柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系

內(nèi)容摘要：本文介紹了柯西施瓦茨不等式在實(shí)數(shù)域、維歐式空間、數(shù)學(xué)分析、概率空間四個不同分支的表現(xiàn)形式，并簡單說明了其在各個領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用，主要包括證明不等式、求最值，解三角形的相關(guān)問題，解方程組，研究概率論中的相關(guān)系數(shù)、判斷極值的存在性。此外，本文還給出了柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系。關(guān)鍵詞：柯西施瓦茨不等式應(yīng)用內(nèi)在聯(lián)系A(chǔ)bstract:Inthispaper,thefourdifferentformsofCauchy-Schwarz-inequalityarefirstlyintroduced.Thefourdifferentformsincluderealnumberfield,dimensionalEuclideanspace,mathematicalanalysis,probabilityspace.Thenitsapplicationsareshowed,whichincludeprovingtheinequality,findingasolutiontothemaximumvalueandminimumvalueofafunctionorequations,solvingtriangle,studyingthecorrelationcoefficientontheprobabilitytheory,determiningtheexistenceofextremevalue.Inaddition,thispaperalsogivestheinternalrelationsofthefourdifferentformsofCauchy-Schwarz-inequality.Keywords:Cauchy-Schwarz-inequalityapplicationinternal-relations1.Cauchy-Schwarz不等式的簡介柯西施瓦茨不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的。數(shù)學(xué)上，柯西—施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西—布尼亞科夫斯基—施瓦茨不等式，因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步?？挛魇┩叽牟坏仁绞且粭l很多場合都用得上的不等式，例如證明不等式、求函數(shù)最值、線性代數(shù)的矢量，研究三角形的相關(guān)問題，數(shù)學(xué)分析的無窮級數(shù)和乘積的積分，和概率論的方差，求方程系數(shù)，判斷極值的存在性。2.Cauchy-Schwarz不等式的四種形式2.1實(shí)數(shù)域中的Cauchy-Schwarz不等式2.1.1定理設(shè)則當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式等號成立.證明：通過構(gòu)造關(guān)于的二次函數(shù)來證明設(shè)若即時，顯然不等式成立.若時，則有且由于成立，所以且當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式等號成立.故2.1.2應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)和競賽數(shù)學(xué)中常常巧妙地應(yīng)用柯西—施瓦茨不等式（即Cauchy-Schwarz不等式）將許多繁瑣復(fù)雜的問題簡單化，比如常常用于求證不等式、最值、解方程組和解三角形的相關(guān)問題，而運(yùn)用柯西施瓦茨不等式的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的要求并按照其形式，巧妙地構(gòu)造兩組數(shù)。2.1.2.1用于證明不等式例1．已知都是正數(shù)，求證：證明：根據(jù)柯西—施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個數(shù)組：利用柯西施瓦茨不等式有即所以2.1.2.2用于求最值例2.已知求的最小值.解：根據(jù)柯西—施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個數(shù)組：和則有即所以的最小值.2.1.2.3用于解方程組例3.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程組解：由柯西施瓦茨不等式知所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，并將其與聯(lián)立解方程組可得：2.1.2.4用于解三角形相關(guān)問題例4.設(shè)分別為三角形三邊，其對應(yīng)的高分別為為三角形外切圓半徑，且滿足，試確定三角形的形狀.解：設(shè)三角形的面積為，則故等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，因此，此三角形為等邊三角形。2.2.n維歐氏空間中的Cauchy-Schwarz不等式2.2.1定理[1]在維歐氏空間中，對任意向量有其中等號當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時成立。