復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂第四章

復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂第四章1第1頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)分析中的級數(shù)理論很容易推廣到復(fù)函數(shù)上來，并得到某些系統(tǒng)的結(jié)論。不僅如此，級數(shù)可作為研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具，將解析函數(shù)表示為冪級數(shù)。是泰勒定理由實(shí)情形的推廣，是研究解析函數(shù)的另一重要方法(注意前一章是用復(fù)積分方法研究)。第2頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月§1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)1.復(fù)數(shù)列的極限2.級數(shù)概念第3頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復(fù)數(shù)列的極限此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列{αn}收斂于α。則α稱為復(fù)數(shù)列{αn}當(dāng)n時(shí)的極限,記作設(shè)為一復(fù)數(shù)列,其中αn=an+ibn,又設(shè)a=a+ib為一確定的復(fù)數(shù)。如果任意給定,相應(yīng)地能找到一個(gè)正數(shù)使在n>N時(shí)成立,定理一復(fù)數(shù)列收斂于α的充要條件是第4頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月定理一復(fù)數(shù)列收斂于α的充要條件是找到一個(gè)正數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),則，同理所以,則對于任意給定的,就能[證]如果第5頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月從而有所以存在N，當(dāng)n>N時(shí)，有,則任給ε>0,反之,如果定理一復(fù)數(shù)列收斂于α的充要條件是[證]第6頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月2.級數(shù)概念稱為無窮級數(shù),其最前面n項(xiàng)的和稱為級數(shù)的部分和。級數(shù)稱為發(fā)散。設(shè)為一復(fù)數(shù)列,表達(dá)式如果部分和數(shù)列{sn}收斂,則級數(shù)稱為收斂，且極限稱為級數(shù)的和。如果數(shù)列不收斂，則第7頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月都收斂。[證]因級數(shù)定理二和收斂的充要條件是級數(shù)的部分和,由定理一,{sn}有極限存在的充要條件是{sn}和{σn}的極限存在,即級數(shù)都收斂。和其中和分別為第8頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月定理二將復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)項(xiàng)級和數(shù)的審斂問題。而由實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的和必要條件要條件是立即可得，從而推出復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的必第9頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月成立。，可知級數(shù)都收斂，因而和及也都收斂，則是收斂的。而又因，因此或如果收斂，則也收斂，且不等定理三由于，而[證]式第10頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù)。定義如果收斂，則稱級數(shù)絕對收斂。由于，因此，所以當(dāng)絕對收斂時(shí)，也絕對收斂，因此與絕對收斂的充要條件是絕對收斂。和第11頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

考察級數(shù)的斂散性。[解]因發(fā)散，雖收斂，仍斷定原級數(shù)發(fā)散。收斂也可用正項(xiàng)級數(shù)的判定法來判定。的各項(xiàng)都是非負(fù)的實(shí)數(shù),所以它的另外,因?yàn)榈?2頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例2下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限。[解]1)因，故而所以數(shù)列收斂，且有2)由于an=ncosin=nchn=n(en+e-n)/2,因此,當(dāng)n時(shí),an。所以an發(fā)散。第13頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限。[解]第14頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例3下列級數(shù)是否收斂?是否絕對收斂?[解]1)收斂,故原級數(shù)發(fā)散。發(fā)散；斂,故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂。為條件收斂,所以原級數(shù)非絕對收斂。3)因收斂；也收斂,故原級數(shù)收斂。但因2)因,由正項(xiàng)級數(shù)的比值審斂法知收第15頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例下列級數(shù)是否收斂?是否絕對收斂?[解]1)3)2)第16頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月§2冪級數(shù)1.冪級數(shù)概念2.收斂圓與收斂半徑3.收斂半徑的求法4.冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)第17頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月1.冪級數(shù)的概念稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。最前面n項(xiàng)的和設(shè)稱為這級數(shù)的部分和。區(qū)域D內(nèi)有定義。表達(dá)式為一復(fù)變函數(shù)序列,其中各項(xiàng)在存在,則稱復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在z0收斂,而s(z0)稱為它的和。如果對于D內(nèi)的某一點(diǎn)z0,極限第18頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月若級數(shù)在D內(nèi)處處收斂,則和一定是z的一個(gè)函數(shù)s(z)：s(z)稱為級數(shù)的和函數(shù)。這種級數(shù)稱為冪級數(shù)。級數(shù)的特殊情形:如果令或當(dāng)fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時(shí),就得到函數(shù)項(xiàng)的形式,為了方便,今后常就討論第二式。,這是第二式的,則上式就成為第19頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月定理一(阿貝爾Abel定理)z0xyO若級數(shù)在收斂，則對滿足的z，級數(shù)必絕對收斂，如果在級數(shù)發(fā)散，則對滿足的z，級數(shù)必發(fā)散。同高等數(shù)學(xué)中的冪級數(shù)一樣，復(fù)變冪級數(shù)也有所謂冪級數(shù)的收斂定理。[證]因收斂，則則存在Ｍ使對所有的n有如果，則而第20頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月由于為公比小于1的等比級數(shù)，故收斂，因此亦收斂，從而級數(shù)是絕對收斂的。如果級數(shù)發(fā)散，且如果。用反證法，設(shè)級數(shù)結(jié)論可導(dǎo)出收斂，與所設(shè)矛盾，因此只能是發(fā)散。反而收斂，則根據(jù)前面的第21頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月2.收斂圓和收斂半徑利用阿貝爾定理,可以定出冪級數(shù)的收斂范圍,對一個(gè)冪級數(shù)來說,它的收斂情況不外乎三種：i)對所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的。這時(shí),根據(jù)阿貝爾定理可知級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂。ii)對所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的。這時(shí),級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散。iii)既存在使級數(shù)收斂的正實(shí)數(shù),也存在使級數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù)。設(shè)時(shí),級數(shù)發(fā)散。當(dāng)α由小逐漸變大時(shí),(正實(shí)數(shù))時(shí),級數(shù)收斂,(正實(shí)數(shù))一個(gè)以原點(diǎn)為中心,R為半徑的圓周CR。必定逐漸接近第22頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然a<b,將收斂域染成紅色,發(fā)散域?yàn)樗{(lán)色.RCROabCaCbxy在CR的內(nèi)部都是紅色,外部都是藍(lán)色。這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周CR稱為冪級數(shù)的收斂圓。在收斂圓的內(nèi)部,級數(shù)絕對收斂。以z=a為中心的圓域。在收斂圓上是否收斂,則不一定。的外部,級數(shù)發(fā)散。收斂圓收斂圓的半徑R稱為收斂半徑。所以冪級數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域。對冪級數(shù)來說,收斂范圍是第23頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

求冪級數(shù)[解]

級數(shù)是等比級數(shù)，部分和為的收斂范圍與和函數(shù)。當(dāng)時(shí)，由于，從而有,即時(shí)級數(shù)收斂，和函數(shù)為不趨于零，級數(shù)發(fā)散。收斂范圍為,當(dāng)時(shí)，由于時(shí)，在此范圍內(nèi)絕對收斂，并有第24頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月3.收斂半徑的求法定理二(比值法)，則收斂半徑如果[證]時(shí)，收斂。由上節(jié)定理三，級數(shù)由于故知當(dāng)在圓內(nèi)收斂。為第25頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月外有一點(diǎn)，使級數(shù)再證當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散。假設(shè)在圓收斂。在圓外再取一點(diǎn)，，那么根據(jù)阿貝爾定理，級數(shù)必收斂。然而，所以收斂的假定不能成立。因而使級數(shù)在圓這跟收斂相矛盾，即在圓周外有一點(diǎn)，使第26頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月,那么根據(jù)阿貝爾定理，級數(shù)必收斂。然而，所以收斂的假定不能成立。因而使級數(shù)外發(fā)散。以上的結(jié)果表明了收斂半徑在圓這跟收斂相矛盾，即在圓周外有一點(diǎn)，第27頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：定理中的極限是假定存在的且不為零。若,那么對任何z,級數(shù)收斂,從而級數(shù)證明從略。，則收斂半定理三(根值法)如果因此也不能收斂,即R=0。否則,根據(jù)阿貝爾定理將有使得級數(shù)收斂。復(fù)平面內(nèi)除z=0以外的一切z，級數(shù)都不收斂。徑為在復(fù)平面內(nèi)處處收斂，即。如果，那么對于第28頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

