河南省鄭州市金山橋?qū)W校2021-2022學年高二數(shù)學理上學期期末試題含解析

河南省鄭州市金山橋?qū)W校2021-2022學年高二數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項和Sn＝()A．n(n＋1)

B．n(n－1)

C.

D.參考答案：A略2.﹣=（）A．B．C．D．參考答案：D略3.直線y=x﹣3與拋物線y2=4x交于A、B兩點，過A、B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為（）A．48 B．56 C．64 D．72參考答案：A【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計算題．【分析】依題意聯(lián)立方程組消去y，進而求得交點的坐標，進而根據(jù)|AP|，|BQ|和|PQ|的值求得梯形APQB的面積【解答】解：直線y=x﹣3與拋物線y2=4x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P，Q，聯(lián)立方程組得，消元得x2﹣10x+9=0，解得，和，∴|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形APQB的面積為48，故選A．【點評】本題主要考查了拋物線與直線的關系．常需要把直線與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)韋達定理找到解決問題的途徑．4.圓的圓心坐標和半徑分別為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知a，b為非零實數(shù)，若a＞b且ab＞0，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．＞ C．a(chǎn)b2＞a2b D．＜參考答案：D考點：不等式的基本性質(zhì)．專題：不等式的解法及應用．分析：A．取a=1，b=﹣2，即可判斷出；B．取a=1，b=﹣2，即可判斷出；C．取a=2，b=1，即可判斷出；D．由于a，b為非零實數(shù)，a＞b，可得，化簡即可得出．解答：解：A．取a=1，b=﹣2，不成立；B．取a=1，b=﹣2，不成立；C．取a=2，b=1，不成立；D．∵a，b為非零實數(shù)，a＞b，∴，化為，故選：D．點評：本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎題．6.拋物線y=2x2上兩點A（x1，y1）、B（x2，y2）關于直線y=x+m對稱，且x1?x2=﹣，則m等于（）A． B．2 C． D．3參考答案：A【考點】直線與圓錐曲線的關系．【專題】計算題；壓軸題．【分析】先利用條件得出A、B兩點連線的斜率k，再利用A、B兩點的中點在直線y=x+m求出關于m以及x2，x1的方程，再與已知條件聯(lián)立求出實數(shù)m的值．【解答】解：由條件得A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點連線的斜率k=，而y2﹣y1=2（x22﹣x12）

①，得x2+x1=﹣

②，且（，）在直線y=x+m上，即=+m，即y2+y1=x2+x1+2m

③又因為A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點在拋物線y=2x2上，所以有2（x22+x12）=x2+x1+2m，：即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]=x2+x1+2m

④，把①②代入④整理得2m=3，解得m=故選

A．【點評】本題是對直線與拋物線位置關系以及點與直線位置的綜合考查．當兩點關于已知直線對稱時，有兩條結(jié)論，一是兩點的中點在已知直線上；二是兩點的連線與已知直線垂直．7.已知和是兩個命題,若是的必要不充分條件,則是的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要條件參考答案：A8.甲、乙、丙三位同學用計算機聯(lián)網(wǎng)學習數(shù)學，甲及格率為，乙及格率為，丙及格率為，三人各答一次，則三人中只有一人及格的概率為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D9.不等式的解集為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C10.下列幾個命題正確的個數(shù)是（）①方程x2+（a﹣3）x+a=0有一個正根，一個負根，則a＜0；②函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；③函數(shù)f（x+1）的定義域是[﹣1，3]，則f（x2）的定義域是[0，2]；④一條曲線y=|3﹣x2|和直線y=a（a∈R）的公共點個數(shù)是m，則m的值不可能是1．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】①，若方程x2+（a﹣3）x+a=0有一個正根，一個負根，則△=（a﹣3）2﹣4a＞0，x1x2=a＜0?a＜0，；②，函數(shù)=0（x=±1）是偶函數(shù)，也是奇函數(shù)；③，函數(shù)f（x+1）的定義域是[﹣1，3]，則f（x2）的定義域是[﹣2，2]；④，由圖象可知曲線y=|3﹣x2|和直線y=a（a∈R）的公共點個數(shù)可能為0、2、3、4．【解答】解：對于①，若方程x2+（a﹣3）x+a=0有一個正根，一個負根，則△=（a﹣3）2﹣4a＞0，x1x2=a＜0?a＜0，故正確；對于②，函數(shù)=0（x=±1）是偶函數(shù)，也是奇函數(shù)，故錯；對于③，函數(shù)f（x+1）的定義域是[﹣1，3]，則f（x2）的定義域是[﹣2，2]，故錯；對于④，由圖象可知曲線y=|3﹣x2|和直線y=a（a∈R）的公共點個數(shù)可能為0、2、3、4，則m的值不可能是1，故正確．故選：B．【點評】本題考查了命題真假的判定，涉及到了大量的基礎知識，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是

