蘇教版七年級下冊數(shù)學(xué)認識三角形(提高)知識點整理及重點題型梳理

蘇教版七年級下冊數(shù)學(xué)[認識三角形(提高)知識點整理及重點題型梳理]

蘇教版七年級下冊數(shù)學(xué)重點突破：認識三角形學(xué)習(xí)目標：1.理解三角形及與三角形有關(guān)的概念，掌握它們的文字、符號語言及圖形表述方法。2.理解并應(yīng)用三角形三邊間的關(guān)系。3.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，學(xué)會它們的畫法。4.認識三角形的穩(wěn)定性，知道這個性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用。要點梳理：要點一：三角形的定義三角形是由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形。三角形的基本元素包括三角形的邊、角和頂點。三角形的表示用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”。注意單獨的△沒有意義。三角形的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示。邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示。要點二：三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊。推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊。這個定理的理論依據(jù)是兩點之間線段最短。三邊關(guān)系的應(yīng)用可以判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形。當(dāng)已知三角形兩邊長時，可以求第三邊長的取值范圍。此外，還可以證明線段之間的不等關(guān)系。要點三：三角形的分類與三角形有關(guān)的線段可以按照角或邊分類。按角分類：-直角三角形-銳角三角形-鈍角三角形按邊分類：-不等邊三角形-底邊和腰不相等的等腰三角形-等邊三角形不等邊三角形的三邊都不相等，等腰三角形有兩條邊相等，等邊三角形的三邊都相等。對于銳角三角形，三個內(nèi)角都是銳角；對于鈍角三角形，有一個內(nèi)角為鈍角。在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫底角。三角形的穩(wěn)定性是指在確定三角形的三條邊之后，三角形的形狀和大小就不會發(fā)生改變。這個性質(zhì)非常重要，因為它保證了我們在研究三角形的性質(zhì)和特征時，可以基于固定的形狀和大小進行分析。換句話說，如果我們知道一個三角形的三條邊長，那么我們就可以確定它的形狀和大小，而不需要考慮其他因素的影響。這也為我們研究三角形的各種性質(zhì)和定理提供了便利。舉例來說，如果我們知道一個三角形的三條邊長分別為3、4、5，那么我們就可以確定它是一個直角三角形，因為32+42=52。而無論這個三角形是由什么材料制成的、它的顏色和紋理如何，它的形狀和大小都是確定的，不會發(fā)生變化。因此，三角形的穩(wěn)定性是我們研究三角形的基礎(chǔ)，也是我們能夠得出各種重要結(jié)論的前提。(1)請說明OB+OC＜AB+AC的原因。解：如圖所示，延長BO交AC于點E，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC。將兩個不等式相加，得到AB+AE+OE+EC＞BE+OC。根據(jù)圖中所示，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE，所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC。(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能列出OB+OC的取值范圍嗎？解：因為OB+OC＞BC，所以O(shè)B+OC＞7。又因為OB+OC＜AB+AC，所以O(shè)B+OC＜11。因此，7＜OB+OC＜11。舉一反三：【變式】若五條線段的長度分別為1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，則以其中三條線段為邊可構(gòu)成______個三角形?！窘馕觥坑捎诓煌娜龡l線段組合可以構(gòu)成不同的三角形，因此需要分別列舉出所有的組合，并判斷是否能夠構(gòu)成三角形。可以利用組合數(shù)學(xué)的知識，即C(5,3)＝10，表示從5個數(shù)中選出3個數(shù)的組合數(shù)。因此，以其中三條線段為邊可構(gòu)成10個三角形。4.在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，求三角形的各邊長。解析：由于中線BD的端點D是AC邊的中點，所以AD＝CD。造成兩部分不等的原因是BC邊與AB、AC邊不等，因此需要分類討論。(1)若AB+AD＝12，即x＋1/2x＝12，解得x＝8，即AB＝AC＝8，則CD＝4。因此，BC＝15-4＝11。此時AB+AC＞BC，所以三邊長為8，8，11。(2)若AB+AD＝15，即x＋1/2x＝15，解得x＝10，即AB＝AC＝10，則CD＝5。因此，BC＝12-5＝7。顯然此時三角形存在，所以三邊長為10，10，7。綜上所述，此三角形的三邊長分別為8，8，11或10，10，7。舉一反三：【變式】（2015春?灤平縣期末）如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線。(1)猜想：△ABD與△ADC的面積有何關(guān)系？并簡要說明理由；(2)在△BED中作BD邊上的高；(3)若△ABC的面積為40，BD=5，則△BDE中BD邊上的高為多少？【解析】(1)由于AD為△ABC的中線，所以AD＝CD，又因為BE為△ABD的中線，所以BE＝DE，因此△ABD與△ADC的面積相等。(2)如圖所示，在△BED中作BD邊上的高，設(shè)高為h，則由△ABD與△ADC的面積相等可得：1/2×AD×BE＝1/2×CD×DE1/2×AD×BE＝1/2×AD×(BD-h)BE＝BD-h因此，h＝BD-BE＝5-3＝2。(3)由于AD為△ABC的中線，所以AD＝CD＝BC/2，因此BC＝2×AD＝2×5＝10。由△ABC的面積為40可得：1/2×BC×AD＝40AD×5＝16AD＝16/5因此，BD＝2×AD＝32/5。根據(jù)(2)可得△BDE中BD邊上的高為2。(1)證明△ABD與△ADC的面積相等。作AF⊥BC，由于BD=DC且AF=AF，因此△ABD與△ADC的面積相等。(2)根據(jù)圖2作圖。(3)由于△ABC的面積為40，BD=5，因此△ABD的面積為20。又因為BE為△ABD的中線，所以△BDE的面積為10。因此，△BDE中BD邊上的高為4。對于衣帽架的穩(wěn)定性，它是利用四邊形的不穩(wěn)定性來實現(xiàn)收縮，可以通過改變掛鉤間的距離來實現(xiàn)。為了固定衣帽架，只需要選擇