研究構(gòu)件基本變形和強(qiáng)度分析

變形體基本假設(shè)由于制造零件所用的材料種類很多，其具體組成和微觀結(jié)構(gòu)又非常復(fù)雜，為便于研究，需要根據(jù)工程材料的主要性質(zhì)，對(duì)所研究的變形固體做出如下假設(shè):1.連續(xù)性假設(shè)認(rèn)為制造構(gòu)件的物質(zhì)毫無(wú)空隙地充滿構(gòu)件所占有的整個(gè)空間，是理想的連續(xù)介質(zhì)。據(jù)此假設(shè)，即可認(rèn)為構(gòu)件內(nèi)部的各物理量是連續(xù)的，因而可用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)表述它們的變化規(guī)律。實(shí)際上，從物質(zhì)結(jié)構(gòu)來說，組成固體的粒子之間并不連續(xù)。但它們之間的空隙與構(gòu)件尺寸相比是極其微小的，可以忽略不計(jì)?！?.1承載能力分析基本知識(shí)下一頁(yè)

2.均勻性假設(shè)認(rèn)為在構(gòu)件內(nèi)部各處材料的力學(xué)性質(zhì)完全一樣，即在同一構(gòu)件內(nèi)各部分材料的力學(xué)性質(zhì)不隨位置的變化而改變。據(jù)此假設(shè)，可以任意選取微小部分(微元體)來研究材料的力學(xué)性質(zhì)，并可將其結(jié)果應(yīng)用于整個(gè)構(gòu)件。實(shí)際上，材料的基本組成部分的性質(zhì)并不完全相同，如常用的金屬材料，多是由兩種或兩種以上元素的晶粒組成，不同元素晶粒的機(jī)械性質(zhì)并不完全相同，但固體構(gòu)件的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于晶粒尺寸。它所包含的晶粒為數(shù)極多，而且是無(wú)規(guī)則地排列，其機(jī)械性質(zhì)是所有晶粒機(jī)械性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)平均值。

3.各向同性假設(shè)§8.1承載能力分析基本知識(shí)下一頁(yè)上一頁(yè)§8.1承載能力分析基本知識(shí)認(rèn)為在構(gòu)件內(nèi)部材料的力學(xué)性質(zhì)在各個(gè)方向都相同，即假設(shè)材料的力學(xué)性質(zhì)和材料的方向無(wú)關(guān)，如玻璃。當(dāng)然，有些材料，如纖維織品、木材等需按各向異性材料來考慮。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，根據(jù)這些假設(shè)得到的理論，都基本符合工程實(shí)際。而本課程只限于分析構(gòu)件的小變形，所謂小變形是指構(gòu)件的變形量遠(yuǎn)小于其原始尺寸。因此，在確定構(gòu)件的平衡和運(yùn)動(dòng)時(shí)，可不計(jì)其變形量，仍按原始尺寸進(jìn)行計(jì)算，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過程。內(nèi)力與應(yīng)力

1.內(nèi)力構(gòu)件工作中受到的其他物體對(duì)它的作用力稱為外力，包括主動(dòng)力和下一頁(yè)上一頁(yè)§8.1承載能力分析基本知識(shí)約束反力。外力的作用會(huì)引起物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位置及相互作用力發(fā)生改變，表現(xiàn)出來就是構(gòu)件發(fā)生了變形。構(gòu)件內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間相互作用力(固有內(nèi)力)的改變量即由外力作用而引起“附加內(nèi)力”簡(jiǎn)稱內(nèi)力。內(nèi)力隨外力大小的不同而變化，當(dāng)其達(dá)到某一限度時(shí)，將會(huì)引起構(gòu)件的破壞。因此，構(gòu)件的內(nèi)力大小及分布方式與其承載能力之間有密切的關(guān)系，研究和分析內(nèi)力是解決強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等問題的基礎(chǔ)。內(nèi)力可通過截面法求得。假想地沿某截面把桿件截成兩段，用內(nèi)力來代替兩段在該截面處的相互作用。然后任取一段進(jìn)行研究，應(yīng)用平衡條件列出方程，求出內(nèi)力。下一頁(yè)上一頁(yè)現(xiàn)以兩端受軸向拉力h作用的直桿為例說明求內(nèi)力的方法。欲求橫截面m-m上的內(nèi)力，必須先將其內(nèi)力顯露出來。為此，假想把桿沿橫截面m-m分成兩部分，如圖8-1(a)所示。任取一部分，例如，取桿件左部為研究對(duì)象。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，右部作用于左部的內(nèi)力，應(yīng)沿橫截面連續(xù)分布。為了維護(hù)保留部分的平衡，分布內(nèi)力的合力應(yīng)為沿桿軸線作用的力N，稱內(nèi)力N為軸力。根據(jù)作用力與反作用力定律知道，桿件左部對(duì)右部作用的內(nèi)力，必然大小相等、方向相反，如圖8-1(b)和圖8-1(c)所示，然后可任選一部分(如左部)的平衡條件求軸力N的大小，即N=p。下一頁(yè)上一頁(yè)§8.1承載能力分析基本知識(shí)截面法求解內(nèi)力的一般步驟:(1)求某一截面上的內(nèi)力時(shí)，就沿該截面假想地把構(gòu)件分為兩部分，棄去任一部分，保留另一部分作為研究對(duì)象。

(2)用作用在截面上的內(nèi)力，代替棄去部分對(duì)保留部分的作用，一般假設(shè)內(nèi)力為正。

(3)建立保留部分的平衡條件，確定未知內(nèi)力。

2.應(yīng)力由經(jīng)驗(yàn)可知，用相同的力拉材料相同、截面積不同的桿，當(dāng)拉力增加時(shí)，雖然兩桿的內(nèi)力相同，但截面積小的桿先被拉斷。這表明，在材料相同的情況下，判斷桿件破壞的依據(jù)不是內(nèi)力的大小，而是下一頁(yè)上一頁(yè)§8.1承載能力分析基本知識(shí)內(nèi)力在截面上分布的密集程度一內(nèi)力集度。如圖8-2所示，在截面上任一點(diǎn)C處附近取微小面積△A,△A上的內(nèi)力合力為△F，定義△A上內(nèi)力的平均集度為 (8.1)稱pm,為△A上的平均應(yīng)力。一般來說，內(nèi)力并不是均勻分布的，它將隨著△A的縮小趨向均勻分布。當(dāng)△A趨于零時(shí)，其極限值為 (8.2)稱P為C點(diǎn)的應(yīng)力。P是個(gè)矢量，一般可將其分解成與截面垂直、相切的兩個(gè)分量σ和τ。垂直截面的分量σ稱為正應(yīng)力，與截面相切的應(yīng)力分量τ稱為切應(yīng)力。下一頁(yè)上一頁(yè)§8.1承載能力分析基本知識(shí)下一頁(yè)上一頁(yè)§8.1承載能力分析基本知識(shí)在國(guó)際單位制中，應(yīng)力的基本單位是牛/米2(N/m2)，稱為帕斯卡，簡(jiǎn)稱帕(PH)。工程中常用的單位為MPa(兆帕)、UPa(吉帕)，它們的關(guān)系如下:8.1.3構(gòu)件的基本變形

