三角函數(shù)、三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)蘇教版必修 4三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、角的概念和弧度制：(1)在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角：角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，角的終邊在第幾象限，就說過角是第幾象限的角。若角的終邊在坐標(biāo)軸上，就說這個(gè)角不屬于任何象限，它叫象限界角。⑵①與a角終邊相同的角的集合：｛P|P=3600k+京，kwZ｝或｛P|P=2kn+ct,kwZ｝與a角終邊在同一條直線上的角的集合：;與ct角終邊關(guān)于x軸對(duì)稱的角的集合：;與a角終邊關(guān)于y軸對(duì)稱的角的集合：;與a角終邊關(guān)于y=x軸對(duì)稱的角的集合：;②一些特殊角集合的表示：終邊在坐標(biāo)軸上角的集合： ;終邊在一、三象限的平分線上角的集合：;終邊在二、四象限的平分線上角的集合：;終邊在四個(gè)象限的平分線上角的集合：;(3①象限角：第一象限角：;第三象限角：;

第一、三象限角：;②寫出圖中所表示的區(qū)間角：(4)正確理解角：要正確理解“0o~90o間的角”=;“第一象限的角”=「銳角”=“小于900的角”=;a(5)由口的終邊所在的象限，通過來判斷一所在的象限。2來判斷巴所在的象限3(6)弧度制：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零；任一已知角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值|al=-,其中l(wèi)為以角a作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，rr為圓的半徑。注意鐘表指針?biāo)D(zhuǎn)過的角是負(fù)角。(7)弧長(zhǎng)公式：；半徑公式：；扇形面積公式：；二、任意角的三角函數(shù)：(1)任意角的三角函數(shù)定義：以角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為 x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角a的終邊上任取一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P(x,y)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離記為r,則sina=；cosot=tana=；cota=；seca=；csca=；如：角ot的終邊上一點(diǎn)(a,7r3a),則cosct+2sina=。注意r>0(2)在圖中畫出角a的正弦線、余弦線、正切線；比較xw(0,」)，sinx,tanx,x的大小關(guān)系：2(3)特殊角的三角函數(shù)值:a0316冗43133123T3n2sin口cosatanacota三、同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導(dǎo)公式:

平方關(guān)系倒數(shù)關(guān)系tanacota=1平方關(guān)系倒數(shù)關(guān)系tanacota=1，商數(shù)關(guān)系sina: =tana；cosa作用：已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值。(2)誘導(dǎo)公式：2k二：二：n+a= ： 5 -5 ;—ct=a： ? _? ;n-a=>a：2冗一o(=a： 5 -5 ;冗--ana:2冗一+ana:??;23二——-Ct二ct:;23二——十a(chǎn)=a：2誘導(dǎo)公式可用概括為:二 3二 一一一2KH±3,-3,—±a,冗士a,—士ct的二角函數(shù)奇變偶不變，符號(hào)看象限a的三角函數(shù) ?1 11 1 1I 1Isin2ct+cos2=1=1,1+tan2o(= 立—,1+cot2a= 立—cos二 sin;作用：—去負(fù)一一脫周一一化銳”，是對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行角變換的基本思路.即利用三角函數(shù)的奇偶性將負(fù)角的三角函數(shù)變?yōu)檎堑娜呛瘮?shù)——去負(fù)；利用三角函數(shù)的周期性將任意角的三角函數(shù)化為角度在區(qū)間[0o,360o)或[0o,180o)內(nèi)的三角函數(shù)一一脫周；利用誘導(dǎo)公式將上述三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù) 化銳.(3)同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導(dǎo)公式的運(yùn)用：①已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值。

注意：用平方關(guān)系，有兩個(gè)結(jié)果，一般可通過已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以討論。②求任意角的三角函數(shù)值。0o~360o角的三角函數(shù)步驟：公式二、四、五、六、七、八、九0o~360o角的三角函數(shù)③已知三角函數(shù)值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有無數(shù)多個(gè).步驟：①確定角?所在的象限；②如函數(shù)值為正，先求出對(duì)應(yīng)的銳角 0(1;如函數(shù)值為負(fù)，先求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角四；③根據(jù)角a所在的象限，得出0~2n間的角一一如果適合已知條件的角在第二限；則它是n—31；如果在第三或第四象限，則它是n+汽1或2n-口1;④如果要求適合條件的所有角，再利用終邊相同的角的表達(dá)式寫出適合條件的所有角的集合。TOC\o"1-5"\h\z3二 、如tana=m,貝Usin= ,cosa= ；sin(-——a)= ?\o"CurrentDocument"2 ，“15二 、cot( -a)= 。2注意：巧用勾股數(shù)求三角函數(shù)值可提高解題速度： (3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17)；四、三角函數(shù)圖像和性質(zhì)1.周期函數(shù)定義定義對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)不為零的常數(shù) T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，不為零白^常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.請(qǐng)你判斷下列函數(shù)的周期y=sinx y=cosx y=|cosx| y=cos|x|y=tanxy=tan|x|y=|tanx|y=tanxy=tan|x|y=|tanx|k例求函數(shù)f(x)=3sin(—x+—)(k#0)的周期。并求最小的正整數(shù) k,使他的周期不大5 3于1解二丁=月訓(xùn)至工+叫〔其中月#0.3r◎的周期為人蒿，.2tt_10ir■■2 ：- ?|||因依題意，0<W1,即?！吹萐1,向,1?,使這個(gè)不等式成立的最小正整效為忱I32.注意理解函數(shù)周期這個(gè)概念，要注意不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如常函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))是周期函數(shù)，其周期是異于零的實(shí)數(shù)，但沒有最小正周期.結(jié)論：如函數(shù)f(x+k)=f(x-k)對(duì)于任意的xWR,那么函數(shù)f(x)的周期T=2k；如函數(shù)f(x+k)=f(k—x)對(duì)于任意的xwR,那么函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是x=(xk)…二k22.圖像

