高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例篇 等差數(shù)列的前n項和

146等差數(shù)列的前n項和教材分析等差數(shù)列的前ｎ項和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是數(shù)列研究的根本問題．在現(xiàn)實生活中，等差數(shù)列的求和是經(jīng)常遇到的一類問題．等差數(shù)列的求和公式，為我們求等差數(shù)列的前ｎ項和提供了一種重要方法．教材首先通過具體的事例，探索歸納出等差數(shù)列前ｎ項和的求法，接著推廣到一般情況，推導(dǎo)出等差數(shù)列的前ｎ項和公式．為深化對公式的理解，通過對具體例子的研究，弄清等差數(shù)列的前ｎ項和與等差數(shù)列的項、項數(shù)、公差之間的關(guān)系，并能熟練地運用等差數(shù)列的前ｎ項和公式解決問題．這節(jié)內(nèi)容重點是探索掌握等差數(shù)列的前ｎ項和公式，并能應(yīng)用公式解決一些實際問題，難點是前ｎ項和公式推導(dǎo)思路的形成．教學(xué)目標(biāo)1.通過等差數(shù)列前ｎ項和公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生、形成的過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力．2.理解和掌握等差數(shù)列的前ｎ項和公式，體會等差數(shù)列的前ｎ項和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系，并能用公式解決一些實際問題，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力．3.在研究公式的形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力和科學(xué)的思維方法．任務(wù)分析開這節(jié)籍內(nèi)容虧主要良涉及冠等差媽數(shù)列不的前萬ｎ項金公式版及其承應(yīng)用東．諒對公蠻式的蠢推導(dǎo)這，為駐便于孔學(xué)生豪理解微，采宮取從贈特殊餃到一鉆般的拒研究爬方法腫比擬森適宜用，如箏從歷拘史上顛有名蹲的求攜和例少子1分＋2廣＋3暈＋…灶…＋拋10豆0的壩高斯龜算法煎出發(fā)口，一外方面式引發(fā)僵學(xué)生蝦對等菜差數(shù)焰列求先和問康題的謹(jǐn)興趣升，另毯一方饞面引酬導(dǎo)學(xué)定生發(fā)寶現(xiàn)等煉差數(shù)糧列中議任意尤的第捐ｋ項圖與倒朵數(shù)第確ｋ項雄的和界等于顛首項近與末拒項的被和這掌個規(guī)晉律，棉進(jìn)而臥發(fā)現(xiàn)哄求等脆差數(shù)最列前暮ｎ項繼和的買一般屬方法塑，這述樣自行然地旅過渡脾到一美般等鞠差數(shù)碎列的貸求和舅問題匹．對遇等差戶數(shù)列醫(yī)的求螞和公脖式，摔要引蛾導(dǎo)學(xué)乓生認(rèn)意識公桑式本丹身的石結(jié)構(gòu)術(shù)特征堆，弄餓清前肯ｎ項緣和與間等差境數(shù)列寶的項舞、項群數(shù)、叫公差剩之間強的關(guān)漠系．虛為加調(diào)深對漿公式碗的理嫩解和伴運用粗，要賴強化皂對實衫例的菌教學(xué)拘，并誓通過距對具茂體實唉例的訊分析鮮，引啄導(dǎo)學(xué)關(guān)生學(xué)擊會解歐決問秒題的伐方法摸．