由于載荷種類、作用方式及約束類型不同，構(gòu)件受載后就會(huì)發(fā)生不同形式的變形。從這些變形中可歸納出4種基本變形，即軸向拉伸與壓縮圖8-3(a)剪切圖8-3(b)、扭轉(zhuǎn)圖8-3(c)和彎曲圖8-3(d)。實(shí)際構(gòu)件的變形是多種多樣的，可能只是某一種基本變形，也可能是這4種基本變形中兩種或兩種以上的組合，稱為組合變形。8.1.4機(jī)械零件的失效機(jī)械零件在使用過程中，由于設(shè)計(jì)、材料、工藝及裝配等各種原因，使其喪失規(guī)定的功能，無(wú)法繼續(xù)工作的現(xiàn)象稱為失效。1.強(qiáng)度失效工程實(shí)際中，要求零部件在正常工作時(shí)不應(yīng)破壞，即在載荷作用下不能發(fā)生屈服或斷裂，把零部件抵抗破壞的能力稱為零部件的強(qiáng)度。零件由于屈服或斷裂引起的失效稱為強(qiáng)度失效。2.剛度失效零部件在載荷作用下會(huì)產(chǎn)生變形，如果變形超過一定限度，就影響零件的正常工作?！?.1承載能力分析基本知識(shí)下一頁(yè)上一頁(yè)例如，吊車梁若因載荷過大而發(fā)生過度的變形，吊車梁就不能正常工作;齒輪傳動(dòng)軸若變形過大時(shí)，軸承、齒輪會(huì)加劇磨損，降低壽命，影響齒輪的嚙合，使機(jī)器不能正常運(yùn)轉(zhuǎn)。所以，把零件抵抗變形的能力稱為零件的剛度。零件由于過大的彈性變形引起的失效稱為剛度失效。3.穩(wěn)定性失效對(duì)于受壓的細(xì)長(zhǎng)桿件，如頂起汽車的千斤頂螺桿或液壓缸中的活塞桿，當(dāng)壓力超過某一數(shù)值時(shí)，桿件就會(huì)從直線的平衡形式突然變彎。這種突然改變其原有直線的平衡狀態(tài)的現(xiàn)象，稱為喪失穩(wěn)定性(簡(jiǎn)稱失穩(wěn))。因此，把壓桿能夠維持原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱為壓桿的穩(wěn)定性。零件由于受壓，不能保持原有的平衡狀態(tài)引起的失效稱為穩(wěn)定性失效?！?.1承載能力分析基本知識(shí)下一頁(yè)上一頁(yè)4.疲勞失效疲勞破壞是材料在交變應(yīng)力作用下，由于裂紋的形成和擴(kuò)展而造成的低應(yīng)力破壞。零件由于交變應(yīng)力作用發(fā)生斷裂而引起失效稱為疲勞失效。設(shè)計(jì)機(jī)械零件時(shí)，保證零件在規(guī)定期限內(nèi)不產(chǎn)生失效所依據(jù)的原則，稱為設(shè)計(jì)計(jì)算準(zhǔn)則，主要有強(qiáng)度準(zhǔn)則、剛度準(zhǔn)則、壽命準(zhǔn)則、振動(dòng)穩(wěn)定性準(zhǔn)則和可靠性準(zhǔn)則等。其中強(qiáng)度準(zhǔn)則是設(shè)計(jì)機(jī)械零件首先要滿足的一個(gè)基本要求。為保證零件工作時(shí)有足夠的強(qiáng)度，設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)應(yīng)使危險(xiǎn)截面或工作表面的工作應(yīng)力不超過零件的許用應(yīng)力，即 (8.3) (8.4)返回上一頁(yè)§8.1承載能力分析基本知識(shí)軸向拉伸與壓縮的概念在工程中，常見到一些承受軸向拉伸或壓縮的構(gòu)件。例如，緊固螺栓圖8-4(a)的螺栓桿受拉;簡(jiǎn)易起重機(jī)圖8-4(b)的桿BC受拉而桿AB受壓。此外，起重用的鋼索，油壓千斤頂?shù)幕钊麠U等，都是承受軸向拉伸或壓縮的構(gòu)件。盡管這些承受拉伸或壓縮的構(gòu)件的外形不同，加載方式也不同，但這類構(gòu)件共同的特點(diǎn)是:作用在桿兩端的外力的合力作用線與桿的軸線重合，桿件的變形是沿著軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。拉壓桿的內(nèi)力和應(yīng)力下一頁(yè)§8.2軸向拉伸與壓縮變形1.橫截面上的內(nèi)力為了研究桿件拉、壓時(shí)的強(qiáng)度問題，首先應(yīng)該研究?jī)?nèi)力。橫截面上的內(nèi)力可采用上一節(jié)提到的截面法求得，常將拉壓桿件橫截面上內(nèi)力的合力稱為軸力。如圖8-5所示為一受拉伸的等截面直桿，用截面法可求得橫截面上的軸力為N=F。因?yàn)闂U件受拉伸與壓縮時(shí)，其變形及破壞在性質(zhì)上是有所不同的。為區(qū)別起見，軸力的符號(hào)由桿的變形確定。規(guī)定桿受拉伸時(shí)軸力為正，壓縮時(shí)為負(fù)。在取分離體研究?jī)?nèi)力時(shí)，均先按正向設(shè)軸力X(力矢離開截面，指向沿截面外法線方向)，再列平衡方程(∑X=0)，如求出的X下一頁(yè)上一頁(yè)§8.2軸向拉伸與壓縮變形為負(fù)值，即說明該段受壓縮，或說明軸力為壓力。軸力的單位為牛頓(V)或千牛頓(kV)2.軸力圖當(dāng)桿件受多個(gè)軸向外力作用時(shí)，桿件各個(gè)橫截面的軸力是不同的。為了形象地描述軸力X沿桿件軸線的變化規(guī)律，需要作出軸力圖。作軸力圖的一般步驟為:(1)建立坐標(biāo)軸x-N;(2)根據(jù)截面法求出各截面的軸力，按一定的比例作圖;(3)在圖上標(biāo)出相應(yīng)的數(shù)值和正負(fù)號(hào)。例8.1一等截面直桿及其受力情況如圖8-6(a)所示?！?.2軸向拉伸與壓縮變形下一頁(yè)上一頁(yè)試作桿的軸力圖。解:為了運(yùn)算方便，首先求出支反力R。由整個(gè)桿的平衡方程，如圖8-6(b)所示。在求AR段內(nèi)任一橫截面上的軸力時(shí)，應(yīng)用截面法研究截開后左段桿的平衡。假定軸力凡為拉力圖8-6(c)，由平衡方程求得AR段內(nèi)任一橫截面上的軸力為NI=R=10kV

