2021年浙江省寧波市北侖泰河中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

2021年浙江省寧波市北侖泰河中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.世界華商大會(huì)的某分會(huì)場(chǎng)有A，B，C，將甲，乙，丙，丁共4名“雙語”志愿者分配到這三個(gè)展臺(tái)，每個(gè)展臺(tái)至少1人，其中甲，乙兩人被分配到同一展臺(tái)的不同分法的種數(shù)（A）12種（B）10種

（C）8種（D）6種i

參考答案：D略2.如圖所示的陰影部分是由x軸，直線x=1及曲線y=ex﹣1圍成，現(xiàn)向矩形區(qū)域OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率是（）A． B．C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】求出陰影部分的面積，以面積為測(cè)度，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，陰影部分的面積為==e﹣2，∵矩形區(qū)域OABC的面積為e﹣1，∴該點(diǎn)落在陰影部分的概率是．故選D．3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為()A．8π

B．4π

C．

D．參考答案：A4.設(shè)命題p：?x∈[0，+∞），ex≥1，則￢p是（）A．?x0?[0，+∞），＜1

B．?x?[0，+∞），ex＜1C．?x0∈[0，+∞），＜1 D．?x∈[0，+∞），ex＜1參考答案：C【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，可以求出￢p．【解答】解：因?yàn)槊}p是全稱命題，所以利用全稱命題的否定是特稱命題可得：￢p：?x0∈[0，+∞），．故選：C5.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C右支上一點(diǎn)，若，且，則C的離心率為（

）A.5 B.4 C. D.參考答案：A【分析】在直角三角形PF1F2中，表示出PF1，PF2，再根據(jù)雙曲線的定義以及離心率的公式可得．【詳解】解：在三角形PF1F2中，因?yàn)?，所以∠F1PF2＝90°，∴PF1＝F1F2?cos∠PF1F2＝2c?，PF2＝F1F2?sin∠PF1F2＝2c?，∴2a＝PF1﹣PF2，∴e5．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，則C的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由已知條件，利用余弦定理求出|AF|，設(shè)F′為橢圓的右焦點(diǎn)，連接BF′，AF′．根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形AFBF′是矩形，由此能求出離心率e．【解答】解：如圖所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，設(shè)F′為橢圓的右焦點(diǎn)，連接BF′，AF′．根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理、橢圓的對(duì)稱性等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．7.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故選：C．8.已知集合則A．B.C.D.參考答案：C9.已知，是平面外的兩條直線，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：C10.命題“”的否定是（

）A.

B.C.

D.

參考答案：C知識(shí)點(diǎn)：命題的否定解析：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，則命題“”的否定，故選：C．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得到結(jié)論．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在區(qū)間[0,2]上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b，則函數(shù)f(x)=x3+ax-b在區(qū)間[-1,1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率是.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】線性規(guī)劃利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性零點(diǎn)與方程解：因?yàn)樗詾槭购瘮?shù)f(x)=x3+ax-b在區(qū)間[-1，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，只需，

所以

故答案為：

12.展開式中的系數(shù)為__________.參考答案：略13.已知=1，=，·=0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，設(shè)=m+n（m，n∈Ｒ），則=________。參考答案：3因?yàn)?所以，以為邊作一個(gè)矩形，對(duì)角線為.因?yàn)椤螦OC=30°，所以,所以,所以,即。又,所以，所以如圖。14.a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成角時(shí)，AB與b成角；②當(dāng)直線AB與a成角時(shí)，AB與b成角；③直線AB與a所成角的最小值為；④直線AB與a所成角的最大值為．其中正確的是________（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）參考答案：②③由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則，，直線的方向單位向量，．點(diǎn)起始坐標(biāo)為，直線的方向單位向量，．設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)，其中為與的夾角，．那么在運(yùn)動(dòng)過程中的向量，．設(shè)與所成夾角為，則．故，所以③正確，④錯(cuò)誤．設(shè)與所成夾角為，.當(dāng)與夾角為時(shí)，即，．∵，∴．∴．∵．∴，此時(shí)與夾角為．∴②正確，①錯(cuò)誤．

15.設(shè)θ為第二象限角，若則sinθ＋cosθ＝

．參考答案：略16.由曲線y＝，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】定積分B13【答案解析】解析：解：如圖所示：聯(lián)立解得，∴M（4，2）．由曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積S===．故答案為．

【思路點(diǎn)撥】利用微積分基本定理即可求出17.曲線y=x(3lnx+1)在點(diǎn)處的切線方程為_____________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線為，求的值；（2）設(shè)，，證明：當(dāng)時(shí)，的圖象始終在的圖象的下方；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），表示導(dǎo)函數(shù)，求證：對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)，，，存在唯一的，使直線的斜率等于．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)應(yīng)用B11

B12（1）（2）略(3)略解析：(1)，此時(shí)，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，由題意得，，.