特智別是緒對實爹際問新題，勸要引映導(dǎo)學(xué)魄生從帽實際效情境倦中發(fā)遠(yuǎn)現(xiàn)等騎差數(shù)大列的鉗模型蛋，恰兵中選灰擇公尤式．耳對于狹等差匙數(shù)列斥前ｎ陷項和幣公式懲和二顏次函繞數(shù)之望間的煩聯(lián)系恢，可拘引導(dǎo)遣學(xué)生底拓展睛延伸屋．忠教學(xué)石設(shè)計解一、蛋問題預(yù)情景籍1.栽在猛20吉0多粉年前群，有井個1奉0歲均的名歪叫高評斯的黎孩子忙，在膀老師吹提出陸問題堆：“房1＋嚴(yán)2＋爺3＋雕…＋易10如0＝鹿？〞謊時，廢很快困地就舊算出執(zhí)了結(jié)戲果．引他是料怎么秧算出弊來的汗呢？壽他發(fā)倉現(xiàn)1湊＋1合00報＝2泛＋9妻9＝陶3＋社97斧＝…盲＝5簽0＋蓋51挽＝1檢01桌，于已是1糞＋2繩＋…墻＋1關(guān)00期＝1敬01摸×5筒0＝協(xié)50紗50寬．牧2.現(xiàn)受樂高斯料算法旅啟發(fā)鋼，你牲能否促求出捉1＋夜2＋蝶3＋羊…＋嗎ｎ的贏和．丈3.戀高慘斯的賣方法認(rèn)妙在智哪里激呢？致這種些方法涉能否麻推廣利到求踢一般混等差月數(shù)列驚的前耀ｎ項母和？糟二、忠建立膠模型慣1.貓數(shù)溝列的柱前ｎ父項和井定義堡對于纖數(shù)列尸｛ａ緒n究｝，櫻我們樂稱ａ欣1踢＋ａ耍2站＋…個＋ａ盜n嗎為數(shù)趙列｛綠ａ怖n岸｝的焰前ｎ便項和利，用獸S租n藏表示左，即韻S靜n譽＝ａ撒1慎＋ａ圖2烘＋…規(guī)＋ａ襲n封．榆2.歸等克差數(shù)常列的柜求和止公式摩〔1歇〕如冊何用找高斯美算法癢來推值導(dǎo)等飛差數(shù)習(xí)列的駱前ｎ塘項和駝公式網(wǎng)？銹對于盞公差播為ｄ濫的等口差數(shù)忍列｛躺ａ憂n綱｝：苦S梯n歷＝ａ古1首＋〔廉ａ倉1簡＋ｄ盡〕＋旋〔ａ鹽1畜＋2枕ｄ〕挖＋…射＋［按ａ置1笨＋〔懷ｎ—濫1〕林ｄ］西，樸件護(hù)鍛沿燕紙哭蹤①壓依據(jù)網(wǎng)高斯劑算法蝕，將蜻S孤n油表示拋為S兩n蠟＝ａ鈴n蕩＋〔乳ａ幕n央—ｄ哲〕＋豐〔ａ正n舉—2膛ｄ〕兄＋…?。劢疲崽裯氧—〔倉ｎ—吹1〕釘ｄ］畏．奮社西②陣由此般得到殲等差騾數(shù)列啊的前歡ｎ項喂和公駛式驢小結(jié)企：這藏種方醉法稱暖為反澡序相態(tài)加法蘆，是海數(shù)列壽求和有的一料種?；庞梅蕉挤ǎā?磚〕結(jié)松合通偽項公涉式ａ杏n典＝ａ評1甩＋〔場ｎ—猾1〕粥ｄ，禿又能訊得怎版樣的閥公式跪？箭〔３全〕兩拾個公離式有寨什么目相同亦點和班不同友點，雄各反稼映了笑等差毯數(shù)列容的什柱么性杯質(zhì)？場學(xué)生云討論盞后，櫻教師股總結(jié)塵：相壩同點隔是利近用二架者求溝和都齒須知饞道首皆項ａ匙1檔和項皇數(shù)ｎ泛；不伴同點航是前尼者還究須要禍知道烤ａ絲n請，后筍者還標(biāo)須要唐知道裝ｄ．褲因此建，在術(shù)應(yīng)用奶時要艷依據(jù)訂己條件氧適宜愚地選鳴取公宋式．理公式虜本身旱也反杠映了燙等差殲數(shù)列測的性肚質(zhì)：軍前者騙反映南了等燈差數(shù)漁列的誰任意萌的第目ｋ項檔與倒給數(shù)第伶ｋ項俊的和逃都等迷于首倚、末喊兩項瘋之和川，后打者反干映了餐等差揉數(shù)的些前ｎ獸項和某是關(guān)侍于ｎ敬的沒懶有?；瑪?shù)項桿的“捧二次鍛函數(shù)刑〞．綠三、陪解釋怒應(yīng)用晝［例專題秤］汽1.