考點(diǎn)05三角函數(shù)（20種題型8個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）

考點(diǎn)05三角函數(shù)（20種題型8個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）【課程安排細(xì)目表】真題搶先刷，考向提前知二、考點(diǎn)清單三、題型方法四、易錯(cuò)分析五.刷壓軸一一、真題搶先刷，考向提前知一．選擇題（共2小題）1．（2021?上海）已知f（x）＝3sinx+2，對(duì)任意的x1∈[0，]，都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，則下列選項(xiàng)中，θ可能的值是（）A． B． C． D．【分析】由題意可知，x1∈[0，]，即sinx1∈[0，1]，可得f（x1）∈[2，5]，將存在任意的x1∈[0，]，都存在x2∈[0，]，使得f（x）＝2f（x+θ）+2成立，轉(zhuǎn)化為f（x2+θ）min≤0，，又由f（x）＝3sinx+2，可得，，再將選項(xiàng)中的值，依次代入驗(yàn)證，即可求解．【解答】解：∵x1∈[0，]，∴sinx1∈[0，1]，∴f（x1）∈[2，5]，∵都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，∴f（x2+θ）min≤0，，∵f（x）＝3sinx+2，∴，，y＝sinx在x∈上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，∴，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，∴，，故B選項(xiàng)正確，當(dāng)時(shí)，x2+θ，sin（x2+θ）max＝，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，sin（x2+θ）max＝，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問(wèn)題，需要學(xué)生有較綜合的知識(shí)，屬于中檔題．2．（2020?上海）“α＝β”是“sin2α+cos2β＝1”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】容易看出，由α＝β可得出sin2α+cos2β＝1，而反之顯然不成立，從而可得出“α＝β”是“sin2α+cos2β＝1”的充分不必要條件．【解答】解：（1）若α＝β，則sin2α+cos2β＝sin2α+cos2α＝1，∴“α＝β“是“sin2α+cos2β＝1“的充分條件；（2）若sin2α+cos2β＝1，則sin2α＝sin2β，得不出α＝β，∴“α＝β”不是“sin2α+cos2β＝1”的必要條件，∴“α＝β”是“sin2α+cos2β＝1”的充分非必要條件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分條件、必要條件和充分不必要條件的定義，sin2α+cos2α＝1，正弦函數(shù)的圖象，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共5小題）3．（2022?上海）函數(shù)f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期為π．【分析】由三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)可得f（x）＝cos2x+1，從而根據(jù)周期公式即可求值．【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x+1＝cos2x﹣sin2x+cos2x+sin2x＝2cos2x＝cos2x+1，T＝＝π．故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（2022?上海）若tanα＝3，則tan（α+）＝﹣2．【分析】由兩角和的正切公式直接求解即可．【解答】解：若tanα＝3，則tan（α+）＝＝＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和的正切公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2021?上海）已知θ＞0，存在實(shí)數(shù)φ，使得對(duì)任意n∈N*，cos（nθ+φ）＜，則θ的最小值是．【分析】在單位圓中分析可得θ＞，由∈N*，即θ＝，k∈N*，即可求得θ的最小值．【解答】解：在單位圓中分析，由題意可得nθ+φ的終邊要落在圖中陰影部分區(qū)域（其中∠AOx＝∠BOx＝），所以θ＞∠AOB＝，因?yàn)閷?duì)任意n∈N*都成立，所以∈N*，即θ＝，k∈N*，同時(shí)θ＞，所以θ的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．6．（2020?上海）已知3sin2x＝2sinx，x∈（0，π），則x＝arccos．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式，結(jié)合反三角公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵3sin2x＝2sinx，6sinxcosx＝2sinx，∵x∈（0，π），∴sinx≠0，∴cosx＝，故x＝arccos．故答案為：arccos．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用三角函數(shù)的倍角公式是解決本題的關(guān)鍵．7．（2020?上海）函數(shù)y＝tan2x的最小正周期為．【分析】根據(jù)函數(shù)y＝tanωx的周期為，求出函數(shù)y＝tan2x的最小正周期．【解答】解：函數(shù)y＝tan2x的最小正周期為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正切函數(shù)的周期性和求法，屬于基礎(chǔ)題．三．解答題（共1小題）8．（2020?上海）已知函數(shù)f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．【分析】（1）直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的值域．【解答】解：（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω＝，所以f（x）＝sin．令sin，故或，整理得或．故解集為{x|或，k∈Z}．（2）由于ω＝1，所以f（x）＝sinx．所以g（x）＝＝＝﹣＝﹣sin（2x+）．由于x∈[0，]，所以．，故，故．所以函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．二二、考點(diǎn)清單一．任意角的概念一、角的有關(guān)概念1．從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角．2．從終邊位置來(lái)看，可分為象限角與軸線角．3．若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為β＝2kπ+α（k∈Z）．【解題方法點(diǎn)撥】角的概念注意的問(wèn)題注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角．二．終邊相同的角終邊相同的角：k?360°+α（k∈Z）它是與α角的終邊相同的角，（k＝0時(shí)，就是α本身），凡是終邊相同的兩個(gè)角，則它們之差一定是360°的整數(shù)倍，應(yīng)該注意的是：兩個(gè)相等的角終邊一定相同，而有相同的終邊的兩個(gè)角則不一定相等，也就是說(shuō)，終邊相同是兩個(gè)角相等的必要條件，而不是充分條件．還應(yīng)該注意到：A＝{x|x＝k?360°+30°，k∈Z}與集合B＝{x|x＝k?360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．相應(yīng)的與x軸正方向終邊相同的角的集合是{x|x＝k?360°，k∈Z}；與x軸負(fù)方向終邊相同的角的集合是{x|x＝k?360°+180°，k∈Z}；與y軸正方向終邊相同的角的集合是{x|x＝k?360°+90°，k∈Z}；與y軸負(fù)方向終邊相同的角的集合是{x|x＝k?360°+270°，k∈Z}【解題方法點(diǎn)撥】終邊相同的角的應(yīng)用（1）利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判斷一個(gè)角β所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫(xiě)成[0，2π）范圍內(nèi)的一個(gè)角α與2π的整數(shù)倍的和，然后判斷角α的象限．（2）利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需角．三．象限角、軸線角在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角（1）象限角：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就認(rèn)為這個(gè)角是第幾象限角．（2）若角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．（3）所有與角α終邊相同的角連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α+k?360°，k∈Z}．【解題方法點(diǎn)撥】（1）注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角．（2）角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．（3）注意熟記0°～360°間特殊角的弧度表示，以方便解題．四．弧度制1弧度的角把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．規(guī)定：正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0，|α|＝，l是以角α作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，r為半徑．2．弧度制把弧度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做弧度制，比值與所取的r的大小無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．【解題方法點(diǎn)撥】角度制與弧度制不可混用角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．