北京市平谷區(qū)市級名校2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)是△所在平面上的一點(diǎn)，若，則的最小值為A． B． C． D．2．在中，，，則（）A． B． C． D．3．若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y的最小值（）A． B．－1 C．0 D．24．若，則函數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．5．若，，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．設(shè)，為兩個(gè)平面，則能斷定∥的條件是（）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，平行于同一條直線C．，垂直于同一條直線 D．，垂直于同一平面7．在中，角的對邊分別是，已知，則（）A． B． C． D．或8．已知不等式的解集為，則不等式的解集為()A． B．C． D．9．某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號1，2，……，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取50名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗(yàn).若66號學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是（）A．16 B．226 C．616 D．85610．已知，則的值等于()A．2 B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知的三邊分別是，且面積，則角__________.12．若數(shù)列滿足（）,且，，__.13．已知銳角、滿足，，則的值為______.14．設(shè)向量，且，則__________．15．若，，則___________.16．向量．若向量，則實(shí)數(shù)的值是________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（3）在條件（2）下，若不等式對任意正整數(shù)n都成立，求的取值范圍.18．某建筑公司用8000萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少12層、每層4000平方米的樓房．經(jīng)初步估計(jì)得知，如果將樓房建為x(x≥12)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為Q(x)＝3000＋50x(單位：元)．（1）求樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用f(x)的解析式.（2）為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？每平方米的平均綜合費(fèi)用最小值是多少？（注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用＝）19．設(shè)數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．如圖，在處有一港口，兩艘海輪同時(shí)從港口處出發(fā)向正北方向勻速航行，海輪的航行速度為20海里/小時(shí)，海輪的航行速度大于海輪．在港口北偏東60°方向上的處有一觀測站，1小時(shí)后在處測得與海輪的距離為30海里，且處對兩艘海輪，的視角為30°．（1）求觀測站到港口的距離；（2）求海輪的航行速度．21．已知，其中，，．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，且向量與共線，求邊長和的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】分析：利用向量的加法運(yùn)算，設(shè)的中點(diǎn)為D，可得，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可將原式化簡為，為AD中點(diǎn)，從而得解.詳解：由，可得.設(shè)的中點(diǎn)為D，即.點(diǎn)P是△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，為AD中點(diǎn).∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有最小值.故選C.點(diǎn)睛：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．2、A【解析】

本題首先可根據(jù)計(jì)算出的值，然后根據(jù)正弦定理以及即可計(jì)算出的值，最后得出結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)?，所?由正弦定理可知，即，解得，故選A?！军c(diǎn)睛】本題考查根據(jù)解三角形的相關(guān)公式計(jì)算的值，考查同角三角函數(shù)的相關(guān)公式，考查正弦定理的使用，是簡單題。3、A【解析】

線性規(guī)劃問題，首先畫出可行域，再令z=0，畫出目標(biāo)函數(shù)，上下平移得到z的最值?！驹斀狻靠尚杏蛉鐖D所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移到A點(diǎn)時(shí)z取最小值，故選A【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃中線性的目標(biāo)函數(shù)問題，首先畫出可行域，再令z=0，畫出目標(biāo)函數(shù)，上下平移得到z的最值。4、B【解析】

直接用均值不等式求最小值.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，取等號.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用均值不等式求函數(shù)最小值,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)平面向量夾角公式可求得，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)與的夾角為，又故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角的求解問題，關(guān)鍵是熟練掌握兩向量夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

對四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，可得出答案.【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)，相交于直線時(shí)，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，即A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，當(dāng)，相交于直線時(shí)，存在直線滿足：既與平行又不在兩平面內(nèi)，該直線平行于，，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，設(shè)直線AB垂直于，平面，垂足分別為A,B，假設(shè)與不平行，設(shè)其中一個(gè)交點(diǎn)為C，則三角形ABC中，，顯然不可能成立，即假設(shè)不成立，故與平行，故C正確；對于選項(xiàng)D，，垂直于同一平面，與可能平行也可能相交，故D錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的判斷，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.7、B【解析】

由已知知，所以B＜A=，由正弦定理得，==，所以，故選B考點(diǎn)：正弦定理8、B【解析】

首先根據(jù)題意得到，為方程的根，再解出的值帶入不等式即可.【詳解】有題知：，為方程的根.所以，解得.所以，解得：或.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式的求法，同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于簡單題.9、B【解析】

