2023年江蘇省淮安市高中校協(xié)作體數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，則與().A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則等于（）A． B． C． D．3．在中，，，，則的面積是（）．A． B． C．或 D．或4．一個(gè)正方體的體積是8，則這個(gè)正方體的內(nèi)切球的表面積是（）A．8π B．6π C．4π D．π5．若，則（）A． B． C．2 D．6．已知在中，為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值為（）A．2 B． C． D．－27．有窮數(shù)列中的每一項(xiàng)都是-1，0，1這三個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù)，，且，則有窮數(shù)列中值為0的項(xiàng)數(shù)是（）A．1000 B．1010 C．1015 D．10308．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．9．已知，則的值構(gòu)成的集合為（）A． B． C． D．10．已知圓O1：x2+y2=1與圓O2：（x﹣3）2+（x+4）2=16，則圓O1與圓O2的位置關(guān)系為（）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．相離二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若直線的傾斜角為，則______.12．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則公比________.13．化簡(jiǎn)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.14．關(guān)于的不等式的解集是，則______．15．已知中，的對(duì)邊分別為，若，則的周長(zhǎng)的取值范圍是__________．16．三棱錐的各頂點(diǎn)都在球的球面上，，平面，，，球的表面積為，則的表面積為_(kāi)______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，數(shù)列滿足，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．己知，，且函數(shù)的圖像上的任意兩條對(duì)稱軸之間的距離的最小值是.（1）求的值：（2）將函數(shù)的圖像向右平移單位后，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在上的最值，并求取得最值時(shí)的的值.19．某校舉行漢字聽(tīng)寫(xiě)比賽，為了了解本次比賽成績(jī)情況，從得分不低于50分的試卷中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù)，滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組[50，60)50.05第2組[60，70)0.35第3組[70，80)30第4組[80，90)200.20第5組[90，100]100.10合計(jì)1001.00（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若從成績(jī)較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽(tīng)寫(xiě)比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率．20．在中，角所對(duì)的邊為，且滿足（1）求角的值；（2）若且，求的取值范圍．21．求下列各式的值：（1）求的值；（2）已知，，且，，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

通過(guò)計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積，然后再判斷兩個(gè)向量能否寫(xiě)成的形式，這樣可以選出正確答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，而不存在?shí)數(shù)，使成立，因此與不共線，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)平面向量垂直的判斷，考查了平面向量共線的判斷，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、B【解析】

依據(jù)為周期函數(shù)，得到，并項(xiàng)求和，即可求出的值?！驹斀狻恳?yàn)闉橹芷诤瘮?shù)，周期為4，所以，，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列求和方法——并項(xiàng)求和法的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的周期性，分論討論思想，意在考查學(xué)生的推理論證和計(jì)算能力。3、C【解析】，∴，或．（）當(dāng)時(shí)，．∴．（）當(dāng)時(shí)，．∴．故選．4、C【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則＝8，∴a＝2.而此正方體的內(nèi)切球直徑為2，∴S表＝4π＝4π.選C.5、D【解析】

將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二倍角的正切公式即可求出.【詳解】故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的正切公式，關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，利用二倍角的正切公式求出，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

由，結(jié)合投影幾何意義，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由,結(jié)合投影幾何意義有：過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足落在的延長(zhǎng)線上，且,以所在直線為軸，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)，其中則解析式是關(guān)于的二次函數(shù)，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)取得最小值故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量方法解決幾何最值問(wèn)題，屬于中等題型.7、B【解析】

把（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2015+1）2＝3870展開(kāi)，將a1+a2+a3+…+a2015＝425，代入化簡(jiǎn)得：＝1005，由于數(shù)列a1，a2，a3，…，a2015中的每一項(xiàng)都是﹣1，0，1這三個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù)，即可得出．【詳解】（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2015+1）2＝3870，展開(kāi)可得：+2（a1+a2+…+a2015）+2015＝3870，把a(bǔ)1+a2+a3+…+a2015＝425，代入化簡(jiǎn)可得：＝1005，∵數(shù)列a1，a2，a3，…，a2015中的每一項(xiàng)都是﹣1，0，1這三個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù)，∴有窮數(shù)列a1，a2，a3，…，a2015中值為0的項(xiàng)數(shù)等于2015﹣1005＝1．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了乘法公式化簡(jiǎn)求值、數(shù)列求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8、A【解析】