五．弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角大小為α（rad），半徑為r，則l＝rα，扇形的面積為S＝lr＝r2α．【解題方法點(diǎn)撥】弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算方法（1）在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷．（2）從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值．（3）記住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半徑，l是弧長(zhǎng)，α（0＜α＜2π）為圓心角，S是扇形面積．六．扇形面積公式弧長(zhǎng)、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角大小為α（rad），半徑為r，則l＝rα，扇形的面積為S＝lr＝r2α．【解題方法點(diǎn)撥】弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算方法（1）在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷．（2）從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值．（3）記住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半徑，l是弧長(zhǎng)，α（0＜α＜2π）為圓心角，S是扇形面積．七．任意角的三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)1定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝．2．幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是（1，0）．【解題方法點(diǎn)撥】利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：（1）角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x；（2）縱坐標(biāo)y；（3）該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況（點(diǎn)所在象限不同）．八．三角函數(shù)線幾何表示三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是（1，0）．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線．九．三角函數(shù)的定義域【概念】函數(shù)的定義域指的是函數(shù)在自變量x的取值范圍，通俗的說(shuō)就是使函數(shù)有意義的x的范圍．三角函數(shù)作為一類函數(shù)，也有定義域，而且略有差別．【三角函數(shù)的定義域】以下所有的k都屬于整數(shù)．①正弦函數(shù)：表達(dá)式為y＝sinx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣，2kπ+]單調(diào)遞增，其他區(qū)間單調(diào)遞減．②余弦函數(shù)：表達(dá)式為y＝cosx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣π，2kπ]單調(diào)遞增，其他區(qū)間單調(diào)遞減．③正切函數(shù)：表達(dá)式為y＝tanx；x∈（kπ﹣，kπ+），在區(qū)間單調(diào)遞增．④余切函數(shù)：表達(dá)式為y＝cotx，x∈（kπ﹣，kπ+），在區(qū)間單調(diào)遞減．⑤正割函數(shù)：表達(dá)式為y＝secx，x∈（2kπ﹣，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+），有secx?cosx＝1．⑥余割函數(shù)：表達(dá)式為y＝cscx，x∈（2kπ﹣π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π），有cscx?sinx＝1．【考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】這是一個(gè)概念，主要是熟記前面四種函數(shù)的定義域，特別是他們各自的單調(diào)區(qū)間和各自的周期，在書(shū)寫(xiě)的時(shí)候一定不要忘了補(bǔ)充k∈Z．十．三角函數(shù)值的符號(hào)三角函數(shù)值符號(hào)記憶口訣記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（為正）．即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．十一．三角函數(shù)的周期性周期性①一般地，對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．②對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．③函數(shù)y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．【解題方法點(diǎn)撥】1．一點(diǎn)提醒求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意ω的符號(hào)，只有當(dāng)ω＞0時(shí)，才能把ωx+φ看作一個(gè)整體，代入y＝sint的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤．2．兩類點(diǎn)y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五點(diǎn)是：零點(diǎn)和極值點(diǎn)（最值點(diǎn)）．3．求周期的三種方法①利用周期函數(shù)的定義．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期為，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期為．③利用圖象．圖象重復(fù)的x的長(zhǎng)度．十二．誘導(dǎo)公式【概述】三角函數(shù)作為一個(gè)類，有著很多共通的地方，在一定條件下也可以互相轉(zhuǎn)化，熟悉這些函數(shù)間的關(guān)系，對(duì)于我們解題大有裨益．【公式】①正弦函數(shù)：表達(dá)式為y＝sinx；有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函數(shù)：表達(dá)式為y＝cosx；有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函數(shù)：表達(dá)式為y＝tanx；tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（﹣x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx④余切函數(shù)：表達(dá)式為y＝cotx；cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（﹣x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．【應(yīng)用】1、公式：公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin＝cos_α，cos＝sinα．公式六：sin＝cos_α，cos＝﹣sin_α2、誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號(hào)看象限．3、在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：（1）弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．（2）和積轉(zhuǎn)換法：利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化．（3）巧用“1”的變換：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．4、注意：（1）利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)→脫周→化銳．特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定．（2）在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào)．（3）注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化．十三．運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的思路1．“負(fù)化正”，運(yùn)用公式三將任意負(fù)角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù)．2．“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數(shù)化為0°到360°的三角函數(shù)，利用公式二將大于180°的角的三角函數(shù)化為0°到180°的三角函數(shù)．3．“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數(shù)．4．“銳求值”，得到0°到90°的三角函數(shù)后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計(jì)算器求得．十四．正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1無(wú)最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ+，k∈Z對(duì)稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ，k∈Z對(duì)稱中心：（，0）（k∈Z）無(wú)對(duì)稱軸周期2π2ππ十五．正弦函數(shù)的單調(diào)性三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx+φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．十六．