.~3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)兩條直線平行得到系數(shù)滿足的方程，解得m的值后檢驗即可得到加的值.

【詳解】因為4〃，2,故2x4=（5+加）（3+加），整理得到加2+8加+7=0,

解得旭=-1或m=-7.

當(dāng)”?=-1時，4：x+2歹一4=0,/2:x+2y-4-0,兩直線重合，#；

13

當(dāng)機=-7時，/,:x-y-4=0,l2:x-y+—-0,兩直線平行，符合；

故機=-7,選C.

：AX+

【點睛】如果4：4x+3/+G=o，z22+c2=o,

（i）平行或重合等價于4坊=44；

（2）4，/2垂直等價于44+3/2=0.

2.已知“是拋物線y2=2x上的一點，尸是拋物線的焦點，若以a為始邊，F(xiàn)A/為終邊的角NxRW=60°,

則|必/j等于（）

4c

A.2B.竺”C.2GD.4

3

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)M（Xo，%）（%〉O）,根據(jù)題意列式求解「,%,再根據(jù)拋物線的定義求因⑷.

【詳解】由題意可得：

城=2x1

03xo=~

無o——6

設(shè)”（%，%）（%>0），則，%-0=5解得，2或.（舍去）,

出

Jon

(3、1

即"-,6,：.\FM\=x0+-^2.

\2J2

故選：A.

3.哈三中招聘了8名教師，平均分配給南崗群力兩個校區(qū)，其中2名語文教師不能分配在同一個校區(qū)，另

外3名數(shù)學(xué)教師也不能全分配在同一個校區(qū)，則不同的分配方案共有（）

A.18種B.24種C.36種D.48種

【答案】C

【解析】

【分析】先將2名語文老師分到兩個校區(qū)，再將3名數(shù)學(xué)老師分成2組再分到兩個校區(qū)，最后只需將其他3

人分成2組，結(jié)合每個校區(qū)各4人即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意知，先將2名語文老師分到兩個校區(qū)，有2種方法，

第二步將3名數(shù)學(xué)老師分成2組，一組1人另一組2人，有C；種分法,

然后再分到兩個校區(qū)，共有C；A；種方法，

第三步只需將其他3人分成2組，一組1人另一組2人，

由于每個校區(qū)各4人，故分組后兩人所去的校區(qū)就已確定，共有C；種方法,

根據(jù)分布乘法計數(shù)原理共有2C；C；A；=36種.

故選：C

4.10P被9除的余數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)10嚴(yán)=（99+2廣，結(jié)合二項式定理可得10卜被9除的余數(shù)與21°被9除的余數(shù)相同，由此

確定結(jié)論.

982]g

【詳解】因為10T°=（99+2）'°=C"o99'°+C'1O992'+C,0992+…+C^0992+C*99°2i°,

972910

所以1011°=99（C*o99+C；o99*2'+C^o992+???+C?o2）+C；?2,

因為99（C；°999+C；o992+C；o99722+…+C：029）為9的整數(shù)倍，

所以10f°被9除的余數(shù)與21°被9除的余數(shù)相同，又21°=2隈25=1024,1024被9除的余數(shù)為7,故10T°

被9除的余數(shù)為7,

故選：C.

5.托馬斯?貝葉斯（避加四四呻）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：

尸（"忸卜時成古時而’這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中

尸（回，）?尸（/）+尸（卻4、）?尸（4）稱為B的全概率.這個定理在實際生活中有著重要的應(yīng)用價值.假設(shè)某種

疾病在所有人群中的感染率是0.1%,醫(yī)院現(xiàn)有的技術(shù)對于該疾病檢測準(zhǔn)確率為99%,即已知患病情況下,

99%的可能性可以檢查出陽性，正常人99%的可能性檢查為正常.如果從人群中隨機抽一個人去檢測，經(jīng)

計算檢測結(jié)果為陽性的全概率為0.01098,請你用貝葉斯公式估計在醫(yī)院給出的檢測結(jié)果為陽性的條件下這

個人得病的概率（）

A.0.1%B.8%C.9%D.99%

【答案】C

【解析】

【分析】記一個人得病為事件A,檢測結(jié)果為陽性為事件8,由已知條件求出P（4）,P[B\A）,

P（B\A）-P[A）+P（B\A\P（Acy結(jié)合題中的信息,求出尸（4忸）,即可得到答案.

