2022～2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)高考 圓錐曲線綜合中點(diǎn)弦問(wèn)題【含答案】

2022~2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)高考專題圓錐曲線綜合中點(diǎn)弦問(wèn)題

一、單選題

X2V2

E:三+彳=1（〃>力>0）

1.（2022?云南?景東彝族自治縣高三階段練習(xí)）已知橢圓/匕的左焦點(diǎn)為尸，離

2

心率為S.過(guò)點(diǎn)尸作直線與橢圓E交于力，B兩點(diǎn),與直線y=-2x交于點(diǎn)P,若P恰好是48的中

點(diǎn)，則直線/的斜率為（）

521歷2

A.2B.50C.5D.5

2

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）點(diǎn)月，鳥(niǎo)是曲線C：3,=一1的左右焦點(diǎn)，過(guò)耳作互相垂直的兩

條直線分別與曲線交于48和C,D；線段。的中點(diǎn)分別為"，N,直線優(yōu)與x軸垂直且

點(diǎn)G在C上.若以G為圓心的圓與直線MN恒有公共點(diǎn)，則圓面積的最小值為（）

115萬(wàn)767r49-28萬(wàn)

A.3B.3C.3D.3

3.（2022?安徽淮北?一模（文））已知拋物線『=2px（p>0）的焦點(diǎn)”2,0）,過(guò)焦點(diǎn)廠的直線交拋

物線于48兩點(diǎn)，若加（叫2）是線段，8的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.p=4B.準(zhǔn)線方程為x=-2

c|力a=1。

D.點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為6

一+—=9

4.（2022?湖南長(zhǎng)沙?高三階段練習(xí)）己知〃?，〃，s,f為正數(shù)，"?+"=4st，其中〃〃

-----------=1

是常數(shù)，且s+z的最小值是9,點(diǎn)M（〃v0是曲線82的一條弦的中點(diǎn)，則弦Z6所在直線

方程為（）

A.x~4y+6=0B.4x—y—6=0

C.4x+廠10=0D.x+4y-l°=°

5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①直線"=《*+2）與曲線'=川一/有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為L(zhǎng)'6；

②若動(dòng)點(diǎn)P（x/）滿足』+2『+b7（x-2）2+r=2,則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；

X2y2

③點(diǎn)6,凡為橢圓/+5一""''>°）的左、右焦點(diǎn)，且橢圓上存在點(diǎn)尸使得I尸?=3|尸尸/,則橢

[-,1）

圓的離心率的取值范圍為2；

x21y2_1

④點(diǎn)￡為橢圓石十而二的右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)”（L3）,則1尸工仔1尸”1的最小值為

5；

22

—z-+-^-r-=l（a>6>0）

⑤斜率為2的直線與橢圓/b2交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)”為的中點(diǎn)，直線的斜

1V2

一（°---

率為4為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為2.

A.1B.2C.3D.4

%1+￡=1

6.（2022?內(nèi)蒙古赤峰?高三期末（文））若橢圓記+9一的弦被點(diǎn)（2』）平分，則這條弦所在的直

線方程是（）

Ax-2y=0B3x+y-7=0

Qx+2y-4=0D9x+8y-26=0

7.（2022?江蘇蘇州?高三期末）若斜率為％/>°）的直線與拋物線V=4x和圓

〃：（工_5）2+歹2=9分別交于48和。,。兩點(diǎn)，且4C=8O,則當(dāng)△“8面積最大時(shí)人的值為

（）

A.B.&C.2D.2及

8.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）橢圓C：">+〃夕'I與直線夕=1一瓜交于河、"兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與

2m

線段"N中點(diǎn)的直線的斜率為3,則%的值為（）

也2G

A.2B.~2T~

972273

C.2D.亍

V2V2

CI—--T-=1（〃>0,/）>0）

9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知斜率為的直線與雙曲線a~b相交于A、

8兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，48的中點(diǎn)為尸，若直線°尸的斜率為2,則雙曲線C的離心率為（）

A.6B.2C.#D.

