2023屆哈爾濱市重點中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為A．B．C．D．2．已知、是圓：上的兩個動點，，，若是線段的中點，則的值為（）A． B． C． D．3．等比數(shù)列的前項和、前項和、前項和分別為，則().A． B．C． D．4．在鈍角中，角的對邊分別是，若，則的面積為A． B． C． D．5．不等式的解集是：A． B．C． D．6．若數(shù)列，若，則在下列數(shù)列中，可取遍數(shù)列前項值的數(shù)列為（）A． B． C． D．7．已知直線平面，直線平面，下列四個命題中正確的是（）．（）（）（）（）A．（）與（） B．（）與（） C．（）與（） D．（）與（）8．若則所在象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．從裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，則與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是以下事件“①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球”中的()A．①② B．①③C．②③ D．①②③10．圓與圓恰有三條公切線，則實數(shù)的值是（）A．4 B．6 C．16 D．36二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列滿足：，，則_____.12．等差數(shù)列中，則此數(shù)列的前項和_________.13．已知，則____．14．已知的三邊分別是，且面積，則角__________.15．如圖所示，已知點，單位圓上半部分上的點滿足，則向量的坐標為________．16．數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項公式______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點．（1）求證：PB//平面EAC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）當為何值時，PB⊥AC？18．已知常數(shù)且，在數(shù)列中，首項，是其前項和，且，.（1）設(shè)，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式；（2）設(shè)，，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式；（3）若當且僅當時，數(shù)列取到最小值，求的取值范圍．19．已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖象的一條對稱軸．（1）求函數(shù)的解析式；（2）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，若角滿足，求的取值范圍；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記作，已知常數(shù)，，且函數(shù)在內(nèi)恰有個零點，求常數(shù)與的值．20．數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.21．設(shè)函數(shù)，且(1)求的值；(2)試判斷在上的單調(diào)性，并用定義加以證明；(3)若求值域；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)圖象可得最小正周期，求得；利用零點和的符號可確定的取值；令，解不等式即可求得單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由圖象可知：又，，由圖象可知的一個可能的取值為令，，解得：，即的單調(diào)遞減區(qū)間為：，本題正確選項：【點睛】本題考查利用圖象求解余弦型函數(shù)的解析式、余弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問題；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式來求解解析式和單調(diào)區(qū)間，屬于常考題型.2、A【解析】由題意得,所以，選A.3、B【解析】

根據(jù)等比數(shù)列前項和的性質(zhì)，可以得到等式，化簡選出正確答案.【詳解】因為這個數(shù)列是等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，因此有，故本題選B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列前項和的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.4、A【解析】

根據(jù)已知求出b的值，再求三角形的面積.【詳解】在中，，由余弦定理得：，即，解得：或.∵是鈍角三角形，∴（此時為直角三角形舍去）.∴的面積為.故選A.【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形和三角形的面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

把不等式轉(zhuǎn)化為不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，不等式，等價于，解得，即不等式的解集為，故選C．【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

推導(dǎo)出是以6為周期的周期數(shù)列，從而是可取遍數(shù)列前6項值的數(shù)列．【詳解】數(shù)列，，，，，，，，，是以6為周期的周期數(shù)列，是可取遍數(shù)列前6項值的數(shù)列．故選：D.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性與三角函數(shù)知識的交會，考查基本運算求解能力，求解時注意函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．7、D【解析】

∵直線l⊥平面α，若α∥β，則直線l⊥平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)⊥m，即(1)正確；∵直線l⊥平面α，若α⊥β，則l與m可能平行、異面也可能相交，故(2)錯誤；∵直線l⊥平面α，若l∥m，則m⊥平面α，∵直線m?平面β，∴α⊥β；故(3)正確；∵直線l⊥平面α，若l⊥m，則m∥α或m?α，則α與β平行或相交，故(4)錯誤；故選D.8、C【解析】

根據(jù)已知不等式可得，；根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號可確定角所處的象限.【詳解】由知：，在第三象限故選：【點睛】本題考查三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】試題分析：結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，即可得出結(jié)論解：根據(jù)題意，結(jié)合互斥事件、對立事件的定義可得，事件“兩球都為白球”和事件“兩球都不是白球”；事件“兩球都為白球”和事件“兩球中恰有一白球”；不可能同時發(fā)生，故它們是互斥事件．但這兩個事件不是對立事件，因為他們的和事件不是必然事件．故選A考點：互斥事件與對立事件．10、C【解析】

兩圓外切時，有三條公切線．【詳解】圓標準方程為，∵兩圓有三條公切線，∴兩圓外切，∴，．故選C．【點睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系．兩圓的公切線條數(shù)：兩圓外離時，有4條公切線，兩圓外切時，有3條公切線，兩圓相交時，有2條公切線，兩圓內(nèi)切時，有1條公切線，兩圓內(nèi)含時，無無公切線．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

從開始，直接代入公式計算，可得的值.【詳解】解：由題意得：，，，，故答案為：.【點睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的性質(zhì)，相對簡單.12、180【解析】由,,可知.13、【解析】

由于，則，然后將代入中，化簡即可得結(jié)果.【詳解】，，，故答案為.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系，平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換，商的關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.14、【解析】試題分析：由，可得，整理得，即，所以.考點：余弦定理；三角形的面積公式.15、【解析】