結(jié)果為正值，故與原先假定的拉力N,相同。同理，可求得BC段內(nèi)任一橫截面上的軸力圖8-6(d)為下一頁(yè)上一頁(yè)§8.2軸向拉伸與壓縮變形在求CD段內(nèi)的軸力時(shí)，可將桿截開后研究其右段，因?yàn)橛叶螚U比左段桿上所受的外力較少，并假定軸力Nn為拉力圖8-6(e)。由得結(jié)果為負(fù)值，說明原先假定的NⅢ指向不對(duì)，即應(yīng)為壓力。同理，可得DE段內(nèi)任一橫截面上的軸力NⅥ為

NⅣ=20kV(拉力)

按前述作軸力圖的規(guī)則，作出桿的軸力圖如圖8-6(f)所示。Mmax發(fā)生在BC段內(nèi)的任一橫截面上，其值為50kV。

3.橫截面上的正應(yīng)力下一頁(yè)上一頁(yè)§8.2軸向拉伸與壓縮變形為了求截面上的正應(yīng)力，先來看以下的拉伸實(shí)驗(yàn)。在一等截面直桿的表面上刻畫出橫向線ab、cd，當(dāng)桿受一對(duì)軸向拉力P作用后，我們觀察到ab、cd線平行向外移動(dòng)到a‘b’、c‘d’圖8-7(b)，并保持與軸線垂直。由此可推斷，桿件在變形過程中橫截面始終保持為平面。若假設(shè)桿件由無(wú)數(shù)條縱向纖維組成，那么ab、cd面間纖維隨著橫截面向外移動(dòng)，每條纖維沿軸向產(chǎn)生的伸長(zhǎng)量相同，由于材料是均勻連續(xù)的，所以各纖維所受的拉力也相同。由此得到，軸力在橫截面上是均勻分布的，且方向垂直于橫截面。所以得到橫截面上拉伸正應(yīng)力的計(jì)算公式為 (8.5)§8.2軸向拉伸與壓縮變形下一頁(yè)上一頁(yè)式中，N為橫截面的軸力(N);A為該截面的橫截面面積(mm2)。正應(yīng)力6的正負(fù)號(hào)與軸力相對(duì)應(yīng)，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。當(dāng)N,A沿桿件軸向有變化時(shí)，應(yīng)分段計(jì)算各段正應(yīng)力的大小。例8.2階梯形圓截面桿軸向外載荷如圖8-8所示。直徑d1=20mm,d2=30mm。求各段的軸力與正應(yīng)力。解:(1)各段軸力及軸力圖在召點(diǎn)處將圓軸分成兩段，在AB段內(nèi)任取截面1-1，保留左段(或右段)，應(yīng)用靜力平衡條件可得到軸力N1=8kN

在BC段，任取截面2-2，可得軸力N2=-15kN

根據(jù)軸力N1,N2作軸力圖圖8-8(b)§8.2軸向拉伸與壓縮變形下一頁(yè)上一頁(yè)(2)計(jì)算各段橫截面上的正應(yīng)力因?yàn)樵贏B和BC段上的軸力均為常量，故這兩段上的正應(yīng)力也為常量，即可見正應(yīng)力的最大值拉(壓)桿件的強(qiáng)度計(jì)算下一頁(yè)上一頁(yè)§8.2軸向拉伸與壓縮變形§8.2軸向拉伸與壓縮變形

1.極限應(yīng)力在應(yīng)力作用下，零件的變形和破壞與零件材料的力學(xué)性能有關(guān)。材料的力學(xué)性能是指材料在外力作用下所表現(xiàn)出來的與變形和破壞有關(guān)的性能。金屬材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能通常通過試驗(yàn)的方法測(cè)定。在拉伸試驗(yàn)中，常將材料制成圓形或矩形截面的試件(圖8-9)。常溫下將準(zhǔn)備好的試件裝夾在萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī)上，然后緩慢加載。記錄下各拉力F的數(shù)值及所對(duì)應(yīng)的標(biāo)距伸長(zhǎng)量△l。將拉力F除以試件橫截面的原始面積A0，得出試件橫截面上的正應(yīng)力σ=F/A0再將伸長(zhǎng)量△l除以標(biāo)距的原始長(zhǎng)度l0，得出試件在工作段內(nèi)的相對(duì)伸長(zhǎng)量ε=△l/l0。稱為線應(yīng)變。下一頁(yè)上一頁(yè)§8.2軸向拉伸與壓縮變形以σ為縱坐標(biāo)，ε為橫坐標(biāo)，繪出σ-ε的關(guān)系曲線(圖8-10)，稱為應(yīng)力一應(yīng)變圖。通過對(duì)低碳鋼圖8-10(a)的。曲線分析可知，試件在拉伸過程中經(jīng)歷了彈性變形階段(Oab段)和塑性變形階段(bcde段)，其中塑性變形階段又分為屈服(bc段)、強(qiáng)化(cde段)和局部變形階段(ef段)，直至廠點(diǎn)材料被拉斷。材料的彈性變形階段由Oa和ab兩段構(gòu)成。在Oa段，試件的變形與應(yīng)力呈線性關(guān)系，應(yīng)力稱為比例極限。當(dāng)應(yīng)力超過a點(diǎn)時(shí)，間的關(guān)系不再是直線，變成了微彎曲線ab。若除去拉力，試件的變形仍能完全消除。下一頁(yè)上一頁(yè)§8.2軸向拉伸與壓縮變形b點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力σe是試件只產(chǎn)生彈性變形時(shí)應(yīng)力的極限值，稱為彈性極限。由試驗(yàn)可知:σ-ε曲線上的a點(diǎn)與b點(diǎn)很接近，即σp與σe相差很小，試驗(yàn)時(shí)很難區(qū)分，因此工程應(yīng)用中不加以嚴(yán)格區(qū)分。在塑性變形階段，試件產(chǎn)生的變形是不可恢復(fù)的永久變形，對(duì)于低碳鋼一類的塑性材料，產(chǎn)生塑性變形是構(gòu)件的破壞形式之一。應(yīng)力σs稱為屈服極限，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到了材料的屈服極限時(shí)，將產(chǎn)生明顯的塑性變形，影響其正常工作，一般認(rèn)為這時(shí)構(gòu)件已經(jīng)喪失正常工作能力。試件在拉斷前所能承受的最大應(yīng)力σb稱為強(qiáng)度極限，當(dāng)實(shí)際應(yīng)力達(dá)到了材料的強(qiáng)度極限時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)斷裂破壞。下一頁(yè)上一頁(yè)§8.2軸向拉伸與壓縮變形對(duì)于鑄鐵一類的脆性材料圖8-10(b)，拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系曲線圖上無(wú)明顯的直線部分，無(wú)屈服階段，無(wú)頸縮現(xiàn)象，在較小的應(yīng)力、較小的變形下試件就被拉斷。鑄鐵拉斷時(shí)的最大應(yīng)力，即強(qiáng)度極限，記為σbl脆性材料的拉伸與壓縮強(qiáng)度極限一般不同，對(duì)于壓縮強(qiáng)度極限，記為σ