正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性【正弦函數(shù)的對(duì)稱性】正弦函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，既然是奇函數(shù)，那么其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函數(shù)具有周期性，其對(duì)稱軸為x＝kπ+，k∈z．十七．余弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（k∈Z）；遞減區(qū)間：（k∈Z）遞增區(qū)間：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；遞減區(qū)間：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）遞增區(qū)間：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1無(wú)最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ+，k∈Z對(duì)稱中心：（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ，k∈Z對(duì)稱中心：（k∈Z）無(wú)對(duì)稱軸周期2π2ππ十八．余弦函數(shù)的單調(diào)性三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx+φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．十九．正切函數(shù)的圖象正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；遞減區(qū)間：[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）遞增區(qū)間：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；遞減區(qū)間：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）遞增區(qū)間：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1無(wú)最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ+，k∈Z對(duì)稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ，k∈Z對(duì)稱中心：（，0）（k∈Z）無(wú)對(duì)稱軸周期2π2ππ二十．正切函數(shù)的單調(diào)性和周期性三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx+φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．【正切函數(shù)的周期性】正切函數(shù)y＝tanx的最小正周期為π，即tan（kπ+x）＝tanx．二十一．正切函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性1．判斷三角函數(shù)的奇偶性和周期性時(shí)，一般先將三角函數(shù)式化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念、三角函數(shù)奇偶性規(guī)律、三角函數(shù)的周期公式求解．2．求三角函數(shù)的周期主要有三種方法：（1）周期定義；（2）利用正（余）弦型函數(shù)周期公式；（3）借助函數(shù)的圖象．二十二．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟兩種變換的差異先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個(gè)單位．原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言的．【解題方法點(diǎn)撥】1．一個(gè)技巧列表技巧：表中“五點(diǎn)”中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為，利用這一結(jié)論可以較快地寫(xiě)出“五點(diǎn)”的坐標(biāo)．2．兩個(gè)區(qū)別（1）振幅A與函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．（2）由y＝sinx變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sinx的圖象變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個(gè)單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值．3．三點(diǎn)提醒（1）要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象；（2）要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；（3）由y＝Asinωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|φ|．二十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式根據(jù)圖象確定解析式的方法：在由圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)，若最大值為M，最小值為m，則A＝，k＝，ω由周期T確定，即由＝T求出，φ由特殊點(diǎn)確定．二十四．三角函數(shù)的最值【三角函數(shù)的最值】三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡(jiǎn)和換元．化簡(jiǎn)的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的一元函數(shù)．二十五．同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：＝tanα．2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．【解題方法點(diǎn)撥】誘導(dǎo)公式記憶口訣：對(duì)于角“±α”（k∈Z）的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”．“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”．二十六．兩角和與差的三角函數(shù)（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．二十七．二倍角的三角函數(shù)【二倍角的三角函數(shù)】二倍角的正弦其實(shí)屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實(shí)屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實(shí)屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α＝．對(duì)于這個(gè)公式要求是能夠正確的運(yùn)用其求值化簡(jiǎn)即可．二十八．半角的三角函數(shù)【半角的三角函數(shù)】半角的三角函數(shù)關(guān)系主要是指正切函數(shù)與正余弦函數(shù)之間的關(guān)系（正余弦的半角關(guān)系其實(shí)就是二倍角關(guān)系），其公式為：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．二十九．三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值【概述】三角函數(shù)的恒等變化主要是指自變量x數(shù)值比較大時(shí)，如何轉(zhuǎn)化成我們常見(jiàn)的數(shù)值比較小的而且相等的三角函數(shù)，主要的方法就是運(yùn)用它們的周期性．【公式】①正弦函數(shù)有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函數(shù)有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函數(shù)有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，④余切函數(shù)有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．三十．三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：＝tanα．2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．三十一．三角函數(shù)應(yīng)用1．三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用：1）在生活中的應(yīng)用；2）；在建筑學(xué)中的應(yīng)用；3）在航海中的應(yīng)用；4）在物理學(xué)中的應(yīng)用．2．解三角函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：（1）閱讀理解材料：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言；（2）建立變量關(guān)系：抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立變量關(guān)系；（3）討論變量性質(zhì)：根據(jù)函數(shù)性質(zhì)討論變量性質(zhì)；（4）作出結(jié)論．【解題方法點(diǎn)撥】1、方法與技巧：（1）在生產(chǎn)生活中，常常有一些與角有關(guān)的最值問(wèn)題，需要確定以角作為變量的三角函數(shù)來(lái)解決．（2）理清題意，分清題目中已知和所求，準(zhǔn)確解讀題目中的術(shù)語(yǔ)和有關(guān)名詞．（3）要能根據(jù)題意，畫(huà)出符合題意的圖形．（4）對(duì)計(jì)算結(jié)果，可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行處理．2、注意：（1）建立三角函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)慕亲鳛樽兞浚?）解決應(yīng)用問(wèn)題要注重檢驗(yàn)．