g）時(shí)，1J當(dāng)工=2加一-2，1min——1.—1奇偶性奇函數(shù)偶函教奇函數(shù)奇函數(shù)周期性「f=2n片2北t=t[有界性有界有界無奧無界單調(diào)性REZ)在［如.三,2加+：］上都是增函數(shù)，在口加+y,2H+二］上都2是誠(chéng)函數(shù)在K次-l)iR口風(fēng)］上都是增函軟,在陽⑵+1詞上都是濫函數(shù)在(筋—1H+)內(nèi)都是增函數(shù)在(hi,啊+用內(nèi)#&是澈函ft3。圖像的平移對(duì)函數(shù)y=Asin(cox+9+k(A>0,w>0,中w0,kw0),其圖象的基本變換有：????????????????(1)振幅變換(縱向伸縮變換)：是由 A的變化引起的.A>1,伸長(zhǎng)；Av1,縮短.(2)周期變換(橫向伸縮變換)：是由④的變化引起的.3>1,縮短；3V1,伸長(zhǎng).(3)相位變換(橫向平移變換)：是由。的變化引起的.5>0,左移；中<0,右移.(4)上下平移(縱向平移變換):是由k的變化引起的.k>0,上移；k<0,下移四、三角函數(shù)公式:「—倍角公式sin(二：）=sincos士cosctsinsin2久=2sinacosUcos2,工=cos2-：：-sin倍角公式sin(二：）=sincos士cosctsinsin2久=2sinacosUcos2,工=cos2-：：-sin2-：：cos（二D）=cos、工cossin口sin=2cos2口-1=1-2sin2口tan（'工二I1）=tan二-tan:1-tan二tantan2:=2tan二, 21-tan-積化和差公式sin二cosI-',cos、工sinP1=—[sin（二+21=—[sin（:■+2:）+sin（工-:）］:）-sin（一i--）］半角公式asin—二2va

cos—二1cos：積化和差公式sin二cosI-',cos、工sinP1=—[sin（二+21=—[sin（:■+2:）+sin（工-:）］:）-sin（一i--）］半角公式asin—二2va

cos—二1cos：cos二：cos-1=[cos（.：j+）+cos（.：j- ）]2atan二21cos：sin、工sin|：,= [cos（、工+'）-cos（、工-）]2升嘉公式和差化積公式aa+Pasin_i+sin：=2sin cos—2aa+P.asin：＜--sin-=2cos sin——1+cos?=2cos2一22：■1-cos、工=2sin—21-cos：sin：1cos2 2Ra+Pa-Pcos?工+cos:=2cos cos 2na+Pcos'工-cos-=-2sin sin21CL1+sin注=（sin一二21=sin2.工+cos2:?2cos—）

2aasin3=2sin-cos一2降嘉公式tan、工+cot、工=一sin二cos二sin2：tan二-cot二=-2cot2二2sin--1一cos2：-c2工1+cos?上=2cos-2cos2二，21cos2：一c. 2 ;1-cos-=2sin一2a2sin2o（+cos2o（=1Ct1±sin口=（sin一±cos一）1.八sincoset=—sin2a2=4cos3日-3cos日；三倍角公式：sin3日=4cos3日-3cos日；五、三角恒等變換:三角變換是運(yùn)算化簡(jiǎn)的過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡(jiǎn)的方法和技能.常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：.<1）一魚的變換;在三角化簡(jiǎn)，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解，對(duì)角的變形如：一 …一 3-..①20t是"的二倍；4a是2①20t是"的二倍；4a是2口的二倍;仃 H TT TT倍；—是—的二倍；二±2a是二±a的二倍。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 6 2 4o oo oo30 -\o"CurrentDocument"15=45-30=60-45= ;問：sin—= ;cos—= ;2 12 12口=(ct+P)_P；④土+a二工—二一口)；4 2 43T 3T\o"CurrentDocument"⑤2汽=(口+P)+(a-P)=(—+a)-(--a);等等4 4(2)函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通?；?、割為弦，變異名為同名。工3).一..童數(shù)代操二在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有：2 2 2,2 o o1=sin:fos-=sec--tan-=tan其cot-=sin90=tan45(4)哥的變換：降哥是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降哥處理的方法。常用降哥公式有：;。降哥并非絕對(duì)，有時(shí)需要升哥，如對(duì)無理式j(luò)1+cosa常用升哥化為有理式，常用升哥公式有：；；(5)公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。上1tan 1Tan，如： = =;Tan 1tan工tanu+tanB=；1-tan?tanP=；tana-tanP=；1+tanatanP=；22tan?=；1-tana=；tan20o+tan400+73tan20otan40o=；sin口+cos?==；asin?+bcosu==；(其中tan=；)1+cosa=;1—co