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第三節(jié)齊次方程如果一階微分方程:的方程,就稱它為齊次方程.可化成形式為例如:它可化為齊次微分方程通解的求法:

1.我們可以設(shè)u=y/x,將方程化為可分離變量的方程在計(jì)算出等式左邊的積分后,再將y/x代替u得到結(jié)果.如果φ(u)-u=0有實(shí)數(shù)根的話,則應(yīng)該補(bǔ)上.例1求解方程有三個(gè)根u=0,u=1,u=-1它們對(duì)應(yīng)y=0,y=x,y=-x代入上面的解,都是C=0.如果允許C=0,則就可以不考慮被丟的解.例2求解方程:二.可化為齊次的方程可采用可分離變量微分方程進(jìn)行計(jì)算.(1)例3求微分方程的通解(2)解方程組:求出解x=α,y=β,令u=x-α,v=y-β,du=dx,dv=dy利用齊次方程的方法例4求解方程分析:本方程的系數(shù)為利用解方程的形式:

三能直接化為可分離變量的方程除齊次方程外,究竟什么樣的方程能通過(guò)變量代換化為可分離變量的方程,以及用什么樣的變量代換,并沒(méi)有一般規(guī)律可循,需要根據(jù)具體情況分析.

分析:此方程既不是可分離變量的方程,也不是齊次方程(當(dāng)然也不屬于線性或全微分方程).把方程寫成如下形式發(fā)現(xiàn)方程的右端分子和分母都含有xy的一次式,我們作變量代換z=xy,例5求微分方程:(y+xy2)dx+(x-x2y)dy=0的通解.從此例可見(jiàn),形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的微分方程,可通過(guò)變量代換z=xy,把它化為可分離變量的方程.(y+xy2)dx+(x-x2y)dy=0例6求微分方程的通解分析:把方程改寫成這是原方程的通解.這不是可分離變量的方程,也不是齊次方程或其他已知類型的方程從方程的右端可看出,若作變量代換x+y=z上面我們研究的微分方程都是歸納為可分離變量的微分方程.

首先我們介紹了直接可分離變量的方程:例如:g(y)dx+f(x)dy=0的形式.這可通過(guò)恒等變換,把方程的兩邊變成:再把等式兩端分別求不定積分,就得到其通解.

(二)通過(guò)簡(jiǎn)單變量代換能化為可分離變量的方程.這類方程可通過(guò)變量代換y=ux化為可分離變量的方程.2.其他可化為可分離變量的方程如果則可令u=a1x+b1y,化為可分離變量的方程;如果c1=c2=0,則把方程直接變成齊次方程計(jì)算.則求出a1x+b1y+c1=0,a2x+b2

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