（3）選擇變量后，要根據(jù)題中的條件，確定角的范圍．三十二．解三角形1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關(guān)于三角形面積問(wèn)題①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinA＝sinB＝sinC＝三三、題型方法一．弧度制（共1小題）1．（2023?青浦區(qū)二模）已知函數(shù)的圖像繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ（0≤θ≤π）弧度，若得到的圖像仍是函數(shù)圖像，則θ可取值的集合為[0，]∪[，π]．【分析】畫(huà)出函數(shù)f（x）＝，﹣≤x≤的圖象，利用圖象繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，根據(jù)函數(shù)的定義即可得出θ的取值集合．【解答】解：畫(huà)出函數(shù)f（x）＝，﹣≤x≤的圖象，如圖1所示：圓弧所在圓的方程為x2+y2＝1，A（﹣，），B（，），在圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)A從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到（﹣1，0）點(diǎn)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知，這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程所得的圖形均為函數(shù)的圖象，如圖2所示：此時(shí)繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)弧度為0≤θ≤，若函數(shù)圖象在圖2位置繞著原點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方，點(diǎn)A在x軸上方時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知，所得圖形不是函數(shù)的圖象，如圖3所示：此時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為＜θ＜，不滿足題意；若函數(shù)圖象在圖3位置繞著原點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)整個(gè)圖象都在x軸下方時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知，所得圖形是函數(shù)的圖象，如圖4所示：此時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為≤θ≤π；綜上知，θ的可取值集合為[0，]∪[，π]．故答案為：[0，]∪[，π]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的定義與圖象旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合應(yīng)用問(wèn)題，屬于難題．二．扇形面積公式（共3小題）2．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）已知扇形圓心角α＝60°，α所對(duì)的弧長(zhǎng)l＝6π，則該扇形面積為54π．【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式以及扇形面積公式即可求解．【解答】解：由弧長(zhǎng)公式可得，所以扇形面積為．故答案為：54π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）已知一個(gè)半徑為4的扇形圓心角為θ（0＜θ＜2π），面積為2π，若tan（θ+φ）＝3，則tanφ＝．【分析】由扇形面積公式先求θ，再根據(jù)兩角和差的正切公式求得結(jié)果．【解答】解：已知扇形半徑為r＝4，圓心角為θ，∵扇形面積，∴，∴，解得：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形的面積公式，考查了兩角和的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?奉賢區(qū)校級(jí)模擬）中國(guó)扇文化有著深厚的文化底蘊(yùn)，文人雅士喜在扇面上寫(xiě)字作畫(huà)．如圖，是書(shū)畫(huà)家唐寅（1470﹣1523）的一幅書(shū)法扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為704cm2．【分析】設(shè)∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由題意可得：，解得r，進(jìn)而根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由題意可得：，解得：r＝，所以，S扇面＝S扇形OCD﹣S扇形OAB＝×64×（+16）﹣×24×＝704cm2．故答案為：704．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查扇形的面積，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．三．任意角的三角函數(shù)的定義（共5小題）5．（2023?徐匯區(qū)二模）若角α的終邊過(guò)點(diǎn)P（4，﹣3），則＝﹣．【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：＝﹣sin（+α）＝﹣cosα，∵角α的終邊過(guò)點(diǎn)P（4，﹣3），∴cosα＝＝，則＝﹣cosα＝﹣，故答案為：﹣【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．6．（2023?浦東新區(qū)校級(jí)三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），則sinα＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：角α以O(shè)x為始邊，其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），則sinα＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023?普陀區(qū)校級(jí)三模）已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P（﹣1，2），則tanα的值為﹣2．【分析】由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義，可得結(jié)論．【解答】解：∵角α的終邊過(guò)點(diǎn)P（﹣1，2），∴tanα＝＝﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023?楊浦區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（，）在以原點(diǎn)O為圓心半徑等1的圓上，將射線OA繞原點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α后交該圓于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為f（α），縱坐標(biāo)g（α）．（1）如果sinα＝m，0＜m＜1，求f（α）+g（α）的值（用m表示）；（2）如果，求f（α）?g（α）的值．【分析】（1）由已知結(jié)合三角函數(shù)定義可求f（α），g（α），然后結(jié)合和差角公式展開(kāi)后，結(jié)合同角平方關(guān)系可求；（2）由已知結(jié)合和差角公式展開(kāi)化簡(jiǎn)，然后結(jié)合二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，代入可求．【解答】解：（1）由題意得，f（α）＝cos（），g（α）＝sin（），若sinα＝m，0＜m＜1，則f（α）+g（α）＝（cosα﹣sinα）+（cosα+sinα）＝cosα＝；（2）由得cos（）＝2sin（），整理得，cosα＝﹣3sinα，則f（α）?g（α）＝cos（）?sin（）＝sin（2）＝cos2α＝＝×＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)定義，還考查了和差角公式，二倍角公式在求解三角函數(shù)值中的應(yīng)用，屬于中檔題．9．（2023?楊浦區(qū)校級(jí)三模）已知α是第二象限角，P（x，）為其終邊上一點(diǎn)，且，則x的值是．【分析】利用余弦函數(shù)的定義，建立方程，結(jié)合α是第二象限角，可求x的值．【解答】解：由題意，，∴cosα＝＝∴x2＝3∵α是第二象限角，∴x＝故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．四．三角函數(shù)的周期性（共8小題）10．（2023?嘉定區(qū)二模）函數(shù)y＝sin2x的最小正周期是π．【分析】由條件根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的周期為，可得結(jié)論．【解答】解：函數(shù)y＝sin2x的最小正周期是＝π，故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的周期為，屬于基礎(chǔ)題．11．（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且，則ω＝（）A． B． C． D．【分析】由最小正周期可得2＜ω＜4，再由即可得，即可求得．【解答】解：根據(jù)最小正周期，可得，解得2＜ω＜4；又，即是函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱軸，所以，k∈Z，解得，又2＜ω＜4，當(dāng)k＝1時(shí)，．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023?黃浦區(qū)二模）函數(shù)y＝4cos2x+3的最小正周期為π．【分析】直接利用三角函數(shù)的周期公式求解．【解答】解：函數(shù)y＝4cos2x+3的最小正周期T＝＝π．故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的周期公式，屬于基礎(chǔ)題．13．（2023?上海模擬）函數(shù)y＝sin2（πx）的最小正周期為1．