證明：證法1通過構(gòu)造關(guān)于的二次函數(shù)來證明設(shè)由實(shí)向量的內(nèi)積的雙線性，對稱性和正定性可知當(dāng)時，，不等式成立。當(dāng)時，由于成立，則等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，即不等式得證。證法2通過利用實(shí)向量空間的內(nèi)積的基本性質(zhì)來證明如果故結(jié)論成立。若由內(nèi)積的正定性知令仍由內(nèi)積的正定性知，且等號只在時成立。把的表達(dá)式代入，利用內(nèi)積的雙線性計算得由于且由內(nèi)積的對稱性知故，其等號只在時成立，即時成立，不等式獲證。注：如果把此不等式中的內(nèi)積用坐標(biāo)表達(dá)出來，就是下述不等式：它也被稱為柯西—布尼亞可夫斯基不等式。2.2.2應(yīng)用2.2.2.1用于證明不等式例5.證明：證明：取由柯西施瓦茨不等式得整理得：2.2.2.2用于求最值例6.已知的最小值。解：構(gòu)造向量可得：由柯西施瓦茨不等式得：則即的最小值為.2.2.2.3用于證明三維空間中點(diǎn)到面的距離公式例7.已知為三維空間中的一點(diǎn)，平面求點(diǎn)解：設(shè)為平面上的任意一點(diǎn)，則又因?yàn)橛煽挛魇┩叽牟坏仁接兴缘忍柈?dāng)且僅當(dāng)即時成立。又由距離的定義可知點(diǎn)為。2.3數(shù)學(xué)分析中的Cauchy-Schwarz不等式2.3.1定理2.3.1.1定理[2]（積分學(xué)中的柯西—施瓦茨不等式）設(shè)在上可積，則.證法1通過建立輔助函數(shù)來證明作函數(shù)，由定積分的性質(zhì)得==故在上單調(diào)遞減，即而故，即不等式成立。注：此證法的關(guān)鍵在于將變成而構(gòu)建輔助函數(shù)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化成利用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式。此外也可以類似定理1.1和定理2.1構(gòu)建一元二次函數(shù)來求證。證法2通過構(gòu)造積分不等式來證明因?yàn)樵谏峡煞e，所以都可積，且對任何實(shí)數(shù)也可積，又故，即由此推得關(guān)于的二次三項(xiàng)式的判別式非正，即故.注：此法的關(guān)鍵在于構(gòu)造積分不等式，展開求關(guān)于的判別式，這就將問題轉(zhuǎn)化成了關(guān)于的二次三項(xiàng)式有無根的問題。證法3通過利用定積分的定義來證明因?yàn)樵谏峡煞e，所以都可積，對區(qū)間進(jìn)行等分，分為由定積分的定義得因?yàn)?，故?注：此證法的關(guān)鍵在于應(yīng)用“分割，近似求和，取極限”的思想方法.證法4通過利用二重積分的知識來證明[3]令===當(dāng)且僅當(dāng)時，故當(dāng)時，故綜上則有.注：本證法將問題轉(zhuǎn)化成二重積分問題，并利用了輪換對稱性，重積分對稱性在積分中的應(yīng)用時高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重點(diǎn)、難點(diǎn)，值得注意。2.3.1.2定理（數(shù)項(xiàng)級數(shù)的柯西—施瓦茨不等式）若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂，且.證明：由于收斂，則有收斂，而，故絕對收斂.由定理1.1中的可知當(dāng)令取極限時，即為所要證明的不等式.2.3.2應(yīng)用2.3.2.1用于證明不等式例8.若都在在上可積，則有閔可夫斯基（Minkowski）不等式：證明：由柯西施瓦茨不等式得故2.4概率空間中的Cauchy-Schwarz不等式2.4.1定理[4]設(shè)為任意隨機(jī)變量，若存在，則也存在，且，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)，使得證明：構(gòu)造二次函數(shù)定義任意實(shí)數(shù)的二次函數(shù)為因?yàn)閷σ磺?，必然有，從而有于是方程要么無實(shí)根，要么有一個實(shí)根，即重根，則判別式非正，從而，即.當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ匠逃幸粋€重根，使，從而即且，于是反之，若存在常數(shù)，使得成立，即從而于是即故即在式中等號成立。2.4.2應(yīng)用2.4.2.1用于研究兩個隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)例9.對于相關(guān)系數(shù)成立，并且當(dāng)且僅當(dāng)；而當(dāng)且僅當(dāng)證明：對隨機(jī)變量應(yīng)用柯西施瓦茨不等式有即，故等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在使得（其中是方程時的解）顯然，時，即時，即注：以上表明，當(dāng)時，存在完全線性關(guān)系，這時如果給定一個隨機(jī)變量的值，另一個隨機(jī)變量的值便完全決定.2.4.2.2用于求方程的系數(shù)例10.當(dāng)函數(shù)是由實(shí)驗(yàn)或觀察得到的，建立直線趨勢方程的模型時，要求實(shí)際觀察值與趨勢值離差的平方和必須為最小。解：設(shè)這里令整理得消去由柯西施瓦茨不等式得，故等號成立當(dāng)且僅當(dāng).