求下列冪級數(shù)的收斂半徑(并討論在收斂圓周上的情形)；(并討論z=0,2時(shí)的情形)；1)2)3)[解]1)因?yàn)榛蛩允諗堪霃絉=1，也就是原級數(shù)在圓|z|=1內(nèi)收斂,在圓周外發(fā)散。在圓周|z|=1上，級數(shù)是收斂的,第29頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

求下列冪級數(shù)的收斂半徑(并討論在收斂圓周上的情形)；(并討論z=0,2時(shí)的情形)；1)2)3)[解]1)在圓周|z|=1上，級數(shù)是收斂的,因?yàn)檫@是一個(gè)p級數(shù)，p=3>1，所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。第30頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

求下列冪級數(shù)的收斂半徑(并討論在收斂圓周上的情形)；(并討論z=0,2時(shí)的情形)；1)2)3)[解]2)級數(shù)收斂；當(dāng)z=2時(shí)，原級數(shù)成為也有級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)。，即R=1。這個(gè)例子表明，在收斂圓周上即有級數(shù)的收斂點(diǎn)，上，當(dāng)z=0時(shí)，原級數(shù)成為在收斂圓發(fā)散。第31頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

求下列冪級數(shù)的收斂半徑(并討論在收斂圓周上的情形)；(并討論z=0,2時(shí)的情形)；1)2)3)[解]3)因?yàn)楣适諗堪霃綖?，所以?2頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月2)上，當(dāng)z=0時(shí)，原級數(shù)成為，級數(shù)收斂；當(dāng)z=2上即有級數(shù)的收斂點(diǎn)，也有級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)。，即R=1。在收斂圓時(shí)，原級數(shù)成為發(fā)散。這個(gè)例子表明，在收斂圓周3)因?yàn)楣适諗堪霃綖橐驗(yàn)檫@是一個(gè)p級數(shù)，p=3>1，所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。，所以第33頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例求下列冪級數(shù)的收斂半徑1)2)3)[解]1)4)5)第34頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例求下列冪級數(shù)的收斂半徑1)2)3)[解]2)4)5)第35頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例求下列冪級數(shù)的收斂半徑[解]3)1)2)3)4)5)第36頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例求下列冪級數(shù)的收斂半徑[解]4)1)2)3)4)5)第37頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例求下列冪級數(shù)的收斂半徑1)2)3)[解]5)4)5)第38頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月4.冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)在以原點(diǎn)為中心,r1,r2中較小的一個(gè)為半徑的圓內(nèi),這兩個(gè)冪級數(shù)可以象多項(xiàng)式那樣進(jìn)行相加,相減,相乘,所得到的冪級數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積。在象實(shí)變冪級數(shù)一樣,復(fù)變冪級數(shù)也能進(jìn)行有理運(yùn)算。具體說來，設(shè)中較小的一個(gè)，也就是各種情形，所得到的冪級數(shù)的收斂半徑大于或等于r1與r2第39頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月為了說明兩個(gè)冪級數(shù)經(jīng)過運(yùn)算后所得的冪級數(shù)的收斂半徑確定可以大于r1與r2中較小的一個(gè),下面舉一個(gè)例子。例3設(shè)有冪級數(shù)與，求的收斂半徑。第40頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例3設(shè)有冪級數(shù)與，求的收斂半徑。[解]但級數(shù)容易驗(yàn)證，與的收斂半徑都等于1,的收斂半徑的公共收斂圓域自身的收斂圓域大于這就是說，但應(yīng)注意，使等式與第41頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例3設(shè)有冪級數(shù)與，求的收斂半徑。[解]的公共收斂圓域自身的收斂圓域大于這就是說，但應(yīng)注意，使等式與成立的收斂圓域仍應(yīng)為，不能擴(kuò)大。第42頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月更為重要的是代換(復(fù)合)運(yùn)算,就是：把函數(shù)展開成冪級數(shù)時(shí),有著廣泛的應(yīng)用。如果當(dāng)時(shí),,又設(shè)在內(nèi)g(z)解析且滿足則當(dāng)時(shí)，。