T+J1八

10.（寧夏?石嘴山市高三階段練習(xí)（文））已知橢圓84,直線不過(guò)原點(diǎn)°且不平行于坐

標(biāo)軸，與C有兩個(gè)交點(diǎn)48,線段的中點(diǎn)為則。"的斜率與直線的斜率的乘積（）

A.-1B.1C.2D.2

22

C:——+—l（a>6>0）

11.（昌吉?高三階段練習(xí)（文））過(guò)橢圓。一匕右焦點(diǎn)廠的直線

/:x-y-G=°交c于/,8兩點(diǎn)，尸為的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OP的斜率為4,則橢圓

C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

X--=1

12.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)"（LD作直線/與雙曲線2交于P,。兩點(diǎn)，且使得

才是2°的中點(diǎn)，直線/方程為（）

A.2x-y-l=°B.2x+y-3=0C.x=lD.不存在

13.（全國(guó)?高三專題練習(xí)）若橢圓的中心為原點(diǎn)，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)尸（一2,0）的直線/與橢圓交于A,

8兩點(diǎn)，己知的中點(diǎn)為,則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）

A.2aB.4

4出873

C.3D.3

二、多選題

14.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)/°）的直線/與拋物線C：

/=2px（p>0）交于8兩點(diǎn)，點(diǎn)"&，％）（"。）為線段的中點(diǎn)，且網(wǎng),則下列結(jié)

論正確的為（）

A.N為的外心B.〃可以為C的焦點(diǎn)

1

C./的斜率為外D.%可以小于2

15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓Us2+爐=1與直線片*+1交于A、8兩點(diǎn)，且

3,133J為48的中點(diǎn)，若尸是直線上的點(diǎn)，則（）

立

A.橢圓C的離心率為2B.橢圓C的短軸長(zhǎng)為6

C.OAOB^-3D.P到C的兩焦點(diǎn)距離之差的最大值為2&

16.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，斜率為的直線交拋物線于A、

B兩點(diǎn)，則（）

A.拋物線C的推線方程為x=l

B.線段的中點(diǎn)在直線），=2上

C.若網(wǎng)=8,則q5的面積為2/

D.以線段/尸為直徑的圓一定與〉軸相切

17.（河北衡水中學(xué)高三階段練習(xí)）黃金分割是一種數(shù)學(xué)上的比例，是自然的數(shù)美.黃金分割具有

嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.應(yīng)用時(shí)一般取0.618.將離心率為黃金

.\/5—1V5+1

1,-------------

比,2的倒數(shù)，即/=2的雙曲線稱為黃金雙曲線，若。，人，分別是實(shí)半軸、虛半軸、半

焦距的長(zhǎng)，則對(duì)黃金雙曲線，下列說(shuō)法正確的有（）

/y21

A.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為2°

B.若雙曲線的弦E尸的中點(diǎn)為“，則金1

C.“力，。成等比數(shù)列

D.雙曲線的右頂點(diǎn)“a°）,上頂點(diǎn)8（0力）和左焦點(diǎn)P（-c，°）構(gòu)成的/是直角三角形

~r+4*=1（4>6>0）c"c

18.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：〃a.的上下焦點(diǎn)分別為々，心，且

焦距為2c,離心率為e.直線/：V=b+c（keR）與橢圓交于8兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有

（）

A.若的最小值為3c,貝丁一萬(wàn)B.g的周長(zhǎng)為4“

/32[vs]koM，k=W

C.若"牛/%=3c,則e的取值范圍為L(zhǎng)'勺D.若48的中點(diǎn)為M,則'/

225

:與+q=15>6>0）—

19.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓優(yōu)b-的離心率為2,的三個(gè)頂

點(diǎn)都在橢圓上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)它的三條邊工8,BC,NC的中點(diǎn)分別為。，E,F,且三條邊

所在直線的斜率分別占，&,自，且尢，右，七均不為，則（）

A.a2:b2=2

B.直線48與直線0。的斜率之積為-2

C.直線8c與直線0E的斜率之積為一5

111

——+—十—

D.若直線°。,0E,”■的斜率之和為，則k\k]k、的值為-2

三、填空題

20.（2023,全國(guó)?高三專題練習(xí)）以'（2，1）為中點(diǎn)的雙曲線C：2x2-V=2的弦所在直線的方程為

21.（2022?北京二中高三階段練習(xí)）己知48是拋物線C：V=4x上的兩點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)為

加（2,2）,則直線AB的方程為.

x2y2

—-2_=i（a>o,Z>>O）

22.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）雙曲線E：a-b2被斜率為4的直線截得的弦

48的中點(diǎn)為（24）'則雙曲線￡的離心率為.

J,21I

---F廣=1.L

23.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）橢圓4，則該橢圓所有斜率為2的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為

^.￡=1

24.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若雙曲線3上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線/號(hào)=丘+4/>。）對(duì)稱,

則實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

四、解答題

[414+4=1（a>/,>0）

25.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)I在橢圓C：。從±,

直線/：v=x+機(jī)與C交于48兩點(diǎn)，且線段N8的中點(diǎn)為"，直線aw的斜率為一萬(wàn).