by。上述彈性極限σe屈服極限σs和強(qiáng)度極限σb分別是材料處在彈性變形階段、出現(xiàn)塑性變形、斷裂前所能承受的最大應(yīng)力，稱為極限應(yīng)力，不同材料的極限應(yīng)力可從有關(guān)手冊(cè)中獲得。

2.許用應(yīng)力和安全系數(shù)零件在失效前，允許材料承受的最大應(yīng)力稱為許用應(yīng)力，用[σ]表示。下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)§8.2軸向拉伸與壓縮變形為保證構(gòu)件在工作中安全、正常工作，零件必須有一定的強(qiáng)度儲(chǔ)備。為此用極限應(yīng)力除以一個(gè)大于1的系數(shù)二，其結(jié)果為構(gòu)件的材料許用應(yīng)力。對(duì)于塑性材料，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服點(diǎn)時(shí)，零件將發(fā)生顯著的塑性變形而失效?？紤]到其拉壓時(shí)的屈服點(diǎn)相同，故拉壓許用應(yīng)力同為 (8.6)對(duì)于脆性材料，無(wú)明顯塑性變形下即出現(xiàn)斷裂而失效，故其拉、壓許用應(yīng)力分別取式中，n為安全系數(shù)。安全系數(shù)二不僅反映了人們?yōu)闃?gòu)件規(guī)定的上一頁(yè)§8.2軸向拉伸與壓縮變形強(qiáng)度儲(chǔ)備，同時(shí)也起著調(diào)節(jié)工程中安全與經(jīng)濟(jì)之間矛盾的作用。如安全系數(shù)取值偏大，則許用應(yīng)力較低，構(gòu)件偏于安全，但用料過多而不夠經(jīng)濟(jì);反之，安全系數(shù)偏小，雖然用料較省，但安全性得不到保證。因此，安全系數(shù)的選擇是否合理，是解決安全與經(jīng)濟(jì)之間矛盾的關(guān)鍵問題，也是很復(fù)雜的實(shí)際問題。對(duì)于由塑性材料制造的構(gòu)件，一般取n=1.2~2.5;對(duì)于用脆性材料制造的構(gòu)件，由于材質(zhì)不均，容易突然破壞，取值應(yīng)偏大些，一般n=2~3.5，甚至取3~9。

3.軸向拉伸(壓縮)的強(qiáng)度條件為保證軸向拉伸(壓縮)時(shí)桿件具有足夠的強(qiáng)度，就要求桿件在下一頁(yè)上一頁(yè)工作中的最大工作應(yīng)力不超過許用應(yīng)力，即 (8.7)式中，N為桿件危險(xiǎn)截面上的軸力(N);A為桿件危險(xiǎn)截面上的面積(mm2);材料的許用應(yīng)力(MPa)。根據(jù)上述強(qiáng)度條件，可以解決直桿軸向拉伸(壓縮)時(shí)三類強(qiáng)度計(jì)算問題。

(1)強(qiáng)度校核若已知桿件尺寸、載荷大小和材料的許用應(yīng)力，即可用上式校核桿件是否滿足強(qiáng)度要求。

(2)設(shè)計(jì)截面尺寸§8.2軸向拉伸與壓縮變形下一頁(yè)上一頁(yè)§8.2軸向拉伸與壓縮變形若已知桿件所承擔(dān)的載荷及材料的許用應(yīng)力，則可以由下式確定桿件所需要的截面面積:

(3)確定許可載荷若已知桿件的尺寸和材料的許用應(yīng)力，由下式可求得桿件所能安全承受的最大軸力:

根據(jù)桿件的最大軸力，就可以進(jìn)一步確定外載荷。例8.3起重機(jī)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如8-11(a)所示。支承桿BC與水平固定面垂直，桿CD與BC用拉桿BD相連。已知鋼索ALi的橫截面面積為500mm2，鋼索材料的許用應(yīng)力40MPa，起重物重為G=30kV,試下一頁(yè)上一頁(yè)§8.2軸向拉伸與壓縮變形校核鋼索AB的強(qiáng)度。解:首先應(yīng)求得鋼索AB的內(nèi)力，再求其應(yīng)力。為此應(yīng)解除鋼索和支座C，以構(gòu)架BCD為研究對(duì)象，并畫出其受力圖圖8-11(b)。鋼索AB長(zhǎng)為由平衡方程∑M=0得

而鋼索的工作應(yīng)力為下一頁(yè)上一頁(yè)§8.2軸向拉伸與壓縮變形由強(qiáng)度務(wù)件可知故鋼索AB的強(qiáng)度足夠。例8.4如圖8-12所示機(jī)構(gòu)為一簡(jiǎn)易吊車的簡(jiǎn)圖，斜桿AB為直徑d=25mm的圓形鋼桿，材料為Q235鋼，許用應(yīng)力σ=160MPa,試按照斜桿AB的強(qiáng)度條件確定許用外載荷Fp。解:由斜桿BC的平衡方程藝從·得由拉伸強(qiáng)度條件得下一頁(yè)上一頁(yè)聯(lián)立以上兩式解得