這個(gè)代換運(yùn)算,在第43頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例4把函數(shù)表成形如的冪級數(shù)，其中a與b是不相等的復(fù)常數(shù)。[解]把函數(shù)寫成如下形式：當(dāng)時(shí)，有第44頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例4把函數(shù)表成形如的冪級數(shù)，其中a與b是不相等的復(fù)常數(shù)。[解]設(shè)從而可得，那么當(dāng)時(shí)，上式右端的級數(shù)收斂，第45頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例4把函數(shù)表成形如的冪級數(shù)，其中a與b是不相等的復(fù)常數(shù)。[解]設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，上式右端的級數(shù)收斂，且其和為且。因?yàn)閦=b時(shí)，阿貝爾定理知，當(dāng)級數(shù)發(fā)散，即上式右端的級數(shù)Oxyab當(dāng)|z-a|<|b-a|=R時(shí)級數(shù)收斂上式右端的級數(shù)發(fā)散，故由時(shí)，的收斂半徑為第46頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月本題的解題步驟為：首先把函數(shù)作代數(shù)變形，使其分母中出現(xiàn)量再按照展開式為已知的函數(shù)的形式寫成，其中。然后把展開式中的z換成g(z)。第47頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例把函數(shù)分別表成形如和的冪級數(shù)，并求其收斂半徑。[解](1)把函數(shù)而時(shí)，即展開成形如的冪級數(shù)，即第48頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例把函數(shù)分別表成形如和的冪級數(shù)，并求其收斂半徑。[解](2)把函數(shù)而時(shí)，即展開成形如的冪級數(shù)，即第49頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月定理四設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為R，則1)它的和函數(shù)是收斂圓的解析函數(shù)。2)f(z)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪函數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)內(nèi)得到，即3)f(z)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,即或復(fù)變冪函數(shù)也象實(shí)變冪級數(shù)一樣，在其收斂圓內(nèi)具有下列性質(zhì)：第50頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例求下列冪級數(shù)的收斂半徑及其和函數(shù)1)2)3)[解]1)2)第51頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例求下列冪級數(shù)的收斂半徑及其和函數(shù)1)2)3)[解]3)第52頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例求下列冪級數(shù)的收斂半徑及其和函數(shù)1)2)3)[解]1)4)2)3)4)第53頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月§3泰勒級數(shù)第54頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,而z0Kzrzz0為中心的任何一個(gè)圓周,它與它的內(nèi)部全含于D,把上一節(jié)中證明了一個(gè)冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂域內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。這節(jié)來研究：任何一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表達(dá)？這個(gè)問題不但具有理論意義，而且很有實(shí)用價(jià)值。為D內(nèi)以它記作K,又設(shè)z為K內(nèi)任一點(diǎn)。于是按柯西積分公式有第55頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月其中K取正方向,且有由于積分變量取在圓周K上，點(diǎn)z在K的內(nèi)部，所以，且有第56頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月代入柯西積分公式得由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式，上式可寫成第57頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月其中在K內(nèi)成立,即f(z)可在K內(nèi)用冪級數(shù)表達(dá)。為此令顯然，q與積分變量z無關(guān),且0q<1。由于K含于D,如果能證明在K內(nèi)成立，由上式可得第58頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月