【詳解】記一個人得病為事件A,檢測結(jié)果為陽性為事件B,

則尸（4）=01％,P（B|J）=99%,尸（目/）?尸（⑷+P（邳4）?尸（4）=0.01098,

P[B\A）P（A）99%x0.1%

所以尸（幺忸）=?9%

尸（8⑷?尸（/）+尸?，?尸（萬）0.01098

所以在醫(yī)院給出的檢測結(jié)果為陽性的條件下這個人得病的概率為9%,

故選：C.

22

6.已知橢圓后：5+4=1（4>6>0）的右焦點尸與拋物線V=i2x的焦點重合，過點尸的直線交E于A、

a~b~

8兩點，若Z5的中點坐標(biāo)為,則E的方程為（）

3一13一1

A.B.

45363627

【答案】D

【解析】

【分析】利用點差法可求得/=2/,再由c=3可得出/、〃的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】解：設(shè)4（演,凹）、B（x2,y2）,若NB/x軸，則A、8關(guān)于x軸對稱，不合乎題意,

=1

,兩式相減得互戈+比盧=0,

將A、B的坐標(biāo)代入橢圓方程得",

a2b2

玉.二=1

可得北孕+皿牛=。

ax}-x2

因為線段48的中點坐標(biāo)為（1,T）,所以，玉+超=2,yt+y2=-2,

因為拋物線_/=12X的焦點為（3,0）,所以R（3,0）,

y—y—1—0121—2

又直線Z8過點尸（3,0）,因此38=2~4=丁一廠=彳，所以，—+-x—=0,

國一工2—J2a2b

整理得標(biāo)=2/，又c=3=〃2一/，解得/=18,〃=9,

因此，橢圓E的方程為三+口=1,

189

故選：D.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，己知點/（TO）,8（2,0）,圓C：（x—2y+（y—加）2=；（加〉0）,在圓上存在

點尸滿足『訓(xùn)=2|尸理，則實數(shù)機的取值范圍是（）

V5叵

D.

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出點P的軌跡，再利用兩圓有公共點的充要條件求解作答.

【詳解】設(shè)點尸（XJ）,由歸川=2|尸8|得：7（x+l）2+/=27（X-2）2+/.整理得：（X-3）2+/=4,

即點P的軌跡是以點C°（3,0）為圓心，2為半徑的圓，而圓C的圓心。（2,加），半徑為

依題意，圓C。與圓C有公共點，即有2-；歸|℃0目2+；,即:<1+加24高，而〃?>0,解得

—<m<---'

22

所以實數(shù)”的取值范圍是彳V5，王V2—1

故選：D

8.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體,

半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24,棱長為、巧的

半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體

所得.若點E為線段8C上的動點，則直線0E與直線4/所成角的余弦值的取值范圍為（）

【答案】C

【解析】

【分析】將半正多面體補成正方體并建立空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點坐標(biāo)，設(shè)

JE=ABC=（-A,A,O）,AE[Q,1],利用向量夾角的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)性質(zhì)求所成角的余弦值的取值范

圍.

【詳解】將半正多面體補成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

z

因為半正多面體的棱長為J5,故正方體的棱長為2.

所以4(2,1,0),尸(2,2,1),5(l,0,2),C(0,l,2),D(l,2,2),AF=(0,l,l),SC=(-l,l,0).

設(shè)礪=2蔗=(—則E(l—彳4,2),瓦=(—2,4—2,0).

所以

A-2

css〈AF,DE^AF-DE_

同國(入-2,

j_J(4-2)21I

2V(2-2)2+2(/1-2)+2~~2122

Y2-2("2)2

令/=---G—1,—，則C0S(4/,DE\=/,,

A-212」'/25+2/+1

￡

因為2r+2f+le—,1,所以cos(4F，DE)€V2

~T,2

故直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為

故選：C

二、多項選擇題：每題有多個選項是正確的(共4小題，每小題5分，共20分)

9.從5名候選人中選派出3人參加A,B,C活動，且每項活動有且僅有1人參加，甲不參加A活動，則

()

A.有36種不同的選派方案

B.有48種不同的選派方案

C.若甲參加活動，則有24種不同的選派方案

D.若甲不參加活動，則有24種不同的選派方案

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用排列問題及分類加法計數(shù)原理計算，再判斷各選項作答.

