工程力學(xué)之應(yīng)力應(yīng)變

應(yīng)力應(yīng)變分析本章研究一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力和應(yīng)變是變形體力學(xué)中非常重要的概念。主要內(nèi)容如下：應(yīng)力應(yīng)變分析§11.1一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)§11.2應(yīng)力張量的表示方法§11.3平面應(yīng)力狀態(tài)§11.4應(yīng)力圓§11.5三向應(yīng)力狀態(tài)§11.6應(yīng)變狀態(tài)(與平面應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的)§11.7應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§11.1一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)內(nèi)力是截面上的分布內(nèi)力的等效力系載荷集度稱為上的平均應(yīng)力將分解為與法向和切向的力，內(nèi)力與應(yīng)力的概念則稱為正應(yīng)力（法向應(yīng)力）

稱為剪應(yīng)力（切應(yīng)力）M點(diǎn)在截面上的正應(yīng)力M點(diǎn)在截面上的剪應(yīng)力應(yīng)力的量綱一點(diǎn)處所有各方位截面上的應(yīng)力的集合稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，一點(diǎn)處的應(yīng)力與其集度以及的法向相關(guān),因此可用兩個并在一起的矢量表示,并且在不同的坐標(biāo)系中滿足一點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，這在數(shù)學(xué)上成為張量，描述應(yīng)力的張量稱為應(yīng)力張量§11.2應(yīng)力張量的表示方法取一包圍該點(diǎn)的微元體（單元體）其各棱邊相互垂直，各棱邊的長分別為或由于單元體很小其上的應(yīng)力可看作均勻分布各面上的應(yīng)力可用3*3的矩陣表示（i,j=1,2,3）應(yīng)力分量,應(yīng)力張量。按上述約定假設(shè)應(yīng)力的方向?qū)φ龖?yīng)力，則是拉應(yīng)力為正?？紤]單元體力矩對軸的平衡方程有：（不考慮體力偶）同理上述關(guān)系稱為剪應(yīng)力互等定理設(shè)表示軸與軸的方向余弦。則可以證明應(yīng)力張量可用來描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)坐標(biāo)變換矩陣§1支1.憶3棕平媽面應(yīng)伸力狀稀態(tài)若單是元體影上不太為零米的應(yīng)欺力分酒量都闊位于孔同一貿(mào)平面壓內(nèi)稱喊為平福面應(yīng)匯力狀翠態(tài)。例如也當(dāng)物咬體的份表面柔不受紐奉力時創(chuàng)在表鈔面取販出單薄元體例如覆外力打作用朽在板屬平面兔內(nèi)的貴薄板設(shè)不境為0鈴的應(yīng)握力分案量都驚位于xy平面月內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)給出各方位截面上的應(yīng)力情況，截面

上的應(yīng)力,其與

軸正向的夾角以逆時針方向?yàn)檎跏甲訂卧涹w：顯然：由將代入

由同理可得(a)(b)(c)式有兩個解將(c)式代入(b)式有單元突體上愛剪應(yīng)晝力為押0的拒截面區(qū)稱為敬主平涂面主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力主應(yīng)力為各方程截面上正應(yīng)力的極值一個為極大值一個為極小值、以主平面為單元體的各面稱為主單元體同理可求出的極值及例已裙知初科始單戲元體屋上的救應(yīng)力將（Mp播a）求主滾單元牧體上派的應(yīng)恭力并穴畫出佳主單碎元體解：§1幸1.榜4徒應(yīng)幻玉力圓一點(diǎn)暈處平熄面應(yīng)司力狀仇態(tài)的得圖解錄法，派直觀吉各方臥位的閣應(yīng)力混情況邊一目石了然依。由(a)(b)上兩擁式兩恩邊平修方后們相加則上窗式在障應(yīng)力曾坐標(biāo)奧中為靜一圓埋稱為捐應(yīng)力鍵圓莫嚴(yán)爾圓圓心坐標(biāo)：半徑：因此，當(dāng)連續(xù)變化至?xí)r，坐標(biāo)繞應(yīng)力圓的圓心轉(zhuǎn)一周

應(yīng)力圓的畫法：建應(yīng)力坐標(biāo)系，取比例尺,定點(diǎn)或由圓心,半徑——畫圓

應(yīng)力圓上一點(diǎn)，由繞圓心轉(zhuǎn)過角，對應(yīng)截面上的應(yīng)力

應(yīng)柔力師圓蝴畫璃法證明：同理可以證明：

及的方位極值點(diǎn)的方位與主平面方位相差對應(yīng)的應(yīng)力

任意座兩相起互垂停直截子面上獸的正肚應(yīng)力誘之和芒由(a)式例確定主平面方程畫出主單元體及其上的應(yīng)力，并在應(yīng)力圓上標(biāo)出圖示截面上的應(yīng)力單位：

解：主單王元體感：例2已知應(yīng)力圓畫出初始單元體及其應(yīng)力主單元體及應(yīng)力單位解：賠初始鵝單元己體半徑

主單零元體溜：§1赤1.四5利三向戀應(yīng)力傻狀態(tài)將三脫個主席應(yīng)力置按代眉數(shù)量恭的大轉(zhuǎn)小順賭序排久列因此靠根據(jù)亦每一捷點(diǎn)的仇應(yīng)力禮狀態(tài)前可以嚷找到個3個扎相互匯垂直旁的主舍應(yīng)力三向批應(yīng)力羨圓空間任意方程截面上的應(yīng)力，與三向應(yīng)力圓所夾陰影面中某點(diǎn)的應(yīng)力坐標(biāo)表示。

一點(diǎn)處最大的剪應(yīng)力

三向泄應(yīng)力幣圓單向姓、雙紅向、滔三向?yàn)a應(yīng)力鵝狀態(tài)例：求

解：在，平面內(nèi)

三向糧應(yīng)力水圓如租圖注意奮：不展是同驚一平淺面的諷應(yīng)力貿(mào)不能太用平捆面應(yīng)墨力狀貓態(tài)方稼法求蹈解?！?腦1.錄6歡應(yīng)變桂狀態(tài)（與襪平面蒼應(yīng)力合狀態(tài)徑對應(yīng)柳的）一點(diǎn)的變形有線應(yīng)變和剪應(yīng)變，單元體的相應(yīng)尺寸與應(yīng)變相乘得單元體的變形

在，坐標(biāo)下

在，坐標(biāo)下，方向到方向夾角

令，各個方位應(yīng)變的情況稱為一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析類似有

應(yīng)變呼花：可證明：在應(yīng)力或變形不是很大的情況下（線彈性范圍）主應(yīng)力與主應(yīng)變的方位是重合的?；⒖硕?/p>

比例系數(shù)稱為材料的彈性模量

比例系數(shù)稱為泊松比

§1它1.管7茄應(yīng)躍力應(yīng)蹲變關(guān)扁系1、福單向嘉應(yīng)力嚴(yán)狀態(tài)2、唯純剪嶺應(yīng)力扒狀態(tài)在線彈性范圍內(nèi)

剪切虎克定律

——剪切彈性模量

可證明

只有作用時3、孕廣義違虎克酷定律對主凝單元呼體例：已知一構(gòu)件表面一點(diǎn)的應(yīng)變

求駱該點(diǎn)摧的主敲應(yīng)力渾和最返大剪而應(yīng)力解：設(shè)

則

整理奸后例2已知，求設(shè)

解：取一單元體體積受應(yīng)力作用變形變形后的體積

4、測體積中變形單