f(z)在D內(nèi)解析,從而在K上連續(xù),則在K上有界,因此在K上存在正實(shí)數(shù)M使|f(z)|M。則因此,下面的公式在K內(nèi)成立。第59頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為f(z)在z0的泰勒展開式,它右端的級數(shù)稱為f(z)在z0處的泰勒級數(shù)。如果z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為d,則展開式在圓域|z-z0|<d內(nèi)成立。但這時(shí)對f(z)在z0的泰勒級數(shù)來說,它的收斂半徑R至少等于d,因?yàn)榉矟M足|z-z0|<d的z必能使公式成立,即Rd。從以上的討論，可得到下面的定理(泰勒展開定理)第60頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月成立，其中定理(泰勒展開定理)D內(nèi)的一點(diǎn),d為z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離,則當(dāng)|z-z0|<d時(shí),設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為從以上的討論，可得到下面的定理(泰勒展開定理)第61頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月如果f(z)在z0解析,則使f(z)在z0的泰勒展開式成立Oxyz0a的圓域的半徑R等于從z0到f(z)距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a的距離,即R=|a-z0|。這是因?yàn)閒(z)在收斂圓內(nèi)解析,故奇點(diǎn)a不可能在收斂圓內(nèi)。又因?yàn)槠纥c(diǎn)a不可能在收斂圓外,不然收斂半徑還可以擴(kuò)大,因此奇點(diǎn)a只能在收斂圓周上。第62頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù),因而是唯一的。這是因?yàn)?假設(shè)f(z)在z0用另外的方法展開為泰勒級則 f(z0)=a0.而于是 f'(z0)=a1.級數(shù)：同理可得第63頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù)，因而是唯一的。利用泰勒展開式,也可以直接通過計(jì)算系數(shù):把f(z)在z0展開成冪級數(shù),這被稱作直接展開法,例如,故有求ez在z=0處的泰勒展開式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1,(n=0,1,2,...)第64頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處處解析,上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立,

收斂半徑為。同樣,可求得sinz與cosz在z=0的泰勒展開式:因?yàn)閟inz與cosz在復(fù)平面上處處解析,所以這些等式也在復(fù)平面內(nèi)處處成立。第65頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月除直接法外,也可以借助一些已知函數(shù)的展開式,利用冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì)(定理四),以唯一性為依據(jù)來得出一個(gè)函數(shù)的泰勒展開式,此方法稱為間接展開法。例如sinz在z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法得出：第66頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例1把函數(shù)展開成z的冪級數(shù)。[解]由于函數(shù)有一個(gè)奇點(diǎn)，而在內(nèi)處處解析，所以可在內(nèi)展開成z的冪級數(shù)。將上式兩邊求導(dǎo)，即得所求的展開式因?yàn)榈?7頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月[解]ln(1+z)在從解析的,而例2求ln(1+z)的主值在z=0處的泰勒展開式。向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)是是它的奇點(diǎn),所以可在|z|<1展開為z的因?yàn)?，逐?xiàng)積分得冪級數(shù)。第68頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月-1OR=1xy即這就是所求的泰勒展開式。例2求ln(1+z)的主值在z=0處的泰勒展開式。[解]ln(1+z)在從第69頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月[解法1]例3求冪級數(shù)用待定系數(shù)法展開。由于可知f(z)滿足微分方程為復(fù)數(shù))的主值支：在z=0處的泰勒展開式。顯然,f(z)在從-1起向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的復(fù)平面內(nèi)解析，因此必能在|z|<1內(nèi)展開成z的冪級數(shù)。第70頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)把它代入上列微分方程，得即第71頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月所以所求的展開式為，得比較上式兩端z的同次冪的系數(shù)并注意第72頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月[解法2]直接從算出泰勒展開式的系數(shù)。為了方便，設(shè)求導(dǎo)，得所以即繼續(xù)求導(dǎo)得第73頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月總之,把復(fù)變函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法與實(shí)變函數(shù)的情形基本一樣。最后要指出，冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的和函數(shù)是解析函數(shù)；反過來，在圓域析的函數(shù)f(z)必能在展開成冪級數(shù)f(z)在解析跟f(z)在的鄰域內(nèi)可以展開成冪級數(shù)是兩種等價(jià)的說法。內(nèi)解。所以，于是得所求的展開式。令z=0，得第74頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù)，并指出它們[解]又的收斂半徑。故第75頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù)，并指出它們[解]的收斂半徑。