即吊車的許可載荷為§8.2軸向拉伸與壓縮變形返回上一頁(yè)§8.3剪切與擠壓剪切實(shí)用計(jì)算

1.剪切的概念如圖8-13所示剪床剪切鋼板時(shí)，剪床上的上下刀刃以大小相等、方向相反、作用線距離很近的兩個(gè)力作用在鋼板上，在m二截面的左右兩側(cè)鋼板沿截面m-n發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，直到最后被剪斷。桿變形時(shí)，這種截面間發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的變形，稱為剪切變形。剪切變形的受力特點(diǎn)是外力大小相等，方向相反，作用線相距很近;變形特點(diǎn)是截面沿外力作用的方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。產(chǎn)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的截面(m-n)，稱為剪切面。剪切面平行于外力作用線，且在兩個(gè)反向外力作用線之間。機(jī)械中的連接件，受剪切作用的實(shí)例還很多，如螺栓、鉚釘圖8-14下一頁(yè)§8.3剪切與擠壓(b)和銷圖8-14(c)等，在外力作用下，都是承受剪切的零件，因此，必須進(jìn)行剪切強(qiáng)度計(jì)算。2.剪力構(gòu)件受到外力作用產(chǎn)生變形，構(gòu)件內(nèi)部各部分之間因變形而使相對(duì)位置改變所產(chǎn)生相互作用力稱為內(nèi)力。那么，構(gòu)件承受剪切變形時(shí)其內(nèi)力如何呢?下面以螺栓為例運(yùn)用截面法分析剪切面上的內(nèi)力。如圖8-15中的螺栓，假如沿剪切面m-n將螺栓分為兩段，任取一段為研究對(duì)象。由平衡條件可知，剪切面上內(nèi)力合力的作用線應(yīng)與外力平行，沿截面作用的內(nèi)力，稱為剪力，常用Q表示。剪力Q的大小，可由平衡條件∑Fx=0,P-Q=0得Q=P。下一頁(yè)上一頁(yè)§8.3剪切與擠壓

3.切應(yīng)力切應(yīng)力在剪切面上的分布規(guī)律較復(fù)雜，工程上采用實(shí)用計(jì)算法，假設(shè)切應(yīng)力τ均勻分布在剪切面上。設(shè)剪切面的面積為A(mm2),剪力為Q(N)，則剪切面上的平均切應(yīng)力為: (8.8)4.剪切強(qiáng)度條件為了保證剪切變形時(shí)構(gòu)件工作安全可靠，剪切強(qiáng)度條件為: (8.9)式中，t為材料的許用切應(yīng)力(MPa)，其大小等于材料的剪切極限應(yīng)力除以安全系數(shù)。剪切極限應(yīng)力由試驗(yàn)測(cè)定。下一頁(yè)上一頁(yè)§8.3剪切與擠壓許用切應(yīng)力巨司可從有關(guān)手冊(cè)中查得，也可按下列近似的經(jīng)驗(yàn)公式確定。塑性材料脆性材料式中，s為材料拉伸許用應(yīng)力。和軸向拉伸或壓縮一樣，應(yīng)用剪切強(qiáng)度條件也可以解決工程上剪切變形的三類強(qiáng)度問題。擠壓實(shí)用計(jì)算1.擠壓的概念螺栓、銷釘、鉚釘?shù)冗B接件在承受剪切力的同時(shí)，在連接件和被連接件的接觸面上還將相互壓緊，由于局部承受較大的壓力，從而出現(xiàn)壓陷、起皺等塑性變形的現(xiàn)象圖8-16(b)，這種現(xiàn)象稱為擠壓破壞。下一頁(yè)上一頁(yè)§8.3剪切與擠壓作用于接觸面間的壓力，稱為擠壓力，用符號(hào)Fp表示。構(gòu)件上發(fā)生擠壓變形的表面稱為擠壓面。擠壓面就是兩構(gòu)件的接觸面，一般垂直于外力方向。2.擠壓強(qiáng)度條件擠壓面上的壓強(qiáng)，稱為擠壓應(yīng)力，用字母6h表示。由于擠壓應(yīng)力在擠壓面上分布也很復(fù)雜圖8-16(c)，因此也需采用“實(shí)用計(jì)算法”按平均擠壓應(yīng)力建立其強(qiáng)度條件，即: (8.10)式中，F(xiàn)P為擠壓面上的擠壓力(N);AP為擠壓面積(mm);σP為材料許用擠壓應(yīng)力(MPa)。其值由試驗(yàn)而定，設(shè)計(jì)時(shí)可查有關(guān)手冊(cè)。下一頁(yè)上一頁(yè)根據(jù)試驗(yàn)積累的數(shù)據(jù)有:

鋼材脆性材料必須指出，如果互相擠壓的材料不同，應(yīng)按許用擠壓應(yīng)力低的材料進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。