根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，可得，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的加法法則的應(yīng)用，其中解答中熟記平面向量的加法法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

根據(jù)的奇偶分類討論．【詳解】為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則．∴的值構(gòu)成的集合是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式，掌握誘導(dǎo)公式是解題基礎(chǔ)．注意誘導(dǎo)公式的十字口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．10、A【解析】

先求出兩個(gè)圓的圓心和半徑，再根據(jù)它們的圓心距等于半徑之和，可得兩圓相外切.【詳解】圓的圓心為，半徑等于1，圓的圓心為，半徑等于4，它們的圓心距等于，等于半徑之和，兩個(gè)圓相外切.故選A.【點(diǎn)睛】判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

首先利用直線方程求出直線斜率，通過(guò)斜率求出傾斜角.【詳解】由題知直線方程為，所以直線的斜率，又因?yàn)閮A斜角，所以傾斜角.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線傾斜角與直線斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

利用等比中項(xiàng)可求出，再由可求出公比.【詳解】因?yàn)?，，所以，，解?【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、1【解析】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.14、【解析】

利用二次不等式解集與二次方程根的關(guān)系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到和的值，得到答案.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以關(guān)于的方程的解是，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式解集和二次方程根之間的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.15、【解析】中，由余弦定理可得，∵，∴，化簡(jiǎn)可得．∵，∴，解得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）．故．再由任意兩邊之和大于第三邊可得，故有，故的周長(zhǎng)的取值范圍是，故答案為．點(diǎn)睛：由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．再由三角形任意兩邊之和大于第三邊求得，由此求得△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．16、【解析】

根據(jù)題意可證得，而，所以球心為的中點(diǎn)．由球的表面積為，即可求出，繼而得出的值，求出三棱錐的表面積．【詳解】如圖所示：∵，平面，∴，又，故球心為的中點(diǎn)．∵球的表面積為，∴，即有．∴，．∴，，，．故的表面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的表面積的求法，球的表面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，；（3）或.【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式以及數(shù)列的和與通項(xiàng)的關(guān)系可得，再由等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（2）對(duì)等式兩邊除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（3）求得，由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，可得，化簡(jiǎn),即，對(duì)任意的成立，運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性可得最大值，解不等式可得所求范圍．【詳解】(1)，可得，即；時(shí),,又，相減可得,即，則；(2)證明：，可得，可得是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，可得,即；(3)，前n項(xiàng)和為，，相減可得，可得，,即為，即,對(duì)任意的成立，由，可得為遞減數(shù)列，即n=1時(shí)取得最大值1?2=?1，可得，即或.【點(diǎn)睛】“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.18、（1）1；（1）此時(shí)，此時(shí)【解析】

（1）由條件利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)f（x）的解析式，由周期求出ω，由f（2）＝2求出的值，可得f（x）的解析式，從而求得f（）的值．（1）由條件利用函數(shù)y＝Asin（ωx+）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得g（x）在x∈[]上的最值．【詳解】（1）f（x）＝sin（ωx+）+cos（ωx+）＝，故，求得ω＝1．再根據(jù)，可得＝﹣，故．（1）將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)y＝g（x）＝的圖象.∵x∈[]，∴，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，g（x）取得最大值為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，g（x）取得最小值為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和差的正弦公式，由函數(shù)y＝Asin（ωx+）的部分圖象求解析式，函數(shù)y＝Asin（ωx+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．19、(1)35，0.30;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）直接利用頻率和等于1求出b，用樣本容量乘以頻率求a的值；（Ⅱ）由分層抽樣方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五組的學(xué)生數(shù)，利用列舉法寫(xiě)出從中任意抽取2人的所有方法種數(shù)，查出2人至少1人來(lái)自第四組的事件個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式求解．試題解析：（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30（Ⅱ）因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為，第3組：×30＝3人，第4組：×20＝2人，第5組：×10＝1人，所以第3、4、5組應(yīng)分別抽取3人、2人、1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1、A2、A3，第4組的2位同學(xué)為B1、B2，第5組的1位同學(xué)為C1，則從6位同學(xué)中抽2位同學(xué)有15種可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4組被入選的有9種，所以其中第4組的2位同學(xué)至少有1位同學(xué)入選的概率為＝點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.20、（1）或；（2）.【解析】試題分析：（1）利用升冪