【分析】由二倍角化簡(jiǎn)得y＝﹣cos2πx+，再由周期公式計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)閥＝sin2（πx）＝＝﹣cos2πx+，所以T＝＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角的余弦公式的逆用、三角函數(shù)的周期公式，屬于基礎(chǔ)題．14．（2023?奉賢區(qū)二模）下列函數(shù)中，以π為最小正周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是（）A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝|cosx| D．f（x）＝|sinx|【分析】由題意利用三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，得出結(jié)論．【解答】解：由于f（x）＝|cos2x|的周期為?＝，故A不滿足條件；由于f（x）＝|sin2x|的周期為?＝，故B不滿足條件；由于f（x）＝|cosx|的最小正周期為?2π＝π，在區(qū)間上，f（x）＝|cosx|＝﹣cosx單調(diào)遞增，故C滿足條件；由于f（x）＝|sinx|的最小正周期為?2π＝π，在區(qū)間上，f（x）＝sinx單調(diào)遞減，故D不滿足條件，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．15．（2023?松江區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)y＝sin（2ωx+φ），（ω＞0）的最小正周期為1，則ω＝π．【分析】根據(jù)三角函數(shù)周期的定義和性質(zhì)求解．【解答】解：，依題意T＝1，∴ω＝π；故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．16．（2023?寶山區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，則函數(shù)f（x）的最小正周期是π．【分析】由題意利用二倍角公式以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）＝2sin（2x+）+，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的周期性即可求解．【解答】解：因?yàn)椋絪in2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，所以函數(shù)f（x）的最小正周期T＝＝π．故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角公式以及兩角和的正弦公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的周期性，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．17．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）（1）求簡(jiǎn)諧振動(dòng)y＝sinx+cosx的振幅、周期和初相位φ（φ∈[0，2π））；（2）若函數(shù)在區(qū)間（0，m）上有唯一的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)a＞0，f（x）＝sinax﹣asinx，若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（0，π）上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)已知條件，先對(duì)函數(shù)y化簡(jiǎn)，再結(jié)合振幅、周期、初相的定義，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合換元法，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（3）根據(jù)已知條件，先對(duì)f（x）求導(dǎo)，再對(duì)a分類討論，即可求解．【解答】解：（1），所以振幅為，周期為2π，初相為．（2），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，y取得極大值，由題意，方程在區(qū)間（0，m）上有唯一解，所以，得，故m的取值范圍為；（3）f'（x）＝acosax﹣acosx，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，因?yàn)?＜x＜π，所以0＜ax＜x＜π，進(jìn)而cosax＞cosx，f'（x）＝a（cosax﹣cosx）＞0，此時(shí)，y＝f（x）在區(qū)間（0，π）上是嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝0，不是嚴(yán)格增函數(shù)；當(dāng)a＞1時(shí)，設(shè)，則0＜x＜ax＜π，進(jìn)而cosx＞cosax，f'（x）＜0，此時(shí)，y＝f（x）在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，綜上，若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（0，π）上是嚴(yán)格增函數(shù)，則0＜a＜1，故a的取值范圍為（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及三角函數(shù)的周期性，屬于中檔題．五．運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值（共1小題）18．（2023?奉賢區(qū)校級(jí)三模）已知，則＝．【分析】原式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，將sinα的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵sinα＝，∴cos（+α）＝﹣sinα＝﹣．故答案為：﹣【點(diǎn)評(píng)】此題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．六．正弦函數(shù)的圖象（共3小題）19．（2023?青浦區(qū)校級(jí)模擬）已知f（x）＝sin2x，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法：①f（x）的最小正周期為2π；②f（x）在[﹣，]上單調(diào)遞增；③當(dāng)x∈[，]時(shí)，f（x）的取值范圍為[﹣，]；④f（x）的圖象可由g（x）＝sin（2x+）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．以上四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：對(duì)于f（x）＝sin2x，它的最小正周期為＝π，故①錯(cuò)誤；在[﹣，]，2x∈[﹣，]，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故②正確；當(dāng)x∈[，]時(shí)，2x∈[﹣，]，f（x）的取值范圍為[﹣，]，故③錯(cuò)誤；f（x）的圖象可由g（x）＝sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故④錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．20．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，求得ω的取值范圍．【解答】解：當(dāng)ω＜0時(shí)，不能滿足在區(qū)間（0，π）極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，所以ω＞0；函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，ωx+∈（，ωπ+），∴＜ωπ+≤3π，求得＜ω≤，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，屬于中檔題．21．（2023?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，其中ω＞0，若f（x）在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（，]．【分析】由題意，根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，可得2π＜﹣≤3π，由此求得ω的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)，其中ω＞0，若f（x）在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，ωx﹣∈（﹣，﹣），∴2π＜﹣≤3π，求得＜ω≤，則ω的取值范圍為（，]．故答案為：（，]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．七．正弦函數(shù)的單調(diào)性（共5小題）22．（2023?奉賢區(qū)校級(jí)模擬）已知w＞0，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則w的取值范圍是（）A． B．（0，2] C． D．【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，然后根據(jù)條件給出的區(qū)間建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：由，得，k∈Z，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，令k＝0，則函數(shù)f（x）其中一個(gè)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則滿足，得，所以w的取值范圍是．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．23．（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知在上是嚴(yán)格增函數(shù)，且該函數(shù)在上有最小值，那么φ的取值范圍是．【分析】根據(jù)條件，結(jié)合y＝sinx的圖像與性質(zhì)即可求出結(jié)果．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)樵谏鲜菄?yán)格增函數(shù)，所以且，即，k∈Z，又，取k＝0，得到，當(dāng)時(shí)，，又，所以，又該函數(shù)在上有最小值，所以，得到，綜上所述，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．