（1）求C的方程；

（2）若加=1,試問(wèn)C上是否存在P,。兩點(diǎn)關(guān)于/對(duì)稱，若存在，求出尸，。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

26.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，己知楠圓2+>一，拋物線。2：3?=20武「>0）,點(diǎn)/

是橢圓G與拋物線G的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4的直線/交橢圓G于點(diǎn)以交拋物線于〃不同于

/).

（1）若'一書(shū)，求拋物線G的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線/使"為線段的中點(diǎn)，求p的最大值.

27.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知拋物線C：/=2川（。>0）與直線y=x+2相切.

（1）求C的方程；

\PA\=—\AB

（2）過(guò)C的焦點(diǎn)廠的直線/與C交于4,8兩點(diǎn)，的中垂線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)尸，若??2?

求/的方程.

28.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：4',過(guò)點(diǎn)"。/）的直線/與雙曲線c相交

于N,8兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）判斷點(diǎn)P能否為線段Z8的中點(diǎn)，說(shuō)明理由

k+k=-

（2）若直線。8的斜率分別記為心"，ko?,且“""5,求直線/的方程

29.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知曲線「上一動(dòng)點(diǎn)尸到兩定點(diǎn)耳（°’一2）,8（°，2）的距離之和為

4亞,過(guò)點(diǎn)°（T°）的直線c與曲線「相交于點(diǎn)”國(guó)必），鞏%，%）.

（1）求曲線「的方程；

⑵動(dòng)弦力8滿足：AM=MB,求點(diǎn)”的軌跡方程；

30.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知曲線C的方程為V=4x（x>0）,曲線E是以片（一1，°）、

瑪（L°）為焦點(diǎn)的橢圓，點(diǎn)尸為曲線C與曲線E在第一象限的交點(diǎn)，且?213.

（1）求曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓E相交于/、B兩點(diǎn),若的中點(diǎn)M在曲線C上，求直線的斜率力的取值范圍.

c.xt+/=1

31.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓43一的一個(gè)焦點(diǎn)為尸（L°）,過(guò)點(diǎn)尸（4，°）且與

x軸不重合的直線與橢圓C交于4B兩點(diǎn)

4

（1）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為亍，求直線的方程：

（2）設(shè)直線18與直線x=l交于點(diǎn)。，點(diǎn)“滿足MVx軸，軸，試求直線M4的斜率與直線

〃。的斜率的比值.

x2y2

F￡7-7"I亍=1（。>■人>0）p

32.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)小心分別是橢圓b2的左、右焦點(diǎn)，過(guò)《斜

率為1的直線與E相交于48兩點(diǎn)，且2與1，1/8|,|8g|成等差數(shù)列.

（1）求。與6的等量關(guān)系；

⑵設(shè)點(diǎn)尸（°'一1）滿足陷=閥，求E的方程.

33.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知拋物線°：/=2川5>0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且斜率為1的直

線與拋物線C交于48兩點(diǎn)，且48的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.求C的方程.

x2y2_

34.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓/,，過(guò)右焦點(diǎn)￡（二°）的直線交橢圓子

A、B,且"（LT）是線段N8的中點(diǎn)，耳是橢圓左焦點(diǎn)，求A耳48的面積.

專題圓錐曲線綜合中點(diǎn)弦問(wèn)題

一、單選題

1.B

【分析】設(shè)橢圓焦距為2c,再設(shè)出'（玉，乂），86，力）1（％，比）三點(diǎn)，由比=-2%,

%-%=-,2_212

個(gè)2b=—a

通過(guò)計(jì)算可得到演一%2a,進(jìn)而得到25,即可解得斜率.

￡_2

【詳解】設(shè)橢圓焦距為2。，所以“一5.

設(shè)”（A必）,8。2，%），尸。0,打），則K=-2x°

+

2

%

+-=1x；x；?療一￡=0

，由兩式相減可得/P

（西+》2）（占一々）?（必+必）（%一為）_0

即a*2b2~,

根據(jù)條件可得：項(xiàng)+》2=2工0，%+%=2%,

2x0（Xi-x2）2y0（yi-y2）

zIZ-V

故。b2

?--_.

由No=-2x°,可得X］一,

）

c2=—4a2b?~*=—21a~2

因?yàn)?5，所以25,

,b221

k=—7=—

即直線的斜率為2a250.

故選：B.