設(shè)點，由和列方程組解出、的值，可得出向量的坐標.【詳解】設(shè)點的坐標為，則，由，得，解得，因此，，故答案為.【點睛】本題考查向量的坐標運算，解題時要將一些條件轉(zhuǎn)化為與向量坐標相關(guān)的等式，利用方程思想進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.16、【解析】

由題意得出，利用累加法可求出.【詳解】數(shù)列滿足，，，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用累加法求數(shù)列的通項，解題時要注意累加法對數(shù)列遞推公式的要求，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解析】

1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,由EO//PB可證PB//平面EA．（2）由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，，可證，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）設(shè)N為AD中點，連接PN，則，可證PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【詳解】（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,因為O，E分別為BD.PD的中點,所以EO//PB,,所以PB//平面EAC．（2）正三角形PAD中，E為PD的中點，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．（3）設(shè)N為AD中點，連接PN，則．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB為PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，設(shè)AD＝1，AB＝x,由,得∽，解之得：,所以，當時，PB⊥AC．【點睛】本題綜合考查線面平行的判定，線面垂直的判定，及探索性問題找異面直線垂直，第三問難度較大，需要把異面直線垂直轉(zhuǎn)化為射影垂直，即共面垂直問題．18、（1）證明見解析，；（2）證明見解析，；（3）.【解析】

（1）令，求出的值，再令，由，得出，將兩式相減得，再利用等比數(shù)列的定義證明為常數(shù)，可得出數(shù)列為等比數(shù)列，并確定等比數(shù)列的首項和公比，可求出；（2）由題意得出，再利用等差數(shù)列的定義證明出數(shù)列為等差數(shù)列，確定等差數(shù)列的首項和公差，可求出數(shù)列的通項公式；（3）求出數(shù)列的通項公式，由數(shù)列在時取最小值，可得出當時，，當時，，再利用參變量分離法可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，有，即，；當時，由，可得，將上述兩式相減得，，，且，所以，數(shù)列是以，以為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）知，，由等差數(shù)列的定義得，且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，因此，；（3）由（2）知，，，由數(shù)列在時取最小值，可得出當時，，當時，，由，得，得在時恒成立，由于數(shù)列在時單調(diào)遞減，則，此時，；由，得，得在時恒成立，由于數(shù)列在時單調(diào)遞減，則，此時，.綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用定義證明等比數(shù)列和等差數(shù)列，證明時需結(jié)合題中數(shù)列遞推式的結(jié)構(gòu)進行證明，同時也考查數(shù)列最值問題，需要結(jié)合題中條件轉(zhuǎn)化為與項的符號相關(guān)的問題，利用參變量分離法可簡化計算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力，綜合性較強，屬于難題.19、（1）；（2）；（3），.【解析】

（1）由函數(shù)的周期公式可求出的值，求出函數(shù)的對稱軸方程，結(jié)合直線為一條對稱軸結(jié)合的范圍可得出的值，于此得出函數(shù)的解析式；（2）由得出，再由結(jié)合銳角三角函數(shù)得出，利用正弦定理以及內(nèi)角和定理得出，由條件得出，于此可計算出的取值范圍；（3）令，得，換元得出，得出方程，設(shè)該方程的兩根為、，由韋達定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三種情況討論，計算出關(guān)于的方程在一個周期區(qū)間上的實根個數(shù)，結(jié)合已知條件得出與的值.【詳解】（1）由三角函數(shù)的周期公式可得，，令，得，由于直線為函數(shù)的一條對稱軸，所以，，得，由于，，則，因此，；（2），由三角形的內(nèi)角和定理得，.，且，，.，由，得，由銳角三角函數(shù)的定義得，，由正弦定理得，，，，且，，，.，因此，的取值范圍是；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)，再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，，令，可得，令，得，，則關(guān)于的二次方程必有兩不等實根、，則，則、異號，（i）當且時，則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個根，從而方程在也有偶數(shù)個根，不合乎題意；（ii）當，則，當時，只有一根，有兩根，所以，關(guān)于的方程在上有三個根，由于，則方程在上有個根，由于方程在區(qū)間上只有一個根，在區(qū)間上無實解，方程在區(qū)間上無實數(shù)解，在區(qū)間上有兩個根，因此，關(guān)于的方程在區(qū)間上有個根，在區(qū)間上有個根，不合乎題意；（iii）當時，則，當時，只有一根，有兩根，所以，關(guān)于的方程在上有三個根，由于，則方程在上有個根，由于方程在區(qū)間上無實數(shù)根，在區(qū)間上只有一個實數(shù)根，方程在區(qū)間上有兩個實數(shù)解，在區(qū)間上無實數(shù)解，因此，關(guān)于的方程在區(qū)間上有個根，在區(qū)間上有個根，此時，，得.綜上所述：，.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求三角函數(shù)的解析式，以及三角形中的取值范圍問題，以及三角函數(shù)零點個數(shù)問題，同時也涉及了復(fù)合函數(shù)方程解的個數(shù)問題，考查分類討論思想的應(yīng)用，綜合性較強，屬于難題.20、(1)(2)【解析】

(1)當時，，利用得到通項公式，驗證得到答案.(2)根據(jù)的正負將和分為兩種情況，和，分別計算得到答案.【詳解】(1)當時，，當時，.綜上所述.(2)當時，，所以，