24．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知．（1）求方程f（x）＝0的解集；（2）求函數(shù)y＝f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間．【分析】（1）由題意，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)求得x值．（2）由題意，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)y＝f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間．【解答】解：（1）∵＝sin2x+cos2x﹣sin2x＝sin（2x+），∴方程f（x）＝0，即sin（2x+）＝0，∴2x+＝kπ，k∈Z，求得x＝﹣，k∈Z，故方程f（x）＝0的解集為{x|x＝﹣，k∈Z}．（2）對(duì)于f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．再結(jié)合x(chóng)∈[0，π]，可得函數(shù)y＝f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間為[0，]、[，π]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．25．（2023?黃浦區(qū)模擬）設(shè)a∈R，f（x）＝sin2x+acosx．（1）是否存在a使得y＝f（x）為奇函數(shù)？說(shuō)明理由；（2）當(dāng)a＜﹣4時(shí)，求證：函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．【分析】（1）運(yùn)用函數(shù)的奇偶性的定義，即可求出a的值，進(jìn)而說(shuō)明存在；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，y＝f′（x）在上大于0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明．【解答】解：（1）若f（x）＝sin2x+acosx為奇函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即﹣sin2x+acosx＝﹣（sin2x+acosx），∴2acosx＝0，∴a＝0，則當(dāng)a＝0時(shí)，y＝f（x）為奇函數(shù)；（2）證明：∵f（x）＝sin2x+acosx，∴f'（x）＝2cos2x﹣asinx＝2（1﹣2sin2x）﹣asinx＝﹣4sin2x﹣asinx+2，設(shè)t＝sinx（0＜t＜1），∴f'（x）＝﹣4t2﹣at+2，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，∵a＜﹣4，∴，則f'（x）＞f'（0）＝2，則當(dāng)a＜﹣4時(shí)，函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．26．（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)f（x）＝sinxcosx﹣sin2x，x∈R．（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，]上遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)Q（x1，y1）對(duì)稱，且x1∈[﹣]，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）根據(jù)對(duì)稱問(wèn)題，x1∈[﹣]，求解范圍，結(jié)合圖象即可確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinxcosx﹣sin2x＝sin2x+cos2x﹣＝sin（2x+）﹣令，得上是單調(diào)遞增；∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，]上遞增，∴即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，）；（2）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)Q（x1，y1）對(duì)稱，且x1∈[﹣]，則2x+∈[，]Q在函數(shù)圖象上，且是一個(gè)零點(diǎn)．可得2x+＝0，即x＝﹣∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，圖象關(guān)于點(diǎn)Q（x1，y1）對(duì)稱，Q在函數(shù)圖象上，是一個(gè)零點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．八．正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性（共1小題）27．（2023?浦東新區(qū)模擬）設(shè)（其中），若點(diǎn)為函數(shù)y＝f（x）圖像的對(duì)稱中心，B，C是圖像上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，且|BC|＝4，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)y＝f（x）的對(duì)稱軸方程為 B．函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 C．函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（0，2）上是嚴(yán)格增函數(shù) D．若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（0，m）內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)，則它在此區(qū)間內(nèi)有且有2個(gè)極小值點(diǎn)【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：∵（其中），B，C是圖像上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，且|BC|＝＝4，∴ω＝．∵點(diǎn)為函數(shù)y＝f（x）圖像的對(duì)稱中心，∴×+φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝﹣，f（x）＝sin（x﹣）．令x﹣＝kπ+，k∈Z，求得x＝2k+，k∈Z，可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為x＝2k+，k∈Z，故A錯(cuò)誤；由于函數(shù)＝sin（x﹣﹣）不是奇函數(shù)，故它的圖像不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)x∈（0，2），x﹣∈（﹣，），函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（0，2）上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（0，m）內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)，x﹣∈（﹣，﹣），則4π＜﹣≤5π，故它在此區(qū)間內(nèi)有且有2個(gè)極小值點(diǎn)，故D正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．九．余弦函數(shù)的圖象（共1小題）28．（2023?楊浦區(qū)二模）若存在實(shí)數(shù)φ，使函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）﹣在x∈[π，3π]上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍為[，）．【分析】利用y＝cosx的圖像與性質(zhì)，直接求出函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，再利用題設(shè)條件建立不等關(guān)系且，從而求出結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?，由f（x）＝0，得到，所以或，所以，又因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)φ，使函數(shù)f（x）在x∈[π，3π]上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，所以，即且，解得．故答案為：[，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．一十．余弦函數(shù)的單調(diào)性（共1小題）29．（2023?楊浦區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)y＝2cosx的嚴(yán)格減區(qū)間為（2kπ，π+2kπ），k∈Z．【分析】根據(jù)余弦函數(shù)嚴(yán)格減區(qū)間定義即可得出答案．【解答】解：因?yàn)閥＝2cosx的單調(diào)減區(qū)間為[2kπ，π+2kπ]，k∈Z，所以y＝2cosx的嚴(yán)格減區(qū)間為（2kπ，π+2kπ），k∈Z．故答案為：（2kπ，π+2kπ），k∈Z．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的求解，屬于基礎(chǔ)題．一十一．正切函數(shù)的圖象（共1小題）30．（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)y＝tan（x﹣）的部分圖象如圖所示，則（+）?＝6．【分析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出向量、和的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：由圖象得，令＝0，即，k＝0時(shí)解得x＝2，令＝1，即，解得x＝3，∴A（2，0），B（3，1），∴＝（2，0），＝（3，1），＝（1，1），∴＝（5，1）?（1，1）＝5+1＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正切函數(shù)的圖象和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)圖象求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果．