【詳解】若甲參加活動，則選8,C之一給甲，余下兩項活動選派給另4人中兩人，有A；A；=24種，C正

確；

若甲不參加活動，則除甲外的4人中選派3人參加活動，有A：=24種，D正確；

由分類加法計數(shù)原理知，不同的選派方案有A；A；+A：=48種，B正確；A不正確.

故選：BCD

Y2V2

10.對于曲線C：J+\=下面說法正確的是（）

k-21-k

A.若左=3,曲線C的長軸長為4

B.若曲線。是橢圓，則左的取值范圍是2＜左＜7

C.若曲線C是焦點在x軸上的雙曲線，則左的取值范圍是人＞7

D.若曲線C是橢圓且離心率為也，則左的值為I■或3

233

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線、橢圓的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】曲線。:三+二=1,

k-21-k

A選項，k=3,x2+—=1,則a=2,2a=4,A選項正確.

4

k-2＞0

B選項，若曲線。是橢圓，貝人7—左＞0,

左一2聲7—左

9

解得2〈左＜7且女工一，所以B選項錯誤.

2

伏一2＞0

C選項，若曲線。是焦點在x軸上的雙曲線，則《，八，

7—左＜0

解得左＞7,C選項正確.

D選項，曲線C是橢圓且離心率為正，-

2a尼尸二仔《泊

9

由B選項的分析可知2〈左＜7且女工一,

2

9k-2111

當(dāng)2＜女＜一時，桶圓焦點在V軸上，=—,解得左二T

21-k2

97-k116

當(dāng)一＜女＜7時，橢圓焦點在x軸上，——,解得左=

2k-223

所以女的值為一或一，D選項正確.

33

故選：ACD

11.已知(1-2X)2023=%+%x+勺/+…+%023—23,則()

A.展開式中所有項的二項式系數(shù)和為22°23

B.展開式中系數(shù)最大項為第1350項

32023_1

c.q+/+%+…+42023=--

aaa,“2023—1

Dn.--i-1,--2,H,3rH,---1---zrrr——1

2222322023

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)題目要求結(jié)合二項式定理的各項性質(zhì)即可得到結(jié)果

【詳解】易知(l-2x)2儂的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為22023,故A正確;

由二項式通項，知小=C：023(—2X)*=(—2)*C：023X3所以第1350項的系數(shù)為(-2)由C；溫＜0,所以第

1350項不是系數(shù)最大項，故B錯誤；

當(dāng)X=1時，有為+4+生^---42023=-1①，當(dāng)X=-1時，有—6+。2-°3-----。2022—。2023=3~°'3②,

①一②，可得《+43+Q5H---^。2023=------——，故C錯誤；

當(dāng)x=0時，有4=1,當(dāng)》=；時，$+…+=°

所以言+會'+墨+…+瑞f=—%=T，故D正確.

故選：AD

12.對于任意非零向量d=(*，M，zJ,b=(x2,y2,z2),以下說法錯誤的有()

A.已知向量值二(1,1,x),b=(-3,x,9),若則E)為鈍角

B.若刃區(qū)，則立二及=五

馬歹2Z2

—?1—?3—?

C.若空間四個點尸,4優(yōu)刃+―P3,則48。三點共線

44

D.若直線/的方向向量為0=(1,0,3),平面a的法向量為萬=(一2,0,晟］,則直線///a

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用特例判斷A、B,根據(jù)空間向量線性運算法求出刀=』刀，即可判斷C,根據(jù)空間向量數(shù)

4

量積的坐標(biāo)運算判斷D；

【詳解】解：對于A：當(dāng)x=—3時，5=(1,1,-3),6=(-3,-3,9),即否=-33,可得B共線反向，

故A錯誤；

對于B：當(dāng)石=(1,0,0)、B=(2,0,0)時，d癡成立,而￡=1=三不成立，故B錯誤；

對于C：根據(jù)題意可得定一莎=2(方—萬)，即有刀=3萬，則/、B、C三點共線，故C正確;

4、74

2

對于D：e-w=lx(-2)+0x0+3x-=0,所以/ua或///a,故D錯誤；

故選：ABD.