百根偶據(jù)下汪列各匆題中虎的條駛件，必求相核應(yīng)的冊等差讀數(shù)列捕｛ａ辦n賤｝的桐前ｎ恢項和逝S榜n答．儉〔1櫻〕ａ姻1舟＝餡—4葉，ａ舟8系＝顯—1連8，掌ｎ＝給8．父〔2費〕ａ況1紀(jì)＝1節(jié)4．晨5，等ｄ＝吧0.陡7，躲ａ切n界＝3娘2．暴注：岔恰當(dāng)尤選用屑公式夸進(jìn)行裙計算喂．成2.孔已慧知一拘個等冒差數(shù)姓列｛著ａ將n國｝前攻10參項的障和是中31祖0，厚前2刻0項膠的和撇是1慮22銀0．義由這醬些條謊件能盾確定侍這個即等差挺數(shù)列哲的前屠ｎ項研和的拉公式胳嗎？耍分析田：將掛嶼條件圾代入筆等差給數(shù)列脫前ｎ第項和夠的公謎式后檢，可綁得到公兩個魯關(guān)于尸ａ籌1旱與ｄ它的關(guān)訊系式好，它倉們都更是關(guān)哈于ａ遠(yuǎn)1鹿與ｄ擾的二腰元一按次方憤程，身由此紋可以責(zé)求得婦ａ撓1橡與ｄ訓(xùn)，從玩而得飲到所弓求前到ｎ項霧和的耀公式弟．爪解：溪由題蘆意知笛注：鐘〔1辛〕教速師引左導(dǎo)學(xué)瞎生認(rèn)奮識到您等差付數(shù)列野前ｎ拐項和孔公式提，就驗是一饑個關(guān)屢于ａ到n歉，ａ堅1少，ｎ瓦或者糟ａ雙1進(jìn)，ｎ燕，ｄ桂的方肉程，介使學(xué)隊生能敵把方桌程思其想和偷前ｎ寺項和染公式賀相結(jié)倡合，涼再結(jié)飼合通亞項公斥式，始對ａ中1靜，ｄ堅，ｎ冤，ａ撤n風(fēng)及S浮n騙這五遠(yuǎn)個量民知其桐三便糖可求攝其二吼．舅〔2孔〕本夜題的父解法隙還有切很多副，教購學(xué)時煌可鼓氧勵學(xué)暫生探桌索其蝕他的告解法伶．例館如，美3.遲線20棋00撲年1硬1月隨14荷日殺教育霸部下克發(fā)了狂?關(guān)格于在閉中小兇學(xué)實誦施“歸校校晉通〞啊工程驗的通跑知?粗．某雜市據(jù)顆此提憐出了突實施誕“校嘆校通糧〞工朽程的憐總目尸標(biāo)：蟻從2切00停1年層起用聰10占年的艘時間償，在恰全市中中小滔學(xué)建汽成不叢同標(biāo)煮準(zhǔn)的刪校園它網(wǎng)．武據(jù)測擺算，輛20碧01草年該平市用躬于“圍校校鴨通〞彼工程墓的經(jīng)屯費5盆00識萬元透．為甘了保汪證工抱程的爪順利鵲實施溝，計詠劃每炒年投落入的怎資金憶都比寄上一隸年增霞加5裁0萬局元．刪那么都從2籮00采1年獨起的陣未來襲10喪年內(nèi)聞，該腹市在川“校宵校通虎〞工攤程中枯的總握投入宏是多棟少？靠教師怪引學(xué)棍生分壽析：挖每年恰“校帳校通鬧〞工籍程的受經(jīng)費孕數(shù)構(gòu)蒙成公束差為延５０邊的等危差數(shù)明列．貓問題培實質(zhì)蒼是求墨該數(shù)捐列的竿前1幫0項頓的和唇．仍解：經(jīng)根據(jù)稀題意香，從詞20播01葛～2廳01凳0年助，該域市每悉年投告入“斗校校滿通〞旅工程秧的經(jīng)甲費都酒比上服一年劣增加霜50公萬元匹．所椒以，堆可以陵建立煎一個奮等差乞數(shù)列愁｛ａ引n蔽｝，擺表示段從2傍00配1年須起各另年投會入的田資金戒，其貢中，鑒ａ牲1逢＝5畏00貍，ｄ其＝5青0．臘那么威，到登20敞10囑年〔織ｎ＝額10櫻〕，爛投入領(lǐng)的資牢金總套額為完答：膚從2欲00絲1～揀20末10站年，的該市宅在“曉校校政通〞磁工程撕中的騰總投與入是彎72營50打萬元克．殘注：陷教師窄引導(dǎo)費學(xué)生舞標(biāo)準(zhǔn)句應(yīng)用晝題的翠解題積步驟扮．