一十二．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換（共4小題）31．（2023?楊浦區(qū)校級(jí)三模）將函數(shù)的圖像上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再沿著x軸向右平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心可以是（）A． B． C． D．【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖像變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖像的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)的圖像上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得y＝sin（2x+）的圖像，再沿著x軸向右平移個(gè)單位，可得y＝sin2x的圖像．令2x＝kπ，k∈Z，求得x＝，故y＝sin2x的圖像的對(duì)稱中心為（，0），k∈Z，則得到的函數(shù)的圖像一個(gè)對(duì)稱中心可以（，0），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖像變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖像的對(duì)稱性，屬于中檔題．32．（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知，函數(shù)y＝f（x），x∈R的最小正周期為π，將y＝f（x）的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的值是．【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：∵，函數(shù)y＝f（x），x∈R的最小正周期為＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+）．將y＝f（x）的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y＝sin（2x+2φ+）的圖像，根據(jù)所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，可得2φ+＝kπ+，k∈Z，則令k＝0，可得φ的值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．33．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）將函數(shù)f（x）＝2sin2x的圖象向右平移φ（0＜φ＜π）個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若對(duì)滿足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1、x2，有|x1﹣x2|的最小值為，則φ＝或．【分析】先求解g（x）的解析式，根據(jù)|f（x1）﹣g（x2）|＝4可知一個(gè)取得最大值一個(gè)是最小值，不妨設(shè)f（x1）取得最大值，g（x2）取得最小值，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)|x1﹣x2|的最小值為，即可求解φ的值；【解答】解：由函數(shù)f（x）＝2sin2x的圖象向右平移φ，可得g（x）＝2sin（2x﹣2φ）不妨設(shè)f（x1）取得最大值，g（x2）取得最小值，∴2x1＝+2kπ，2x2﹣2φ＝+2kπ，k∈Z．可得2（x1﹣x2）+2φ＝π∵|x1﹣x2|的最小值為，即x1﹣x2＝±．∴+2φ＝π得φ＝或故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的解析式，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．34．（2023?黃浦區(qū)二模）若函數(shù)y＝f（x）的圖像可由函數(shù)的圖像向右平移φ（0＜φ＜π）個(gè)單位所得到，且函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則φ＝．【分析】首先利用函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．【解答】解：由于函數(shù)y＝f（x）的圖像，由函數(shù)＝2（sin2x﹣cos2x）＝2sin（2x﹣）的圖像向右平移φ（0＜φ＜π）個(gè)單位所得到，所以f（x）＝2sin（2x﹣2φ﹣）．由于函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，2x﹣2φ﹣∈[﹣2φ﹣，π﹣2φ﹣]，所以，（k∈Z），即，（k∈Z），故，（k∈Z），由于0＜φ＜π，故φ＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的關(guān)系式的變換正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．一十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式（共2小題）35．（2023?浦東新區(qū)校級(jí)三模）函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的部分取值如表：xf（x）a1a﹣a﹣1則a＝．【分析】根據(jù)條件先求出函數(shù)的周期和解析式，然后直接代入求a即可．【解答】解：由表格知＝﹣＝＝，即T＝π，即，得ω＝2，則f（x）＝sin（2x+φ），由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得2×+φ＝，得φ＝＝，則f（x）＝sin（2x+），則a＝f（）＝sin（2×+）＝sin（+）＝cos＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)解析式的應(yīng)用，利用五點(diǎn)法建立方程進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．36．（2023?嘉定區(qū)模擬）已知A∈R，實(shí)數(shù)ω＞0，，函數(shù)y＝f（x）的部分圖像如圖所示，若該函數(shù)的最小正零點(diǎn)是，則ω＝2．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到A＝2，再根據(jù)該函數(shù)的最小正零點(diǎn)是，由求解．【解答】解：由圖象知：A＝2，因?yàn)樵摵瘮?shù)的最小正零點(diǎn)是，所以，則，即ω＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．一十四．三角函數(shù)的最值（共6小題）37．（2023?金山區(qū)二模）若函數(shù)（常數(shù)ω＞0）在區(qū)間（0，π）沒(méi)有最值，則ω的取值范圍是（0，]．【分析】先求得ωx﹣的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得解．【解答】解：由x∈（0，π）知，ωx﹣∈（﹣，ωπ﹣），因?yàn)楹瘮?shù)y在區(qū)間（0，π）沒(méi)有最值，所以﹣＜ωπ﹣≤，解得0＜ω≤，即ω的取值范圍是（0，]．故答案為：（0，]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．38．（2023?閔行區(qū)校級(jí)二模）若函數(shù)f（x）＝sin（x+φ）+cosx的最小值為﹣2，則常數(shù)φ的一個(gè)取值為（答案不唯一）．【分析】根據(jù)題意，由三角恒等變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后由函數(shù)的最小值為﹣2，列出方程，即可得到結(jié)果．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝sin（x+φ）+cosx＝sinxcosφ+cosxsinφ+cosx＝，其中，，且，即cos2φ+1+sin2φ+2sinφ＝4，即2+2sinφ＝4，所以sinφ＝1，則，k∈Z．當(dāng)k＝0時(shí)，，即φ的一個(gè)取值為．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．39．（2023?松江區(qū)二模）已知，則的最小值為9．【分析】利用“1”的代換求的最小值即可．【解答】解：＝（）（sin2x+cos2x）＝5++≥5+2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，又sin2x+cos2x＝1，，即sinx＝，cosx＝時(shí)取等號(hào)，則的最小值為9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式，考查三角函數(shù)同角關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．40．（2023?嘉定區(qū)校級(jí)三模）函數(shù)f（x）＝sin2x﹣cos2x，的值域是．【分析】數(shù)f（x）＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，由，可得2x∈，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：數(shù)f（x）＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∵，∴2x∈．∴cos2x∈．∴f（x）∈．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、倍角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．41．（2023?楊浦區(qū)校級(jí)模擬）已知x，y∈R，則表達(dá)式cos2x+cos2y﹣cos（xy）（）A．既有最大值，也有最小值 B．有最大值，無(wú)最小值 C．無(wú)最大值，有最小值 D．既無(wú)最大值，也無(wú)最小值【分析】結(jié)合余弦函數(shù)，可分別得到cos2x，cos2y，cos（xy）的范圍，再確定端點(diǎn)值是否可以同時(shí)取等，即可判斷．【解答】解：由cos2x，cos2y∈[0，1]，cos（xy）∈[﹣1，1]，易知cos2x+cos2y﹣cos（xy）∈[﹣1，3]．同時(shí)，由于π是無(wú)理數(shù)，因此當(dāng)cosx＝cosy＝0時(shí)，cos（xy）≠1；當(dāng)cos2x＝cos2y＝1時(shí)，cos（xy）≠0，故兩端均不能取得等號(hào)．