3.擠壓面積的計(jì)算若接觸面為平面，則擠壓面積為接觸面積，如鍵連接。若接觸面為曲面，如鉚釘、銷等圓柱形連接件，其接觸面近似為半圓柱面。按照擠壓應(yīng)力均勻分布于半圓柱面上的假設(shè)，擠壓面積為半圓柱面的正投影面積圖8-16(d)中的矩形ABCD面積，即AP=dXt,d為鉚釘、§8.3剪切與擠壓下一頁(yè)上一頁(yè)銷等的直徑，t為鉚釘、銷等與孔的接觸長(zhǎng)度。例8.5電瓶車掛鉤用插銷連接如圖8-17所示，已知t=8mm,插銷的材料為20鋼，τ=30MPa,σP=100MPa，牽引力P=15kN試選定插銷的直徑d。解:以插銷為研究對(duì)象，受力情況如圖8-17(b)、圖8-17(c)所示，求得 Q=P/2=15/2kV=7.5kN先按剪切強(qiáng)度進(jìn)行設(shè)計(jì):即§8.3剪切與擠壓下一頁(yè)上一頁(yè)§8.3剪切與擠壓得再用擠壓強(qiáng)度條件進(jìn)行校核所以擠壓強(qiáng)度也是足夠的。查機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)，最后采用d=20mm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱銷。返回上一頁(yè)基本概念如圖8-18(a)所示的汽車轉(zhuǎn)向盤軸、圖8-18(b)所示的傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)軸等，這些軸在工作時(shí)，其兩端都受到兩個(gè)大小相等、方向相反且作用面垂直于軸線的力偶作用，致使軸的任意兩截面都繞軸線產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)變形。傳動(dòng)軸在傳遞動(dòng)力時(shí)主要產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)變形要受到扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的作用，切應(yīng)力超過一定極限值時(shí)就會(huì)導(dǎo)致軸的扭轉(zhuǎn)破壞，要保證軸安全、可靠地工作，必須滿足強(qiáng)度條件。此外，軸的扭轉(zhuǎn)變形量也必須控制在一定范圍內(nèi)，否則就會(huì)影響軸上零件的正常工作，甚至?xí)茐臋C(jī)器的工作性能?！?.4扭轉(zhuǎn)下一頁(yè)§8.4扭轉(zhuǎn)因此，在設(shè)計(jì)重要軸時(shí)，必須校核軸的變形量，使之不超過許用值，這在軸的設(shè)計(jì)中稱為剛度計(jì)算。外力偶矩的計(jì)算、扭矩和扭矩圖在軸的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，往往是先知道工作機(jī)的功率，通過效率計(jì)算，確定所選電動(dòng)機(jī)的額定功率和轉(zhuǎn)速，并計(jì)算出軸傳遞的功率。這樣就可以根據(jù)理論力學(xué)的公式來計(jì)算外力偶矩T: (8.11)式中，T為外力偶矩(Nm);P為軸傳遞的功率(kW);二為軸的轉(zhuǎn)速(r/min)。傳動(dòng)軸在外力偶矩作用下，橫截面上將產(chǎn)生抵抗扭轉(zhuǎn)變形和破壞下一頁(yè)上一頁(yè)§8.4扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力，稱為扭矩。作用在軸上的外力偶矩T求出后，即可用截面法研究橫截面上的內(nèi)力即扭矩Mt。如圖8-19所示，如假想地將傳動(dòng)軸沿，n-m截面分為兩部分，并取截面左段作為研究對(duì)象圖8-19(b)，則由于整個(gè)軸是平衡的，因而截面左段也應(yīng)處于平衡狀態(tài)，這就要求截面上的內(nèi)力系必須歸結(jié)為一個(gè)內(nèi)力偶矩M,來與外力偶矩平衡。由左段的平衡條件∑M=0，求出:Mt稱為，m-m截面上的扭矩，它是左右兩部分在，m-m截面上相互作用的內(nèi)力系的合力偶矩。如果取截面右段作為研究對(duì)象圖8-19(c)，同樣可以求得Mt=T的下一頁(yè)上一頁(yè)§8.4扭轉(zhuǎn)結(jié)果。為了使無(wú)論用哪一部分作為研究對(duì)象所求出的同一截面上的扭矩不僅數(shù)值相等，而且符號(hào)也相同，通常采用右手螺旋法則來規(guī)定扭矩的正負(fù)號(hào)。即用右手四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，則拇指的指向離開截面時(shí)的扭矩為正，反之為負(fù)。根據(jù)這一符號(hào)規(guī)則，在圖8-19中，m-m截面上的扭矩，無(wú)論是用左邊還是用右邊部分，求出的結(jié)果都是相同的。為了形象地表示各截面扭矩的大小和正負(fù)，常需畫出扭矩隨截面位置變化的圖形，這種圖形稱為扭矩圖。其畫法和軸力圖相同，取平行于軸線的橫坐標(biāo)x表示各截面的位置，垂直于軸線的縱坐標(biāo)Mt表示相應(yīng)截面上的扭矩，正扭矩畫在x軸上方，負(fù)扭矩畫在x軸下方。如圖8-19下一頁(yè)上一頁(yè)§8.4扭轉(zhuǎn)(d)所示。下面通過例子來進(jìn)一步說明扭矩的計(jì)算和扭矩圖的繪制。例8.6圖8-20(a)所示的傳動(dòng)軸，已知轉(zhuǎn)速n=955r/min，功率由主動(dòng)輪P輸入，輸入功率PB=50kW，通過從動(dòng)輪A,C輸出，輸出功率分別為PA=20kW,PC=30kW，求軸的扭矩，并繪制扭矩圖。解:(1)外力偶計(jì)算作用在A,B,C輪上的外力偶矩分別為:下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)§8.4扭轉(zhuǎn)(2)計(jì)算扭矩，畫軸的扭矩圖用截面法分別計(jì)算AB、BC段的扭矩。設(shè)AB和BC段的扭矩均為正，并分別用Mt1和Mt2表示，則由圖8-20(b)和圖8-20(c)可知作扭矩圖如圖8-20(d)所示，圖中顯示軸AC的危險(xiǎn)截面在BC段傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算1.傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力工程中最常見的傳動(dòng)軸是等截面圓軸。本節(jié)主要研究等截面圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)下一頁(yè)上一頁(yè)§8.4扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，即確定橫截面上各個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力。取一圓截面直桿，在其表面畫出許多等間距的圓周線和縱向線，形成矩形網(wǎng)格圖8-21(a)，然后施加力偶矩使圓桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。如圖8-21(b)所示。在小變形的情況下，可以觀察到下列現(xiàn)象:各圓周線均繞軸線相對(duì)地旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，但形狀大小和相鄰兩圓周線之間的距離均未發(fā)生變化。同時(shí)，所有縱向線都傾斜了一個(gè)微小角度了，表面上的矩形網(wǎng)格變成了平行四邊形?？杉僭O(shè)圓桿內(nèi)部各圓柱面變形情況與外表面相似，則可推出傳動(dòng)軸在扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，各橫截面變形后仍保持為平面，且形狀和大小都不變，半徑仍為直線。這一假設(shè)被稱為平面假設(shè)?！?.4扭轉(zhuǎn)按照這一假設(shè)，軸在扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，各截面就像剛性平面一樣，繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，截面之間的距離保持不變。由此得出以下結(jié)論:(1)由于橫截面間的距離不變，故在橫截面上不會(huì)產(chǎn)生拉、壓正應(yīng)力。

(2)由于圓柱面上矩形網(wǎng)格發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，因而橫截面上必有切應(yīng)力存在。又因半徑長(zhǎng)度不變，可知截面上的切應(yīng)力方向必與半徑垂直。根據(jù)上述討論，利用變形幾何關(guān)系、胡克定律及靜力平衡關(guān)系可以推出橫截面上任意一點(diǎn)處的切應(yīng)力的計(jì)算公式: (8.12)下一頁(yè)上一頁(yè)§8.4扭轉(zhuǎn)式中，Mt為圓軸橫截面上的扭矩(Nm);P為橫截面上任一點(diǎn)到圓心的距離(m);IP是橫截面對(duì)形心的極慣性矩，是只與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，單位是m4。上式表明，橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的大小與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，圓心處的切應(yīng)力為零，軸周邊的切應(yīng)力最大，在半徑為P的同一圓周上各點(diǎn)切應(yīng)力相等。圓軸橫截面上的切應(yīng)力沿半徑的分布規(guī)律如圖8-22和圖8-23所示。當(dāng)p等于橫截面半徑R(pmax)時(shí)，切應(yīng)力將達(dá)最大值即: (8.13)令，則上式可以寫成下一頁(yè)上一頁(yè)§8.4扭轉(zhuǎn) (8.14)式中，Wt是僅與截面尺寸有關(guān)的幾何量，稱為抗扭截面系數(shù)，單位為m3。當(dāng)Mt一定時(shí)，Wt越大，則tmax越小，說明載荷在橫截面上產(chǎn)生的破壞越小。

2.IP與Wt的計(jì)算直徑為d的圓截面的極慣性矩為:其抗扭截面模量為:對(duì)于外徑為D，內(nèi)徑為d的圓環(huán)截面，設(shè)比值a=d/D，則可得:下一頁(yè)上一頁(yè)§8.4扭轉(zhuǎn)其抗扭截面模量為:

3.扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件為了保證構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度，必須限制軸上危險(xiǎn)截面的最大切應(yīng)力不超過材料的許用剪切應(yīng)力t，即傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度校核公式為 (8.15)式中，Mtmax為危險(xiǎn)截面上的扭矩(N·m);Wt為抗扭截面系數(shù)(m3)，許用切應(yīng)力t是通過試驗(yàn)得到材料的扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力后，除以其安全系數(shù)后得到的。進(jìn)一步研究可以找出許用切應(yīng)力t和許用正力應(yīng)6之間的關(guān)系為:下一頁(yè)上一頁(yè)§8.4扭轉(zhuǎn)塑性材料脆性材料例8.7直徑為d=50mm的等截面鋼軸由20kW的電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，如圖8-24所示。(1)扭矩圖及危險(xiǎn)截面外力偶矩計(jì)算下一頁(yè)上一頁(yè)§8.4扭轉(zhuǎn)由此可得AD軸扭矩如圖8-23(b)所示。由圖可知，危險(xiǎn)截面在BC段。(2)強(qiáng)度校核所以強(qiáng)度滿足要求。返回上一頁(yè)固定心軸平面彎曲的概念和實(shí)例在工程中，常見到彎曲變形的構(gòu)件，如火車輪軸(圖8-25)，自行車前輪的心軸，刀具軋輥等，這些構(gòu)件的受力和變形特點(diǎn)是:作用于桿件上的外力或外力偶垂直于桿件的軸線，使桿的軸線變形后成曲線，這種變形稱為彎曲變形，簡(jiǎn)稱彎曲。凡以彎曲變形為主的軸，習(xí)慣稱為梁。機(jī)器中大多數(shù)的梁，如圖8-26(a)和圖8-26(b)所示，其橫截面上一般都有一對(duì)稱軸(y軸)，通過對(duì)稱軸和梁的軸線(二軸)構(gòu)成一個(gè)縱向?qū)ΨQ面，如果外力都作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則梁的軸線就在縱向平面內(nèi)彎成一條平面曲線，這種彎曲變形稱為平面彎曲。梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖§8.5彎曲下一頁(yè)§8.5彎曲梁的支承情況和載荷作用形式往往比較復(fù)雜。為了便于分析計(jì)算，常進(jìn)行簡(jiǎn)化。根據(jù)梁所受的約束情況，經(jīng)過簡(jiǎn)化，梁有三種典型形式:1)簡(jiǎn)支梁梁的兩端均為鉸支座，其中一端為固定鉸支座，另一端為可動(dòng)鉸支座，如圖8-27(a)所示。

2)外伸梁梁用鉸支座支承，但梁的一端或兩端伸于支座之外，如圖8-27(b)所示。3)懸臂梁梁的一端為固定端，另一端為自由端，如圖8-27(c)所示。下一頁(yè)上一頁(yè)以上三種梁的未知約束反力最多只有三個(gè)，應(yīng)用靜力平衡條件就可以確定。梁的彎曲內(nèi)力(剪力和彎矩)

作出梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖，確定梁上所有外力(載荷和支反力)后，就可以用截面法進(jìn)一步研究梁的各橫向截面的內(nèi)力。

1.橫截面上的內(nèi)力(剪力和彎矩)

用截面法求梁的內(nèi)力例8.8求圖8-28所示梁中距離左端點(diǎn)為x的截面的彎曲內(nèi)力。解:設(shè)支反力RA、RB的方向向上由∑MA=0，得§8.5彎曲下一頁(yè)上一頁(yè)§8.5彎曲由∑Y=0，得假想在所求內(nèi)力截面將梁截開，以左半部分為研究對(duì)象。由于整根梁是平衡的，其左半部分必處于平衡狀態(tài)。截面以左部分受外力作用，根據(jù)平衡條件，截面上必存在一個(gè)沿豎直方向與截面平行的內(nèi)力，稱為剪力，用Q表示，又因外力和剪力Q組成一個(gè)力偶。因此也必存在一個(gè)與梁的軸線垂直的力偶M，稱為彎矩，以維持左段梁的平衡。剪力Q和彎矩M均為截面上的彎曲內(nèi)力。由∑Y=0，得下一頁(yè)上一頁(yè)§8.5彎曲由所有外力對(duì)截面形心的力矩的代數(shù)和為零，由∑M0=0，得由于所求截面為AD段梁的任一截面，所以上例中所求的剪力和彎矩為AD段梁任意截面的剪力和彎矩。也可以以梁的右段為研究對(duì)象來計(jì)算，結(jié)果是相同的。下一頁(yè)上一頁(yè)§8.5彎曲

2.剪力和彎矩的符號(hào)規(guī)定為了使同一截面兩邊的剪力和彎矩在正負(fù)號(hào)上統(tǒng)一起來，根據(jù)梁的變形情況做如下規(guī)定:梁變形后，若凹面向上，截面上的彎矩為正;反之，若凹面向下，截面上的彎矩為負(fù)，如圖8-29所示。根據(jù)上述正負(fù)號(hào)的規(guī)定，在截面法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步綜合歸納后，可得出剪力和彎矩的計(jì)算有以下規(guī)律:

(1)橫截面的剪力，在數(shù)值上等于該截面左邊(或右邊)梁上所有外力在與梁軸線垂直方向(即y軸)上投影的代數(shù)和。橫截面左邊梁上向上的外力(或右邊梁上向下的外力)產(chǎn)生正剪力;反之產(chǎn)生負(fù)剪力。

(2)若取梁的左段為研究對(duì)象，橫截面上的彎矩的大小等于此截面下一頁(yè)上一頁(yè)§8.5彎曲左邊梁上所有外力(包括力偶)對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和，外力矩為順時(shí)針時(shí)，截面上的彎矩為正，反之為負(fù)。若取梁的右段為研究對(duì)象，橫截面上的彎矩的大小等于此截面右邊梁上所有外力(包括力偶)對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和，外力矩為逆時(shí)針時(shí)，截面上的彎矩為正，反之為負(fù)。有了上述規(guī)律后，在實(shí)際計(jì)算中就不必用假設(shè)截面將截面截開，再用平衡方程求彎矩，而可直接利用上述規(guī)律求出任意截面上的彎矩值及其轉(zhuǎn)向。

3.剪力圖和彎矩圖為了形象地表示剪力和彎矩沿梁長(zhǎng)的變化情況，以便確定梁的危險(xiǎn)截面(往往是最大彎矩值所在的位置)，常需畫出梁各截面剪力及彎矩的下一頁(yè)上一頁(yè)§8.5彎曲變化規(guī)律的圖形，分別稱為剪力圖和彎矩圖。在梁的不同截面上，剪力和彎矩一般均不相同，即剪力和彎矩沿梁軸線方向是變化的。如果沿梁軸線方向選取坐標(biāo)二表示橫截面的位置，則梁內(nèi)各橫截面的剪力和彎矩可以寫成坐標(biāo)二函數(shù)，即:上述關(guān)系分別為剪力方程和彎矩方程。剪力圖和彎矩圖的表達(dá)方法是:以與梁軸線平行的坐標(biāo)x表示橫截面位置，縱坐標(biāo)表示各截面上相應(yīng)的彎矩(或剪力)大小，正彎矩(或剪力)畫在x軸的上方，負(fù)彎矩(或剪力)畫在x軸的下方。下面舉例說明彎矩圖的作法:下一頁(yè)上一頁(yè)§8.5彎曲