.參考答案：12.直線過點那么該直線的傾斜角為

.參考答案：13513.已知a為常數(shù)，函數(shù)，若關于x的方程有且只有四個不同的解，則實數(shù)a的取值所構成的集合為

▲

．參考答案：關于的方程有且只有四個不同的解，等價于直線與有四個不同的交點，直線過定點，斜率為，當直線與相切時，由，令可得斜率；當直線相切時，，由可得斜率；同理，當直線相切時，斜率，畫出與的圖象，如圖，由圖知，或時，與有四個交點，此時關于的方程有且只有四個不同的解，故答案為.

14.一個單位共有職工400人，其中不超過45歲的有240人，超過45歲的有160人．為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為50的樣本，應抽取超過45歲的職工__

人．參考答案：2015.設P是雙曲線上除頂點外的任意一點，分別為左右焦點，為半焦距，的內(nèi)切圓與邊切于點M,則的值為___________。參考答案：16.由1，2，3，4這四個數(shù)，組成個位數(shù)字不為2的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，共有

個參考答案：1817.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關于原點對稱，且，則

.參考答案：－2－3i由題意得復數(shù)對應的點為（2，-3），它關于原點的對稱點為（-2,3），故，所以．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=1﹣nan（n∈N*）．（1）計算a1，a2，a3，a4，并猜想數(shù)列{an}的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中數(shù)列{an}的通項公式成立．參考答案：【考點】數(shù)學歸納法；F1：歸納推理．【分析】（1）利用已知條件通過n=1，2，3，4，分別求出a1，a2，a3，a4；然后猜想an的表達式．（2）利用數(shù)學歸納法的證題步驟，證明猜想的正確性即可．【解答】解：（1）依題設Sn=1﹣nan可得a1=1﹣a1，即a1=，a2==，a3==，a4==；猜想an=．（2）證明：①當n=1時，猜想顯然成立．

②假設n=k（k∈N*）時，猜想成立，即ak=．

那么，當n=k+1時，Sk+1=1﹣（k+1）ak+1，即Sk+ak+1=1﹣（k+1）ak+1．又Sk=1﹣kak=，所以+ak+1=1﹣（k+1）ak+1，從而ak+1==即n=k+1時，猜想也成立．

故由①和②，可知猜想成立．19.如圖（1）在Rt△ABC中，，，，D、E分別是AC、AB上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖（2）.（1）求證：BC⊥平面A1DC；（2）當點D在何處時，三棱錐A1-BCD體積最大，并求出最大值；（3）當三棱錐A1-BCD體積最大時，求BE與平面A1BC所成角的大小.參考答案：（1）見解析（2）點D位于中點時，三棱錐體積最大，最大值為（3）【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明；

(2)將三棱錐的體積表示成某個變量的函數(shù)，再求其最大值；

(3)先找出線面角的平面角，再解三角形求角.【詳解】（1）證明：∵，，∴，因此，所以，又∵，∴平面；（2）解：設，則，由（1），又因為，，∴平面；所以，因此當，即點位于中點時，三棱錐體積最大，最大值為；（3）解：如圖，聯(lián)結(jié)，由于，且，∴，即，因此即為與平面所成角，∵，∴，所以，即與平面所成角的大小為.【點睛】本題考查線面垂直的證明和體積的最值以及求線面角，屬于中檔題.20.已知等差數(shù)列，公差不為零，，且成等比數(shù)列;⑴求數(shù)列的通項公式;⑵設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.參考答案：解：⑴由成等比數(shù)列得，，即,解得，或（舍）,,⑵(理科)由⑴ , , 所以.

⑵(文科),故.略21.（本小題滿分14分）已知二階矩陣屬于特征值－1的一個特征向量為，屬于特征值2的一個特征向量為，求矩陣M及其逆矩陣．參考答案：解：M=……………7分

=.……………7分22.（13分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，數(shù)列的前項和為．求滿足不等式

的的最小值．參考答案：(1)因為Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．兩式相減，得an＝2an－1＋1.所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以數(shù)列{an＋1}為