三、填空題(共4小題，每小題5分，共20分)

13.隨機變量X等可能取值為1,2,3,…,〃，如果尸(X<4)=」,那么〃=.

2-

【答案】6

【解析】

【詳解】因為隨機變量X等可能取值，而X<4只有三個數(shù)，所以*=2x3=6

14.已知C：+C3+Cl［+…+/=匿，則m=.

【答案】4或14##14或4

【解析】

m

［分析］根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)C：+1=C：+C；I及C：=C；；-即可求解.

【詳解】解：因為C：+c：+1+c：+2+…+禺=c；。，

所以

C：+C：+1+c—2+…+/=c黑:+c：;+I+c：；+2+…+/

.cmz^/n+1..c〃1+lc5

=C“,+2+C“,+2+..?+優(yōu)9=C,“+3+…+C"=J?。=C20

所以，〃+1=5或m+1+5=20,又047n419,加eN*,解得TH=4或〃?=14,

故答案為：4或14.

15.已知雙曲線C:二-匕=1與直線y=2x無交點，則加的取值范圍是.

4m

【答案】（0,16]

【解析】

【分析】結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，可知直線V=2x應(yīng)在兩漸近線上下兩部分之間，由此可得不等式叵42,

2

解之即可求得的取值范圍.

【詳解】依題意，由C:工—亡=1可得加＞0,雙曲線。的漸近線方程為夕=±叵》，

4m2

因為雙曲線C與直線y=2x無交點，所以直線y=2x應(yīng)在兩條漸近線上下兩部分之間,

吟<2>解得0<〃?416,即me(0,16].

故答案為：（0/6].

16.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機

取出一球放入乙罐，分別以4,4和4表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件：再從乙罐中隨機

取出一球，以8表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是(寫出所有正確結(jié)論

的編號).

2

①尸(8)=1；

②尸(8|4)=(；

③事件B與事件4相互獨立；

④4,4,4是兩兩互斥的事件；

⑤尸(8)的值不能確定，因為它與4,4,4中11那一個發(fā)生有關(guān)

【答案】②④

【解析】

【分析】根據(jù)互斥事件的定義即可判斷④；根據(jù)條件概率的計算公式分別得出事件發(fā)生的條件下

B事件發(fā)生的概率，即可判斷②；然后由尸(B)=P(48)+尸(48)+P(48)，判斷①和⑤；再比較

尸(48),P(4)P(8)的大小即可判斷③.

【詳解】由題意可知事件4,4,4不可能同時發(fā)生，則4,是兩兩互斥的事件，則④正確;

544

由題意得尸(04)=下，尸(314)=-j■，尸(8|4)=-j■，故②正確;

p(B)=p(4B)+尸(4B)+P(48)=P(4)P(R4)+P(4)P(刃4)+P(4)P(B|4)

5524349

=-X--1---X1---X-=——，①⑤錯;

10111011101122

5599

因為P(40=—,P(A)P(B)=—x—=—,所以事件B與事件Ai不獨立，③錯；綜上選②④

2212t244

故答案為：②④

【點睛】本題主要考查了判斷互斥事件，計算條件概率以及事件的獨立性，屬于中檔題.

四、解答題

［、

17.已知在+的展開式中，前3項的系數(shù)分別為a”％，%且滿足2a2=q+%.求:

2也)

(1)展開式中二項式系數(shù)最大項的項;

(2)展開式中系數(shù)最大的項；

(3)展開式中所有有理項.

35-

【答案】（1）—X3

8

,、7v3

⑵7—和7-

7

(3)/和---

16x

【解析】

【分析】（1）由二項式展開式通項公式，結(jié)合條件列方程求〃，再由二項式系數(shù)的性質(zhì)求二項式系數(shù)最大的

項;

（2）設(shè)第左+1項系數(shù)最大，列不等式組求左，由此確定系數(shù)最大的項;

（3）根據(jù)有理項的定義確定有理項的項數(shù)，再求有理項.