………3分（2）則在單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，的圖像始終在的圖象的下方.

……………

7分（3）由題得，，，∵，∴，∴，即， ………9分設(shè),則是關(guān)于的一次函數(shù)，故要在區(qū)間證明存在唯一性，只需證明在區(qū)間上滿足.下面證明之：，，為了判斷的符號(hào)，可以分別將看作自變量得到兩個(gè)新函數(shù)，討論他們的最值：，將看作自變量求導(dǎo)得，是的增函數(shù)，∵，∴；………..11分同理：，將看作自變量求導(dǎo)得，是的增函數(shù)，∵，∴；∴，

∴函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，……………..13分又，函數(shù)在是增函數(shù)，∴函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，從而命題成立.

……14分【思路點(diǎn)撥】（1）由題意直接求解即可；（2）要證當(dāng)時(shí)，的圖象始終在的圖象的下方，就是證明當(dāng)時(shí)，；令，由導(dǎo)數(shù)易得在單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，即得證.（3），，∵，得，設(shè),則是關(guān)于的一次函數(shù)，故要在區(qū)間證明存在唯一性，只需證明在區(qū)間上滿足.19.求一切實(shí)數(shù)p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三個(gè)根均為正整數(shù)．參考答案：解：x=1是方程的一個(gè)根．于是只要考慮二次方程

5x2－5px+66p－1=0的兩個(gè)根為正整數(shù)即可．設(shè)此二正整數(shù)根為u、v．則由韋達(dá)定理知，

消去p，得5uv－66(u+v)=－1．同乘以5：52uv－5×66u－5×66v=－5．∴(5u－66)(5v－66)=662－5=4351=19×229．由于u、v均為整數(shù)，故5u－66、5v－66為整數(shù)．∴

∴其中使u、v為正整數(shù)的，只有u=17，v=59這一組值．此時(shí)p=76．20.已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若對(duì)任意都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）（2）【分析】(1)由題意求解絕對(duì)值不等式可得不等式的解集；(2)將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的包含關(guān)系問題，然后分類討論可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）由得，∴，∴，∴，∴不等式的解集為.（2）設(shè)函數(shù)的值域?yàn)椋瘮?shù)的值域?yàn)?，∵?duì)任意都存在，使得成立，.∴，∵，∴，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∵，∴，解得；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∵，∴，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】絕對(duì)值不等式的解法：法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．21.

已知，f1（x）=f′0（x），

f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n﹣1（x）（n∈N*）．（Ⅰ）請(qǐng)寫出fn（x）的表達(dá)式（不需證明）；（Ⅱ）設(shè)fn（x）的極小值點(diǎn)為Pn（xn，yn），求yn；（Ⅲ）設(shè)，gn（x）的最大值為a，fn（x）的最小值為b，試求a﹣b的最小值．參考答案：解：（Ⅰ）（n∈N*）．（Ⅱ）∵，∴當(dāng)x＞﹣（n+1）時(shí)，；當(dāng)x＜﹣（n+1）時(shí)，．∴當(dāng)x=﹣（n+1）時(shí)，fn（x）取得極小值，即（n∈N*）．（Ⅲ）解法一：∵，所以．又，∴a﹣b=（n﹣3）2+e﹣（n+1），令h（x）=（x﹣3）2+e﹣（x+1）（x≥0），則h'（x）=2（x﹣3）﹣e﹣（x+1）．∵h(yuǎn)'（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，∴h'（x）≥h'（0）=﹣6﹣e﹣1，∵h(yuǎn)'（3）=﹣e﹣4＜0，h'（4）=2﹣e﹣5＞0，∴存在x0∈（3，4）使得h'（x0）=0．∵h(yuǎn)'（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，∴當(dāng)0≤x＜x0時(shí)，h'（x0）＜0；當(dāng)x＞x0時(shí)，h'（x0）＞0，即h（x）在[x0，+∞）單調(diào)遞增，在[0，x0）單調(diào)遞減，∴（h（x