專題06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)隱零點(diǎn)問題（精講）（原卷版）

專題06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、隱零點(diǎn)問題知識歸納知識歸納函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．（2）三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點(diǎn)．函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．隱零點(diǎn)若為函數(shù)的零點(diǎn)，但無法精確求解，則稱為隱藏的零點(diǎn)，即隱零點(diǎn).有些函數(shù)的零點(diǎn)表面上看不可求，但結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上可以求出，這類零點(diǎn)不能稱為隱零點(diǎn).例如，不能稱為函數(shù)的隱零點(diǎn).1、不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題已知不含參函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有：①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.2、含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).“隱零點(diǎn)”問題：求解導(dǎo)數(shù)壓軸題時(shí)，如果題干中未提及零點(diǎn)或零點(diǎn)不明確，依據(jù)有關(guān)理論（如函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理）或函數(shù)的圖象，能夠判斷出零點(diǎn)確實(shí)存在，但是無法直接求出，不妨稱之為隱性零點(diǎn).我們一般可對零點(diǎn)“設(shè)而不求”，通過一種整體的代換和過渡，再結(jié)合其他條件，從而最終解決問題．我們稱這類問題為隱零點(diǎn)”問題（零點(diǎn)大小確定的叫“顯零點(diǎn)”）．處理此類問題的策略可考慮“函數(shù)零點(diǎn)存在定理”、“構(gòu)造函數(shù)”、利用“函數(shù)方程思想”轉(zhuǎn)化等，從操作步驟看，可遵循如下處理方法：第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程，并結(jié)合的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍；這里應(yīng)注意，確定隱性零點(diǎn)范圍的方式是多種多樣的，可以由零點(diǎn)的存在性定理確定，也可以由函數(shù)的圖象特征得到，甚至可以由題設(shè)直接得到，等等；至于隱性零點(diǎn)范圍精確到多少，由所求解問題決定，因此必要時(shí)盡可能縮小其范圍；第二步：以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到的最值表達(dá)式；這里應(yīng)注意，進(jìn)行代數(shù)式的替換過程中，盡可能將目標(biāo)式變形為整式或分式，那么就需要盡可能將指、對數(shù)函數(shù)式用有理式替換，這是能否繼續(xù)深入的關(guān)鍵；第三步：將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡證明；有時(shí)候第一步中的零點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮小．導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)雖然隱形，但只要抓住特征(零點(diǎn)方程)，判斷其范圍(用零點(diǎn)存在性定理)，最后整體代入即可．（即注意零點(diǎn)的范圍和性質(zhì)特征）題型歸納題型歸納題型一判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)題型二證明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題題型三根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍考點(diǎn)四與零點(diǎn)有關(guān)的不等式問題題型五導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問題題型分類題型分類題型一判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)例1：已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).例2：設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．例3：已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求切線的方程；(2)判斷在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.【方法小結(jié)】1、判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法(1)直接研究函數(shù),求出極值以及最值,畫出草圖．函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．(2)分離出參數(shù),轉(zhuǎn)化為a＝g(x),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識求出函數(shù)g(x)在某區(qū)間的單調(diào)性,求出極值以及最值,畫出草圖．函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是直線y＝a與函數(shù)y＝g(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．只需要用a與函數(shù)g(x)的極值和最值進(jìn)行比較即可．2、處理函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖像的交點(diǎn)問題的常用方法(1)數(shù)形結(jié)合,即分別作出兩函數(shù)的圖像,觀察交點(diǎn)情況;(2)將函數(shù)交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程f(x)=g(x)根的個(gè)數(shù)問題,也通過構(gòu)造函數(shù)y=f(x)-g(x),把交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值,并作出草圖,根據(jù)草圖確定根的情況.題型二證明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題例4：已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b的值；(2)若，證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)．例5：已知函數(shù)，.(1)當(dāng)函數(shù)與函數(shù)圖像的公切線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值集合；(2)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).例6：已知函數(shù).(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)當(dāng)，且時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).題型三根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍例7：已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí),求的最大值；（2）若恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍．例8：已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．例9：已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為4，且在處取得極值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．例10：已知函數(shù)在處取得極值7.(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)性及極值；(3)若關(guān)于的方程在上恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.【方法小結(jié)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的兩種方法1.直接法：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,通常先確定函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性寫出極值及相關(guān)端點(diǎn)值的范圍,然后根據(jù)極值及端點(diǎn)值的正負(fù)建立不等式或不等式組求參數(shù)范圍；2.分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù),然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值,根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍,分離參數(shù)法適用條件：(1)參數(shù)能夠分類出來；(2)分離以后構(gòu)造的新函數(shù),性質(zhì)比較容易確定.考點(diǎn)四與零點(diǎn)有關(guān)的不等式問題例11：已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)求證：（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.例12：已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．例13：已知函數(shù)在（為自然對數(shù)的底數(shù)）時(shí)取得極值，且有兩個(gè)零點(diǎn)，．(1)求實(shí)數(shù)的值，以及實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：．例14：已知函數(shù)（為非零常數(shù)），若有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：．【方法小結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).題型五導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問題例15：已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：函數(shù)的圖象在x軸上方.例16：已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí),求的極值；（2）當(dāng)時(shí),,求整數(shù)的最大值．例17：已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若對任意，都有（e為自然對數(shù)的底），求證：．例18：已知函數(shù)(1)若求的極值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.例19：已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【方法小結(jié)】1.函數(shù)零點(diǎn)按是否可求精確解可以分為兩類：一類是數(shù)值上能精確求解的,稱之為“顯零點(diǎn)”；另一類是能夠判斷其存在但無法直接表示的,稱