第76頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù)，并指出它們[解]的收斂半徑。第77頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù)，并指出它們[解]的收斂半徑。第78頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的泰勒展開式，并指出[解]它們的收斂半徑。第79頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的泰勒展開式，并指出[解]它們的收斂半徑。第80頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的泰勒展開式，并指出[解]它們的收斂半徑。第81頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月§4洛朗級數(shù)第82頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月一個(gè)以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z),可以在首先討論下列形式的級數(shù):該圓域內(nèi)展開成則在z0的鄰域內(nèi)就不能用將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)的冪級數(shù)。如果f(z)在z0不解析,的冪級數(shù)表示。本節(jié)中表示法。第83頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月可將其分為兩部分考慮(正冪項(xiàng)部分)(負(fù)冪項(xiàng)部分)只有在正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)都收斂才認(rèn)為第一式收斂于它們的和。第84頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月z0R1R2這是正冪項(xiàng)是一冪級數(shù),設(shè)它的收斂半徑為R2,對負(fù)冪項(xiàng),如果令時(shí),時(shí)，在圓環(huán)域,,負(fù)冪項(xiàng)才收斂,因此,只有的冪級數(shù),設(shè)收斂半徑為R,令R1=1/R,則當(dāng),原級數(shù)才收斂。就得到第85頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例如級數(shù)中的負(fù)冪項(xiàng)級數(shù)即(a與b為復(fù)常數(shù))，當(dāng)時(shí)收冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì),負(fù)冪項(xiàng)級數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有。斂,而正冪項(xiàng)級數(shù),當(dāng)時(shí)收斂。所以當(dāng)時(shí)原級數(shù)在圓環(huán)域收斂。當(dāng)時(shí)原級數(shù)處處發(fā)散。第86頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月的收斂區(qū)域。例1求級數(shù)[解]當(dāng)時(shí)，有，則當(dāng)時(shí)，有，則所以級數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)椋旱?7頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,可以證明,負(fù)冪項(xiàng)級數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)?，F(xiàn)在反問,在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成級數(shù)?先看下例。函數(shù)在z=0及z=1都不解析，但在圓環(huán)內(nèi)都是解析的先研究的情及域形，冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì),負(fù)冪項(xiàng)級數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有。第88頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)在z=0及z=1都不解析，但在圓環(huán)內(nèi)都是解析的先研究的情及由此可見，f(z)在內(nèi)是可以展開為級數(shù)的。域形，其次,在圓環(huán)域：內(nèi)也可以展開為級數(shù)：第89頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月其次,在圓環(huán)域：內(nèi)處處解析的函數(shù)f(z),可能展開成形如上面的級數(shù)，事實(shí)上我們有下面的定理。x1Oy內(nèi)也可以展開為級數(shù)：從以上討論可知，函數(shù)f(z)是可以展開成為級數(shù)的，只是這些級數(shù)含有負(fù)冪的項(xiàng)罷了。據(jù)此推想，在圓環(huán)域第90頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月定理設(shè)f(z)在圓環(huán)域這里C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條閉曲線。其中內(nèi)解析,則[證]設(shè)z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點(diǎn),R1R2zrK1zRK2zz0圓周K1與K2,K2半徑R大于K1半徑r,且使z在K1與K2之間。在圓環(huán)域內(nèi)作以z0為中心的正向第91頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月其中R1R2zrK1zRK2zz0由柯西積分公式得第92頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)，所以對第一個(gè)積分，上，z在在.