奮4.蕩已龜知數(shù)勞列｛胡ａ辱n桌｝的餅前ｎ泛項和扶S縣n柔＝ｎ淚2杏＋玩ｎ，浙求這舅個數(shù)傻列的到通項蘭公式蹦．這暈個數(shù)餅列是碑等差晌數(shù)列究嗎？細(xì)如果央是，稿它的甜首項詢與公拋差分跪別是歪什么樂？紐解：成根據(jù)斯由此容可知撿，數(shù)攀列｛?。崾耼犯｝是些一個著首項斥為良，公日差為明2的肯等差抖數(shù)列乓．奴思考騰：一零般地環(huán)，數(shù)漏列｛療ａ證n洋｝前袖ｎ項農(nóng)和S裂n鼓＝A禿ｎ雙2較＋B侍ｎ〔惰A≠窗０〕鈔，這掙時｛降ａ違n鏡｝是揀等差斗數(shù)列想嗎？肉為什無么？恩［練踩習(xí)趣］蠻1.矮一鉤名技雖術(shù)人匆員計央劃用革下面粘的辦蠟法測睬試一夠種賽還車：耀從時受速1級0ｋ常ｍ／兄ｈ開內(nèi)始，敢每隔攏2ｓ我速度繭提高誘20摧ｋｍ鍬／ｈ廣．如充果測蹲試時史間是響30遲ｓ，吵測試南距離悲是多之長？瘋2.貢已量知數(shù)腦列｛盲ａ釘n蒸｝的北前ｎ夸項的陡和為孔S鋼n湊＝斧ｎ敵2海＋及ｎ＋最4，揪求這攪個數(shù)緒列的妻通項榜公式今．描3.貫求至集合妻M＝爹｛ｍ賣｜ｍ供＝2注ｎ—豪1，紛ｎ飯∈瀉N鬧*遠(yuǎn)，且艦ｍ＜請60居｝的拾元素模個數(shù)匆，并扁求這礦些元結(jié)素的姓和．鄉(xiāng)四、聰拓展?jié)M延伸糧1.因數(shù)粉列｛窄ａ掃n泛｝前旬ｎ項栗和S茫n何為S贏n者＝p晝n喝2彩＋q回n＋騙ｒ〔槐ｐ，扔ｑ，鎮(zhèn)ｒ為會常數(shù)族且ｐ聚≠０吩〕，姑那么｛址ａ范n就｝成輔等差吹數(shù)列異的條峽件是求什么倒？孝2.志已滲知等尊差數(shù)捎列5厲，4朋，3欄，…峰的前柏ｎ項伐和為很S匆n翠，求真使S襲n囑最大姓的序劉號ｎ興的值猴．向分析竄1：懸等差瘦數(shù)列渾的前普ｎ項零和公壁式可蔬以寫奪成S袖n樂＝筆ｎ鳴2旦＋詞〔ａ漏1列－闖〕ｎ筍，所母以S綢n萄可以怒看成著函數(shù)巾ｙ＝煤x僚2索＋〔傷ａ選1掉－飯〕ｘ屠〔ｘ預(yù)∈鍛N煌*曾〕．險當(dāng)ｘ走＝ｎ棕時的權(quán)函數(shù)隙值．喝另一普方面牌，容蕩易知鵲道S光n帶關(guān)于腹ｎ的經(jīng)圖像微是一揪條拋棗物線遍上的搭一些喚點．款因此仗，我介們可浮以利奶用二喊次函熄數(shù)來段求ｎ境的值去．夕解：央由題訊意知卵，等業(yè)差數(shù)擠列5稻，4貢，3槐，…貓的公翠差為壽－段，所桃以功于是丑，當(dāng)唉ｎ取壇與昆最接子近的交整數(shù)貞即7現(xiàn)或8屢時，鴨S騰n宗取最屯大值企．坊分析憶2：勿因為蟻公差骨ｄ＝兵－屈＜０狂，所默以此觸數(shù)列乓為遞體減數(shù)瘋列，根如果字知道規(guī)從哪括一項緞開始爆它后寧邊的仇項全扣為負(fù)跌的，聾而它薯之前感的項不是正狗的或刃者是兆零，育那么榆就知經(jīng)道前遠(yuǎn)多少尋項的贊和最扛大了濁．即監(jiān)使瑞然后編從中鏈求出豎ｎ．后點掉評拿這篇躬案例跌從具艙體的各實例兵出發(fā)班，引喬出等省差數(shù)遮列的義求和演問題忠，在源設(shè)計淋上，遞設(shè)計適者注爬意激堤發(fā)學(xué)遵生的液學(xué)習(xí)設(shè)興趣膽和探野究欲壯望，勒通過鉗等差惑數(shù)列賭求和付公式情的探攜索過混程，綢培養(yǎng)軟學(xué)生鄰觀察典、探皺索、發(fā)奮現(xiàn)抬規(guī)律徐、解任決問顛題的模能力燃．蠶對例稠題、嫌練習(xí)費的安將