補(bǔ)充證明：二元表達(dá)式cos2x+cos2y﹣cos（xy）（x，y∈R）可以取到任意接近﹣1和3的值，從而該式無(wú)最值．①取x＝π，y＝nπ（n∈N*），則cos2x+cos2y﹣cos（xy）＝2﹣cos（nπ2）．對(duì)任意ε＞0，由抽屜原理，存在N∈N*，使得．再考慮k∈N*，使得kδ＜1＜kδ+δ（由π的無(wú)理性，兩頭都不取等）．則n＝kN時(shí)，，從而cos（kNπ2）∈（﹣1，﹣cosδπ），cos2x+cos2y﹣cos（xy）∈（2+cosδπ，3），即證．②取，（n∈N*），則．對(duì)任意ε＞0，由抽屜原理，存在N∈N*，使得．再考慮k∈Z，使得（不取等的理由同上）．則n＝kN時(shí)，，從而，cos2x+cos2y﹣cos（xy）∈（﹣1，﹣cosδπ），即證．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的最值求解，cos2x，cos2y，cos（xy）均有最值，但三者加和后，需確定能否同時(shí)取得最值，屬于中檔題．42．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求f（x）在上的最大值與最小值．【分析】（1）先利用降冪公式、輔助角公式，將f（x）化為Asin（ωx+φ）的形式，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）利用換元的想法，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由已知得f（x）＝sin2x﹣＝，要求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，只需，k∈Z，解得≤x≤+kπ，k∈Z，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[，+kπ]，k∈Z；（2）由x∈得∈[，]，結(jié)合y＝sinx在上單調(diào)遞減，在[]上單調(diào)遞增，且，sin＝，故≤，所以f（x）在上的最大值與最小值分別為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的降冪公式和輔助角公式，同時(shí)考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，屬于中檔題．一十五．同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系（共3小題）43．（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）“sinα＝0”是“cosα＝1”的（）條件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【分析】可看出sinα＝0時(shí)，cosα＝±1；而cosα＝1時(shí)，sinα＝0，從而可得出正確的選項(xiàng)．【解答】解：sinα＝0時(shí)，α＝kπ，k∈Z，得出cosα＝±1，∴sinα＝0得不出cosα＝1，即sinα＝0不是cosα＝1的充分條件；cosα＝1時(shí)，α＝2kπ，k∈Z，得出sinα＝0，∴sinα＝0是cosα＝1的必要條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分條件和必要條件的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．44．（2023?靜安區(qū)二模）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，則cosα＝﹣．【分析】利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)已知等式可得3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解方程即可求解cosα的值．【解答】解：因?yàn)?cos2α﹣8cosα＝5，所以3（2cos2α﹣1）﹣8cosα＝5，整理可得3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝﹣或2（舍去）．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角的余弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．45．（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），則tan2θ＝．【分析】由已知等式化簡(jiǎn)可得sinθ（2cosθ+1）＝0，結(jié)合范圍θ∈（，π），解得cosθ＝﹣，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanθ，利用二倍角的正切函數(shù)公式可求tan2θ的值．【解答】解：∵sin2θ+sinθ＝0，?2sinθcosθ+sinθ＝0，?sinθ（2cosθ+1）＝0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1＝0，解得：cosθ＝﹣，∴tanθ＝﹣＝﹣，∴tan2θ＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正切函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．一十六．兩角和與差的三角函數(shù)（共5小題）46．（2023?虹口區(qū)二模）已知x是第二象限的角，且，則＝．【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系式，求得tanx＝﹣，再利用兩角和的正切公式，即可得解．【解答】解：由，知sinx＝，因?yàn)閤是第二象限的角，所以cosx＝﹣＝﹣，所以tanx＝＝﹣，所以＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系式，兩角和的正切公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．47．（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊記作a、b、c．已知，，則B﹣C＝．【分析】利用正弦的和角公式以及正弦定理化簡(jiǎn)已知關(guān)系式可得sin（B﹣C）＝1，再根據(jù)B﹣C的范圍即可求解．【解答】解：因?yàn)閎sin（）﹣csin（）＝a，則b×﹣c×（sinB+cosB）＝a，由正弦定理可得：sinBsinC+sinBcosC﹣sinCsinB﹣sinCcosB＝sinA，化簡(jiǎn)可得：sin（B﹣C）＝，因?yàn)锳＝，所以﹣，所以B﹣C＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用，涉及到正弦定理，屬于基礎(chǔ)題．48．（2023?松江區(qū)模擬）已知函數(shù)，且，則α+β＝．【分析】利用正弦函數(shù)的的對(duì)稱性可得，由此求得α+β的值．【解答】解：∵函數(shù)，∴，∵（α≠β），則由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可得，所以，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．49．（2023?普陀區(qū)校級(jí)三模）設(shè)函數(shù)，其中0＜ω＜2．（1）若f（x）的最小正周期為π，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）圖像在上存在對(duì)稱軸，求ω的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)最小正周期公式算出ω，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）利用正弦函數(shù)y＝sinx的對(duì)稱軸公式求參數(shù)的范圍．【解答】解；（1）由題意，，又0＜ω＜2，于是，則ω＝1，則，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令，解得，k∈Z，即為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）當(dāng)，，注意到題干0＜ω＜2，則，根據(jù)正弦函數(shù)y＝sinx的對(duì)稱軸，顯然只有k＝0時(shí)一條對(duì)稱軸，于是，解得，結(jié)合0＜ω＜2可得，故ω的取值范圍為{ω|}．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．50．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）如圖，某市準(zhǔn)備在道路EF的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC．該曲線段是函數(shù)y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]時(shí)的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為B（﹣1，2），賽道的中間部分為長(zhǎng)千米的直線跑道CD，且CD∥EF；賽道的后一部分是以O(shè)為圓心的一段圓?。?）求ω的值和∠DOE的大小；（2）若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個(gè)頂點(diǎn)在半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)的位置．【分析】（1）首先根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式，進(jìn)一步求出結(jié)果．（2）利用（1）的結(jié)論，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用．【解答】解：（1）由條件，得A＝2，．∵，∴．∴曲線段FBC的解析式為：．∴當(dāng)x＝0時(shí)，．又CD＝，∴．（2）由（1）知．當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)，點(diǎn)P在弧DE上，故．設(shè)∠POE＝θ，，“矩形草坪”的面積為：＝．∵，故，，S取得最大值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦型函數(shù)的解析式，函數(shù)解析式的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．一十七．二倍角的三角函數(shù)（共4小題）51