例8.9圖8-30所示的簡(jiǎn)支梁，在C點(diǎn)受集中力P作用，試?yán)L制梁的彎矩圖。解:(1)計(jì)算支反力以梁為研究對(duì)象，設(shè)支反力RA、RB均向上，則可列平衡方程

(2)建立彎矩方程因?yàn)榱涸贑點(diǎn)處受集中力作用，故AC和BC兩段梁的彎矩方程不同，必須分別列出。在AC和BC段內(nèi)，任取距離A點(diǎn)為x1和x2的截面，并皆取截面左端下一頁(yè)上一頁(yè)§8.5彎曲為研究對(duì)象，則AC段的方程為:BC段的方程為:

(3)畫出彎矩圖因?yàn)镸1和M2都是一次函數(shù)，故彎矩圖在AC段和BC段均為一條直線，各段內(nèi)先定出兩點(diǎn)即可連出直線。當(dāng)x1=0時(shí)MA=0;當(dāng)x1=a時(shí)，當(dāng)x2=a時(shí)，；當(dāng)x2=l時(shí)MB=0由此可畫出梁的彎矩圖如圖8-29所示。實(shí)際上，彎矩圖和載荷之間存在下列幾點(diǎn)規(guī)律:下一頁(yè)上一頁(yè)§8.5彎曲(1)在兩集中力之間的梁段上，彎矩圖為斜直線，如圖8-29所示。

(2)在均布載荷作用的梁段上，彎矩圖為拋物線。

(3)在集中力作用處，彎矩出現(xiàn)轉(zhuǎn)折角，如圖8-29所示。

(4)在集中力偶作用處，其左右兩截面上的彎矩值發(fā)生突變，突變值等于集中力偶矩之值，如圖8-31所示。利用上述規(guī)律，不僅可以檢查彎矩圖形狀的正確性，而且無(wú)須列出彎矩方程式，只需直接求出幾個(gè)點(diǎn)的彎矩值，即可畫出彎矩圖。例8.9如圖8-31所示的簡(jiǎn)支梁，受集中力藥〕和集中力偶M=FPl作用，求作梁的彎矩圖。解:(1)求支座反力下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)§8.5彎曲(2)作彎矩圖。根據(jù)上面總結(jié)的作圖規(guī)律可知，AC段和BC段的彎矩圖均為斜直線。因?yàn)榧辛图辛ε纪瑫r(shí)作用在C點(diǎn)，故C處的彎矩既有轉(zhuǎn)折又有突變，所以在C處左右兩側(cè)的彎矩值是不同的。

A點(diǎn)處的彎矩MA=0C點(diǎn)左側(cè)處的彎矩:C點(diǎn)右側(cè)處的彎矩:

B點(diǎn)處的彎矩MB=0§8.5彎曲

將上面求得的各點(diǎn)的彎矩，用適當(dāng)比例，描點(diǎn)連成直線，即為該梁的彎矩圖，如圖8-31(b)所示。由圖可知，危險(xiǎn)截面在梁的中點(diǎn)C處，最大彎矩Mmax=3FPl/4。固定心軸的強(qiáng)度在求出了固定心軸的彎矩后，還不能解決強(qiáng)度問題，必須進(jìn)一步解決橫截面上各點(diǎn)應(yīng)力分布的規(guī)律。

1)梁純彎曲的概念如圖8-32所示為一固定心軸發(fā)生純彎曲的情形。從其剪力圖和彎矩圖可以看出，處于CD段中梁的任一橫截面上，只有彎矩而沒有剪力，并且彎矩為一常量，因而可斷定，這些橫截面上一定不會(huì)有切應(yīng)力，下一頁(yè)上一頁(yè)§8.5彎曲只有正應(yīng)力。這種情況稱為梁的純彎曲。

2)梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力如圖8-33所示，在桿件側(cè)面畫上縱線和橫線，在彎曲小變形的情況下，可以觀察到下列現(xiàn)象:桿件表面上畫出的各橫向線仍保持直線，但發(fā)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)?？v向線間距不變，但由直線變成了曲線，靠頂面的縱線縮短，靠底面的縱線伸長(zhǎng)圖8-33(b)，由此可以推出假設(shè):梁作平面彎曲時(shí)，其橫截面仍保持為平面，只是產(chǎn)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，梁的一部分縱向“纖維”伸長(zhǎng)，一部分縱向“纖維”縮短。由縮短區(qū)到伸長(zhǎng)區(qū)，存在一層既不伸長(zhǎng)也不縮短的“纖維”，稱為中性層。距離中性層越遠(yuǎn)的縱向“纖維”伸長(zhǎng)量(或縮短量)越大。中性層和橫截面的交線:軸稱為中性軸下一頁(yè)上一頁(yè)§8.5彎曲(圖8-34)。它是橫截面上拉、壓應(yīng)力的分界線，中性軸以上各點(diǎn)為壓應(yīng)力，中性軸以下各點(diǎn)為拉應(yīng)力。由胡克定律σ=Eε可知，橫截面上的拉、壓應(yīng)力的變化規(guī)律應(yīng)與縱向“纖維”變形的變化規(guī)律相同，即橫截面上各點(diǎn)的應(yīng)力大小應(yīng)與所在點(diǎn)到中性軸:的距離y成正比，距中性軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)應(yīng)力越大，離中性軸距離相同的各點(diǎn)正應(yīng)力相同，中性軸上各點(diǎn)圖8-34梁橫截面上彎曲應(yīng)力分布(y=0處)正應(yīng)力為0，故有

3)彎曲正應(yīng)力的計(jì)算由上分析可知，橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力大小是不相同的，研究表明，下一頁(yè)上一頁(yè)§8.5彎曲當(dāng)梁橫截面上的彎矩為M時(shí)，該截面距中性軸:為y的任一點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力公式為: (8.16)式中，M為橫截面上的彎矩(Nm);y為所求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸z的距離(m);IZ為橫截面對(duì)中性軸(z軸)的慣性矩(m4)，其值只與橫截面的形狀和尺寸有關(guān)。在實(shí)際計(jì)算中，通常彎矩M和坐標(biāo)y均取其絕對(duì)值，求得正應(yīng)力的大小，再由彎曲變形判斷正應(yīng)力的正(拉)負(fù)(壓)。即中性層為界，梁突出的應(yīng)力為拉應(yīng)力，凹人邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力。橫截面上下邊緣處正應(yīng)力最大，其值為