抽樣間隔為，由第三組中的第6個(gè)數(shù)被抽取到，結(jié)合226是第12組中的第6個(gè)數(shù)，從而可得結(jié)果．【詳解】從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取50名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗(yàn),抽樣間隔為，號學(xué)生被抽到，第四組中的第6個(gè)數(shù)被抽取到，226是第12組中的第6個(gè)數(shù)，被抽到,故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)，確定抽樣間隔是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義域以及函數(shù)解析式的關(guān)系，代值即可.【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的求值問題，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：由，可得，整理得，即，所以.考點(diǎn)：余弦定理；三角形的面積公式.12、1【解析】

由數(shù)列滿足，即，得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的極限的求法，即可求解．【詳解】由題意，數(shù)列滿足，即，又由，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得．所以．故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及無窮等比數(shù)列的極限的計(jì)算，其中解答中得出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

計(jì)算出角的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計(jì)算出的值和的值，然后利用兩角差的余弦公式可計(jì)算出的值.【詳解】由題意可知，，，，則，.因此，.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角差的余弦公式求值，同時(shí)也考查了同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求值，解題時(shí)要明確所求角與已知角之間的關(guān)系，合理利用公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.14、【解析】因?yàn)?，所以，故答案?15、【解析】

將等式和等式都平方，再將所得兩個(gè)等式相加，并利用兩角和的正弦公式可求出的值.【詳解】若，，將上述兩等式平方得，①，②，①＋②可得，求得，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和的正弦公式求值，解題的關(guān)鍵就是將等式進(jìn)行平方，結(jié)合等式結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16、-3【解析】

試題分析：∵，∴，又∵，∴，∴，∴考點(diǎn)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算點(diǎn)評：熟練運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時(shí)：；當(dāng)時(shí)：（2）（3）【解析】

（1）直接利用等比數(shù)列公式得到答案.（2）利用錯(cuò)位相減法得到答案.（3）將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)雙勾函數(shù)求數(shù)列的最大值得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：（2）數(shù)列為遞增數(shù)列，，兩式相加，化簡得到（3）設(shè)原式（為奇數(shù)）根據(jù)雙勾函數(shù)知：或時(shí)有最大值.時(shí)，原式時(shí)，原式故【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求前N項(xiàng)和，恒成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用雙勾函數(shù)求數(shù)列的最大值是解題的關(guān)鍵，此題綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.18、（1）；（2）該樓房應(yīng)建為20層，每平方米的平均綜合費(fèi)用最小值為5000元．【解析】【試題分析】先建立樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用函數(shù)，再應(yīng)基本不等式求其最小值及取得極小值時(shí)：解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號取到.所以，當(dāng)時(shí)，最小值為5000元.19、（1）；（1）.【解析】

（1）在中，將代得：，由兩式作商得：，問題得解．（1）利用（1）中結(jié)果求得，分組求和，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及乘公比錯(cuò)位相減法分別求和即可得解．【詳解】（1）由n＝1得，因?yàn)?，?dāng)n≥1時(shí)，，由兩式作商得：（n＞1且n∈N*），又因?yàn)榉仙鲜?，所以（n∈N*）．（1）設(shè)，則bn＝n＋n·1n，所以Sn＝b1＋b1＋…＋bn＝（1＋1＋…＋n）＋設(shè)Tn＝1＋1·11＋3·13＋…+（n－1）·1n－1＋n·1n，①所以1Tn＝11＋1·13＋…（n－1）·1n－1＋（n－1）·1n＋n·1n＋1，②①－②得：－Tn＝1＋11＋13＋…＋1n－n·1n＋1，所以Tn＝（n－1）·1n＋1＋1．所以，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了賦值法及方程思想，還考查了分組求和法及乘公比錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．20、（1）海里；（2）速度為海里/小時(shí)【解析】

（1）由已知可知,所以在中，運(yùn)用余弦定理易得OA的長．（2）因?yàn)镃航行1小時(shí)到達(dá)C，所以知道OC的長即可，即求BC的長．在中，由正弦定理求得，在中，再由正弦定理即可求出BC．【詳解】（1）因?yàn)楹惖乃俣葹?0海里/小時(shí)，所以1小時(shí)后，海里又海里，，所以中，由余弦定理知：即即，解得：海里（2）中，由正弦定理知：