【小問1詳解】

因為,左=0,1,2…

1_1._1

所以生1，。2=^rrG=

依題意得2x,〃=l+即〃(〃-1)=8(〃-1),由己知〃》2,

2

所以〃=8,

所以（4+17

的展開式有9項，二項式系數(shù)最大的項為第5項,

2加,

1I三j

所以n=及仁一

8

【小問2詳解】

24-5k

由（1）知，Is=產(chǎn)X6

1「k-I

>產(chǎn)5

設(shè)展開式中系數(shù)最大的項為第4+1項，貝聯(lián)

1

>+i

聲5

8!8!

>2--....------

左!?(8—左)!(左_1?(9—左)!9-kN2k

即，,即

8!8!2k+228—%

2....---->......-------

人!?(8—左)！一(左+1)!-(7—左)!

解得2《左43,所以左=2或左=3,

］24-10L193

所以展開式中系數(shù)最大的項為I7/和看=了c>6=7x2.

【小問3詳解】

124—5R74-5^

由LLACX6(左=0,1,2,3,4,5,6,7,8)為有理項知，—為整數(shù)，得7=0,6,

［絲1—7

所以展開式中所有有理項為*=；C；X6=/和=，

2216x

18.已知圓心為C的圓經(jīng)過8（2,一2）兩點，且圓心C在直線/：x—y+l=O上.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)尸為圓C上的一個動點，。為坐標(biāo)原點，求0P的中點M的軌跡方程.

【答案】(1)(x+3)2+(y+2)2=25；

3+3+1)2=今

(2)X4--

2

【解析】

【分析】（1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（凡6）,可得。-6+1=0,結(jié)合條件可得。-36-3=0,進而求得圓心的

坐標(biāo)，半徑，即得;

（2）設(shè)M（xj）,P（x0,y0）,進而可得尸（2x,2y）,然后代入圓C的方程，化簡求得加點的軌跡方程.

【小問1詳解】

設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a,b）,半徑為r,

:圓心C在直線/：］一歹+1=0上,

Q—b+1=09

?.?圓C經(jīng)過幺(1,1),8(2,-2)兩點,

.-.|C4|=|C5|,

即7(?-i)2+(6-i)2=J("2)2+S+2)2,

化簡得：a—3匕一3=0,又Q—b+l=0,

所以a=—3,b=-2,

圓心C的坐標(biāo)為(—3,—2),r=\AC\=J(l+3〈+(1+2為=5，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x+3)2+Cy+2)2=25；

【小問2詳解】

設(shè)M(xj)，尸6。,九)，

為OP的中點，

J20戶2\

匕了

/.尸(2x,2y),

???/在圓C上,

.?.(2x+3)2+(2y+2)2=25,即(x+|)+(y+l)2=^-,

...O尸的中點郵的軌跡方程為++3+1)2=5.

19.如圖，在矩形為8C7)和48EF中，

AB=4,AD=AF=3,Z.DAF=—,DM=ADB,AN=AAE,0<A<1,記AB=aAD=bAF=c-

3''

（1）求異面直線/E與8。所成角的余弦值；

（2）將麗用Z五"表示出來,并求|麗|的最小值;

（3）是否存在力使得平面48CQ?若存在，求出4的值，若不存在，請說明理由.

答案】(1)——;

50

____3

(2)MN=(X-\)b+^c,最小值為]；

2

(3)存在，A—.

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)空間向量線性的運算法則，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)、空間向量夾角公式進行求

解即可；

(2)根據(jù)空間向量線性的運算法則，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；

(3)根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合空間向量互相垂直的性質(zhì)進行求解即可.

【小問1詳解】

由已知得：~AE=a+c,DB=a-b

\AE\=^a+c\=yla2+c2+2a-c=46+9+0=5,同理I麗H公一加=5,

所以cos〈運，麗〉=2)?(吐回=乙磋=空

\AE\-\DB\2550

23

故異面直線AE與BD所成角的余弦值—；

50

【小問2詳解】

MN=AN-AM=AN-(AD+DM)

-A(a+c)-歷+A(a-b)]=(4一1)B+Ac.

所以|麗|=7[(/l-l)^+/lc]2=79(/l-l)2+92(2-l)+922

13

當(dāng)/I=—時，|MN|的最小值為]；

【小問3詳解】

假設(shè)存在A使得MN1平面ABCD，故MN工AB,MNA.AD.

因為礪.方=[(%—1而+/1N力=0：

由麗?瓦=0’得—1防+4展卜3=0,

92

化簡得9(/1-1)+Q/1=0,解得；1=§,滿足條件.

