幾何非線性基礎(chǔ)附錄極分解變形梯度課件

幾何非線性基礎(chǔ)第五章-附錄幾何非線性基礎(chǔ)

G.附錄大應(yīng)變理論該附錄中所包含的知識對于成功地使用ANSYS中的幾何非線性不是必需的,因此,通常不在課程中講解.它作為附加的背景知識提供給那些希望更深入地理解ANSYS大位移特征的用戶.October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄將非線性應(yīng)變定義推廣到一般的三維情況

在二維和三維中,當(dāng)一個元件經(jīng)歷大應(yīng)變變形時,不僅長度元素改變,厚度、面積和體積也改變.AA0POctober15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄運動和變形物體在外載荷的作用下會移動和變形.如果考察該物體上某一點的運動,它的初始位置為{X},最終位置為{x},則位移量為{u},圖中XYOctober15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄變形梯度變形梯度是物體變形程度的度量,定義為變形梯度[F]包含如下信息:體積改變轉(zhuǎn)動由于應(yīng)變而引起的形狀改變October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄…變形梯度注意由定義,變形梯度[F]消除了平動;是應(yīng)變定義的必要條件.當(dāng)定義應(yīng)變時,還應(yīng)排除轉(zhuǎn)動部分(因為它對應(yīng)變沒有貢獻(xiàn)),并提取形狀改變部分.這可以通過應(yīng)用極分解定理實現(xiàn).October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄極分解變形梯度[F]可以用極分解定理分解為轉(zhuǎn)動部分和變形部分:[F]=[R][U][R]

[U]=轉(zhuǎn)動矩陣,包含物質(zhì)點象剛體一樣轉(zhuǎn)動的量和方向的信息.=伸長矩陣,包含在物質(zhì)點處物體的應(yīng)變信息.October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄應(yīng)變定義中[U]的構(gòu)造知道了伸長矩陣[U],對一維對數(shù)應(yīng)變el

和一維Green-Lagrange應(yīng)變eG

進(jìn)行推廣,可以構(gòu)造出三維一般應(yīng)變.October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄Hencky應(yīng)變對數(shù)(Hencky)應(yīng)變按下式計算:

式中[eH]是按矩陣形式表示的應(yīng)變張量.

在此情況下,[eH

]是一維對數(shù)或真實應(yīng)變el

的三維等效.October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄Green-Lagrange應(yīng)變在三維中,可以按下式所示直接由伸長矩陣[U]計算Green-Lagrange應(yīng)變:該度量從應(yīng)變場估算中直接忽略轉(zhuǎn)動矩陣[R].[eG

]可以用位移場的梯度項重寫為下式:前兩項是線性小應(yīng)變項,最后一項是對應(yīng)變度量的非線性貢獻(xiàn).October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄 將非線性應(yīng)力定義推廣到一般三維情況與一維中的情況一樣,在二維和三維中有共軛應(yīng)力度量,它可以對每一種非線性應(yīng)變定義.October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄Cauchy應(yīng)力Cauchy或真實應(yīng)力張量[t](此處寫為矩陣形式)給出變形構(gòu)件中單位變形面積的當(dāng)前力.如果令那么,在三維中,Cauchy應(yīng)力張量[t]把{dP

}與{dA

}聯(lián)系起來Cauchy應(yīng)力是容易解釋的物理量.=定義變形體中單元面積分量的矢量=

作用的相應(yīng)單元力October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄第二Piola-Kirchhoff應(yīng)力令代表由變換形式推導(dǎo)出的力分量還令第二Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量[S]把和聯(lián)系起來[S]是對稱應(yīng)力張量,常常用于有限應(yīng)變彈性公式中,是Green-Lagrange應(yīng)變[eG]的共軛應(yīng)力張量.[S]是個非物理的應(yīng)力張量(一個偽應(yīng)力張量).不能直接對[S]進(jìn)行物理解釋.=定義未變形體中單元面積的矢量,這里October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄[]和[S]的關(guān)系物理的Cauchy[t]應(yīng)力可以通過下式直接與非物理的第二Piola-Kirchhoff偽應(yīng)力[S]聯(lián)系起來:tOctober15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄完全一致非線性切向剛度矩陣眾所周知,在大多數(shù)非線性結(jié)構(gòu)問題中,應(yīng)用一致非線性切向剛度矩陣可以迅速提高基于Newton-Raphson求解過程的收斂速度.一致或完全切向剛度矩陣通常在迭代求解過程中產(chǎn)生二次方的收斂速度.October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄何謂一致非線性剛度矩陣?一致非線性剛度矩陣通過對離散化的有限元方程求導(dǎo)得到,它是單元內(nèi)力矢量和單元施加的載荷矢量的函數(shù).October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄離散化的非線性靜態(tài)有限元方程求解的離散化的非線性靜態(tài)有限元方程可以在單元層次上描述為:

式中

=單元總數(shù)=單元坐標(biāo)系中的單元內(nèi)力矢量=轉(zhuǎn)換矩陣將變換到全局坐標(biāo)系=全局坐標(biāo)系中,在單元層次上施加的載荷矢量October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄單元內(nèi)力矢量單元內(nèi)力矢量由下式給出式中=單元應(yīng)變-節(jié)點位移矩陣=單元應(yīng)力矢量=單元體積按照上面給出的內(nèi)力定義,離散化的非線性有限元方程(力平衡)可以重寫為:October15,2001幾何非線性基礎(chǔ)

…附錄推導(dǎo)增量非線性剛度矩陣一致非線性剛度矩陣通過對離散化的有限元方程求導(dǎo)獲得,如下所示:式中October1