又由于在上連續(xù)，因此存在一個(gè)常數(shù)M，使得，跟泰勒展開式一樣，可以推得第93頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月第二個(gè)積分。由于在上，點(diǎn)z在。因此的外部，所以第94頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月其中現(xiàn)在需要證明所以在外部成立。令，因此有則第95頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月因此有因此有第96頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月上面級數(shù)的系數(shù)由不同的式子表出。如果在圓環(huán)域內(nèi)取繞z0的任何一條正向簡單閉曲線C，則根據(jù)閉路變形原理,這兩個(gè)式子可表示為：其中第97頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月(4.4.5)稱為f(z)在以z0為中心的圓環(huán)域：內(nèi)的洛朗(Laurent)展開式,它右端的級數(shù)稱為f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)。級數(shù)中正整次冪和負(fù)整次冪分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。Cz0R1R2第98頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月另外，一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正，負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)是唯一的，這個(gè)級數(shù)就是f(z)的洛事實(shí)上，假定f(z)在圓環(huán)域種方法展成由正負(fù)冪項(xiàng)組成的級數(shù)：內(nèi)用某并設(shè)C為圓環(huán)域內(nèi)任何一條正向簡單閉曲線,為C上一點(diǎn)，那么朗級數(shù)。第99頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月這就是得到前面的級數(shù)的系數(shù)。從而上面定理給出了將一個(gè)圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開成洛朗級數(shù)的一般方法。但這方法計(jì)算系數(shù)很麻煩。例如要把在以z=0為中心的圓環(huán)域以去乘上式兩邊，且p為任一整數(shù)，并沿C沿分，得第100頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)展開成洛朗級數(shù)時(shí)，若用公式計(jì)算cn算，那么有其中C為圓環(huán)域內(nèi)的任意一條簡單閉曲線。當(dāng)，即，由于在圓環(huán)域內(nèi)解析，故由柯西-古薩基本定理知，，即。由高階導(dǎo)數(shù)公式知故有當(dāng)?shù)?01頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月若根據(jù)正、負(fù)整次冪項(xiàng)組成的級數(shù)的唯一性，可以用別可以用別的方法，特別是代數(shù)運(yùn)算，代換，求導(dǎo)和積分等方法去展開,那么將會(huì)簡便得多，像上例兩種方法相比，其繁簡程度不可同日而語。因此，以后在求函數(shù)的洛朗展開式時(shí)，通常不用公式去求系數(shù)，而像求函數(shù)的泰勒展開式那樣采用間接展開法。第102頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月xyO1xyO12xyO2在圓環(huán)域：例1函數(shù)iii)2<|z|<+；i)0<|z|<1；ii)1<|z|<2；內(nèi)處處解析,試把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。第103頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月[解]先把f(z)用部分分式表示：i)在0<|z|<1內(nèi)；由于|z|<1，從而，所以結(jié)果中不含有z的負(fù)冪項(xiàng)，原因在于在z=0處是解析的。第104頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月ii)在1<|z|<2內(nèi)，由于，則，又因?yàn)閺亩?，因此有[解]先把f(z)用部分分式表示：第105頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月iii)

在2<|z|<+內(nèi)，由于,所以，并因此有，所以有[解]先把f(z)用部分分式表示：第106頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月在圓環(huán)域：例函數(shù)iii)0<|z-2|<1；i)0<|z-1|<1；ii)1<|z-1|<+；內(nèi)處處解析,試把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。iv)1<|z-2|<+；[解]先把f(z)用部分分式表示：第107頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月[解]先把f(z)用部分分式表示：i)在0<|z-1|<1內(nèi)，由于|z-1|<1，所以第108頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月ii)在1<|z-1|<+內(nèi)，由于，則，有[解]先把f(z)用部分分式表示：第109頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月iii)在0<|z-2|<1內(nèi)，由于，則[解]先把f(z)用部分分式表示：第110頁，課件共121頁，創(chuàng)作于2023年2月iv)在1