2

故存在2=-使得MN1平面48c。.

3

20.已知有一道有四個選項的單項選擇題和一道有四個選項的多項選擇題，小明知道每道多項選擇題均有兩

個或三個正確選項.但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.這樣，小明

在做多項選擇題時，可能選擇一個選項，也可能選擇兩個或三個選項，但不會選擇四個選項.

（1）如果小明不知道單項選擇題的正確答案，就作隨機猜測.已知小明知道單項選擇題的正確答案和隨機猜

測概率都是在他做完單項選擇題后，從卷面上看，在題答對的情況下，求他知道單項選擇題正確答案

的概率；

（2）假設(shè)小明在做該道多項選擇題時，基于已有的解題經(jīng)驗，他選擇一個選項的概率為選擇兩個選項

的概率為,，選擇三個選項的概率為1.已知該道多項選擇題只有兩個正確選項，小明完全不知道四個選項

36

的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機選擇.記X表示小明做完該道多項選擇題后所得的分數(shù).求X的分布列.

4

【答案】（1）-

（2）分布列見解析

【解析】

【分析】（1）先通過全概率公式求出題目答對了的概率，在通過條件計算答對的情況下，知道單項選擇題

正確答案的概率即可；

（2）設(shè)事件4表示小明選擇了i個選項，，=1，2,3,C表示選到的選項都是正確的，則X可能取值為0,

2,5,依次計算X=0,2,5的概率，即可根據(jù)結(jié)果列出分布列.

【小問1詳解】

記事件4為“題目答對了”，事件8為“知道正確答案”，

則尸（4忸）=1,P（Z廬）=；,P（B）=P（^）=g,

由全概率公式：P（N）=P（B）P（A\B）+P（S）P（/i|S）=|xl+lxl=|,

所求…鬻=5上高

8

【小問2詳解】

設(shè)事件4表示小明選擇了,?個選項，i=1,2,3,。表示選到的選項都是正確的.

X可能取值為0,2,5,

P(X=2)=p(Atc)=p(4)p(c|4)=1xl=l,

P(X=5)=P(4C)=P(4)P(C|4)=95=/

J1O

25

P(X=0)=l—P(X=2)—P(X=5)=」.

隨機變量X的分布列為

X025

2521

P

36418

21.如圖，尸。，平面/88,/0，。。，ABIICD,PQ//CD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,

(1)求二面角Q—MC—尸的正弦值；

IF

(2)若N為線段C0上的點，且直線ZW與平面尸〃。所成的角為一，求N到平面MCP的距離.

6

【答案】(1)y;

(2)叵

3

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面CN。和平面尸CN的法向量，利用空間向量求二面角：

(2)設(shè)斷=2區(qū)(0<4<1),求出平面尸用。的法向量，根據(jù)線面夾角求2,利用空間向量求點到面的

距離.

【小問1詳解】

則以。為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP的方向為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

由題意得:0(0,1,2),0(0,0,2),"(1,1,1),C(0,2,0),

近=(7,0,1)，兩=(1,1,-1)，由=(1,-1,1)，

一n,CM=0[x,-y,+z,=0

設(shè)平面CM。的法向量〃I=(X，y,zJ,則」一.‘即1'

-MQ=0[-x,+z,=0

令Z]=l,則再=1,必=2,即々=(1,2,1),

同理可得平面產(chǎn)。0的法向量第=(0,1,1),

勺?%_2+1_v3/―?—r[

麗=萬訪=3,且打㈤的斗

故二面角。一MC一尸的正弦值為，

【小問2詳解】

設(shè)9=4區(qū)(0W4W1)，區(qū)=(0,1,—2),

即麗=XQC=(0,2,-22),則N(0,2+1,2-22),

.?.麗=(0"+l,2-22)，

-,、iiPM=0x+y-z=0

設(shè)平面PM。的法向量為〃=x,y,z),\一即,

n-MQ=0-x+z=0

令Z=l,則x=l,y=o,即3=(1,0,1),

_______|2-24|_______

由題意知：sin—=IcosCDN,M\|=?_即27(>t+l)2+(2-22)2x五

6?'/ION』〃

整理得：3/l2_i(U+3=0,解得：/1=；或2=3,

又0W/IW1,則；1=工，