2021年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸題每日一題74

2021年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸題每日一題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=L-2的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A、B,拋

2

物線丫=，+灰+。經(jīng)過點(diǎn)A、8,點(diǎn)尸為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：

(2)如圖1所示，過點(diǎn)P作軸，分別交直線A3、x軸于點(diǎn)C、D,若以點(diǎn)P、B、C

為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)4、C、。為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2所示，過點(diǎn)P作PQLAB于點(diǎn)Q,連接P8,當(dāng)△P8Q中有某個(gè)角的度數(shù)等于

NOAB度數(shù)的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

【分析】(1)本題所求二次函數(shù)的解析式含有兩個(gè)待定字母，一般需要兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)建立方

程組，現(xiàn)在可求A、B點(diǎn)坐標(biāo)，代入列方程組可解答；

(2)根據(jù)/A￡>C=90°,NACD=NBCP,可知相似存在兩種情況：

①當(dāng)NCBP=90°時(shí)，如圖1,過戶作PN_Ly軸于N,證明△AOBs^BNP,列比例式可得

結(jié)論；②當(dāng)NCPB=90°時(shí)，如圖2,則B和P是對(duì)稱點(diǎn)，可得P的縱坐標(biāo)為-2,代入拋

物線的解析式可得結(jié)論；

(3)分兩種情況：①當(dāng)/PBQ=2/O4B時(shí)，如圖3,作輔助線，構(gòu)建相似三角形，證明

△BOEsAHPB,得堡■型，設(shè)P(X,/-乙-2),則H(x,lx-2),列方程可得結(jié)論；

PHBH22

②當(dāng)NBPQ=2NOAB時(shí)，如圖4,同理作輔助線，設(shè)點(diǎn)PG,a-于-2),則”G,A,

-2),根據(jù)面積法表示尸。的長(zhǎng)，證明△PBQs^EOF,可得8。的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理

可得結(jié)論.

【解答】解：(1)令x=0,得y=Lc-2=-2,則8(0,-2),

2

令y=0，得0=』x-2,解得x=4,則A(4,0),

2

把A(4,0),B(0,-2)代入y=x2+bx+c(。#0)中，得：J16+4b+c=0,

lc=-2

\_7

解得：(b-3，

c=-2

拋物線的解析式為：)=/--2；

2

(2)軸，

，NADC=90°,

NACD=NBCP,

以點(diǎn)尸、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、C、。為頂點(diǎn)的三角形相似，存在兩種情況:

①當(dāng)NC8P=90°時(shí)，如圖1,過P作PMLy軸于N,

設(shè)p(x,/-工x-2),則C(x,L-2),

22

?：/ABO+NPBN=NABO+/OAB=9Q",

：.4PBN=N0AB,

：NAOB=N8NP=90°,

AAOBs^NP,

AAO=0B>即----------------=2,

BNx

_2_(X2^X_2)

解得：xi=O（舍），X2--,

2

：.P（g，-5）：

2

=0（舍），X2=—>

2

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（旦，-5）或（工，-2）；

22

（3）；。4=4,。8=2,NAOB=90°,

，N8OAW45。，

；.NBQP￥2NBOA，

分兩種情況：

①當(dāng)NP8Q=2NOAB時(shí)，如圖3,取AB的中點(diǎn)E,連接OE,過P作軸于G,交

直線AB于H,

：.ZOAB=ZAOEf

：./0EB=2/0AB=/PBQ,

■:OB//PG,

：?NOBE=NPHB,

:./XBOEsAHPB,

?OBBE

??-f

PHBH

由勾股定理得：AB=^22+42=2V5>

:.BE=?

,：GH//OB,

?OG_BH印x=BH,

OA-AB>42^/5，

:.BH=Sx,

2

設(shè)尸(X,X2-—X-2),則H(x,Ax-2),

22

PH=^x-2-(/-L-2)=-/+4x,

22

解得：xi=0,X2=3,

，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是3；

②當(dāng)NBPQ=2/OAB時(shí)，如圖4,取AB的中點(diǎn)E,連接。E,過P作PG_Lx軸于G,交

直線A8于4,過。作?？贚AB于F,連接AP,則N8PQ=/0EF,

設(shè)點(diǎn)P"?--Z-2),貝ijHG,A/-2),

22

：.PH=^t-2-(P-L-2)=-P+41,

22

V0B=2,0A=4,

."8=2&,

：.0E=BE=AE=80f=OA：OB=2季=..35

BC2a5

'￡F=VOE2-OF2=^(^5)2-(^-)2=^-,

S“BP=/AB?PQ=/PH?OA，

-'-2y/5PQ=4(-尸+4Q,

0

PQ=~2tJ-8t,

V5

'：ZOFE=ZPQB=90a,

：./\PBQ^^EOF,

-2t2+8t3粕

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---B--Q-----O--F-BQ-475-4,

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：.BQ=_8t2乎t

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