又由于為時間變量，故，所以故2.4.2.3用于判斷極值是否存在例11.證明存在極小值。證明：因?yàn)榍蠖A偏導(dǎo)得因?yàn)橛煽挛魇┩叽牟坏仁降盟杂止蚀嬖跇O小值。從以上兩個例子可以看出柯西施瓦茨不等式在求方程系數(shù)和判斷極值中起了補(bǔ)充說明的作用，增強(qiáng)了預(yù)測模型的準(zhǔn)確性、科學(xué)性、嚴(yán)密性[5]。3．Cauchy-Schwarz不等式四種形式的內(nèi)在聯(lián)系3.1證明方法的相似性以上我們介紹了柯西施瓦茨不等式在實(shí)數(shù)域、維歐式空間、數(shù)學(xué)分析、概率空間四個不同分支的表現(xiàn)形式，并簡單說明了其在各個領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用，盡管這四種表現(xiàn)形式涉及到不同的數(shù)學(xué)對象，證明方法各自也呈現(xiàn)出多樣化，但是我們發(fā)現(xiàn)，這四種種形式在證明方法上都可以通過構(gòu)造二次函數(shù)或者二次不等式（本質(zhì)都是通過判別式對根的情況進(jìn)行判斷）來進(jìn)行統(tǒng)一的證明。如：在實(shí)數(shù)域中令在維歐式空間中令在微積分中令在概率空間中令從以上各式可看出都是通過構(gòu)造二次函數(shù)或二次不等式，利用判別式進(jìn)行求證。3.2內(nèi)在之間的互推性[6]從“分析”的角度：定理2.1.1定理2.3.1.1從“代數(shù)”的角度：本質(zhì)上是一致的，如：1）若在向量空間中取，定義內(nèi)積，則定理2.2.1定理2.1.12）若在空間取，定義內(nèi)積，則定理2.2.1定理2.3.1.1從“測度論”的角度：若選取離散型隨機(jī)變量則，故定理2.4.1定理2.1.1若選取連續(xù)性隨機(jī)變量則故定理2.4.1定理2.3.1.13.3四種形式的本質(zhì)是內(nèi)積在不同的（賦范）空間的表現(xiàn)形式即為柯西施瓦茨不等式在實(shí)數(shù)域和維歐式空間的表現(xiàn)形式。即為柯西施瓦茨不等式在數(shù)學(xué)分析數(shù)項(xiàng)級數(shù)上的表現(xiàn)形式。當(dāng)定義內(nèi)積其中是關(guān)于在上的連續(xù)函數(shù)，則取即為柯西施瓦茨不等式在數(shù)學(xué)分析積分學(xué)中的表現(xiàn)形式。當(dāng)定義內(nèi)積，若為隨機(jī)變量，取，則由得，即為柯西施瓦茨不等式在概率空間的表現(xiàn)形式。因此，柯西施瓦茨不等式的四種形式是內(nèi)積在不同的（賦范）空間的表現(xiàn)形式。參考文獻(xiàn)：[1]樊惲，劉宏偉,線性代數(shù)與解析幾何教程（下冊）[M].北京：科學(xué)出版社，2009.[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上冊，第三版）[M]，北京：高等出版社，2001（2009重印）[3]付英貴，關(guān)于柯西施瓦茨不等式證明[J].西南科技大學(xué)《高教研究》，2009,93（4）：8-9[4]李賢平，概率論基礎(chǔ)（第三版）[M].北京：高等出版社，2010.[5]常廣平，李林衫，劉大蓮.利用Cauchy-Schwarz不等式估計回歸系數(shù)[J]北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報，22:4(2008),77-78.[6]張千祥.柯西不等式的教學(xué)價值[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2004(2):116-118.目錄TOC\o"1-2"\h\z\u第一章總論 11.1項(xiàng)目名稱及承辦單位 11.2編制依據(jù)及原則 11.3主要建設(shè)內(nèi)容 21.4研究重點(diǎn) 31.5研究結(jié)論 31.6建議 5第二章項(xiàng)目背景與發(fā)展概況 62.1企業(yè)簡介 62.2項(xiàng)目背景 82.3項(xiàng)目的提出 122.4項(xiàng)目建設(shè)的必要性 132.5項(xiàng)目的發(fā)展概況 15第三章建設(shè)條件與廠址 163.1廠址選擇 163.2自然條件 173.3工程水文地質(zhì) 173.4社會經(jīng)濟(jì) 18第四章技術(shù)路線及方法 194.1工程技術(shù)方案 194.2污水處理工藝 354.3污水處理效果 38第五章環(huán)境保護(hù)、安全衛(wèi)生及消防 405.1執(zhí)行排放標(biāo)準(zhǔn) 405.2主要污染物和主要污染源 405.3治理措施 415.4環(huán)境監(jiān)測 415.5環(huán)保投資 425.6職業(yè)安全衛(wèi)生 425.7消防 43第六章節(jié)約能源 456.1節(jié)能要求 456.2設(shè)計原則 456.3能耗狀況和能耗指標(biāo)分析 456.4節(jié)能措施 466.5節(jié)能管理 47第七章項(xiàng)目管理與勞動定員 487.1企業(yè)組織 487.2技術(shù)管理 487.3運(yùn)行管理 497.4勞動定員 497.5人員培訓(xùn) 49第八章項(xiàng)目實(shí)施進(jìn)度建議 508.1項(xiàng)目實(shí)施進(jìn)度安排 508.2項(xiàng)目實(shí)施進(jìn)度計劃 51第九章工程招標(biāo)方案 529.1總則 529.2招標(biāo)內(nèi)容 53第十章投資估算與資金籌措