2.B

.cCDx=―——2

【分析】討論“鳳8斜率，斜率存在時(shí)設(shè)"8n:x=0-2、k聯(lián)立曲線C,應(yīng)用韋達(dá)定

理求線段48,8的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定"N的方程，可得MN過(guò)定點(diǎn)尸（-3,0）,若以G為圓心的圓

半徑為，只需保證八4GPF可滿足圓與直線恒有公共點(diǎn)，即得面積最小值.

kA09±—9±y/i-CD，x=---2

【詳解】當(dāng)直線"凡8斜率均存在時(shí)，令"8:x=?-2且〔3J,則’k

聯(lián)立48與曲線c并整理得：（/-3）--4@+1=0,

4k

且A=16/一4（公-3）=12（公+1）＞0,貝產(chǎn)+%=PT5

4kz，1262k、

所以…-4=—；M（―,—）

A-2-3k'-3,故k2-3k2-3,

（喀）/+與+1=。

聯(lián)立8與曲線C并整理得：匕k

4k\2k26k22k、

同理，-+%=3公7,%+而=1-3,,可得（1-3公'33-1）,

直線MN:2kx+3（\-k2）y+6k=0故A/N過(guò)定點(diǎn)P（-3,0）

當(dāng)直線”8,8中一條的斜率不存在時(shí)，號(hào)AB:x=-2,則C0:y=0,

所以M（-2,0）,N（0,0）,故MN:y=0過(guò)戶（一3,0）

G（2,±=）

而3,要使以G為圓心的圓與直線MN恒有公共點(diǎn)，且圓面積最小,

r2>|GP|2=——

若圓的半徑為，只需3恒成立，故圓最小面積為3

故選：B

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：討論直線48,8斜率，設(shè)直線方程聯(lián)立曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求線段中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)

而確定MN的方程，得到"N過(guò)定點(diǎn)2-3,0）,根據(jù)恒有公共點(diǎn)有圓半徑為，只需保證恒成

立即可.

3.D

【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可求出。的值和準(zhǔn)線方程，從而可判斷AB,利用點(diǎn)差法可求出直線的斜率，從

而可求出直線的方程，可求出?目和“到準(zhǔn)線的距離，可判斷CD

【詳解】因?yàn)閽佄锞€V=2Px（P>0）的焦點(diǎn)b（2,0）,

P=2…

所以2,得。=4,準(zhǔn)線方程為x=-2,拋物線方程為廣=8x,所以AB正確，

設(shè)”（為,必）,8（々,％）,則凹2=跖，為z=g,兩式相減得%2-靖=8（當(dāng)一王），

%-必_8=8,2

所以（%+乂）（了2-必）=8（々—xj,所以々-X]y2+yx4,

所以直線的斜率為2,所以直線的方程為、=2（X-2）,代入拋物線方程整理得

X2-6X+4=0,所以西+馬=6,所以網(wǎng)=X|+w+P=l。,所以c正確,

=3

由陽(yáng)+占=6,得2一，所以“（3,2）,所以點(diǎn)”到準(zhǔn)線的距離為5,所以D錯(cuò)誤，

故選：D

4.A

mn

—I——9

【分析】由已知St求出s+f取得最小值時(shí)也"滿足的條件，再結(jié)合根+〃=4求出見(jiàn)〃，再用

點(diǎn)差法求出直線的斜率，從而得直線方程.

1/八/冽〃、1/nsmt[—、8

s+/=—(s+1)\—I—)=-{jn4---1---F〃)2—\i7i+〃+27mn)=一

【詳解】?；9st9ts99,

ns_mt

當(dāng)且僅當(dāng)，-s,即J￡=J嬴取等號(hào)，

...〃?+〃+2/嬴=8,又加+〃=4,又也〃為正數(shù)，

=2

???可解得〔〃=2

2

再

-8

2

互

8

設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為（芭，凹），（々，力），則

（再+》2）（占一%）（必+%）（%一%）,0

兩式相減得82-，

...玉+工2=4,必+了2=4,

/：-X2&+x?）_1

...再-匕8（兇+%）4.

y—2=一（X—2）.,

直線方程為.4,即》-紂+6=0n.

故選：A.

5.D

【分析】對(duì)于①利用數(shù)形結(jié)合先求出曲線了二位：與直線y=?x+2）有公共點(diǎn)時(shí)斜率的范圍，

再由斜率與傾斜角的關(guān)系判斷；對(duì)于②由雙曲線的定義可判斷；對(duì)于③，由橢圓的定義結(jié)合條件可

得2,根據(jù)范圍可判斷；對(duì)于④，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為片，由橢圓的定義可得

|RW|+1P鳥(niǎo)|=10-（|尸用-1R"|）,結(jié)合兩點(diǎn)距離直線最短原理可判斷；對(duì)于⑤由點(diǎn)差法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)

公式可得出標(biāo)的值，從而得出離心率，進(jìn)而可判斷.

【詳解】解：對(duì)于①，直線"=?x+2）恒過(guò)定點(diǎn)（-2,0）,

曲線v=表示圓心為原點(diǎn)，半徑為1的上半圓，如圖1,由直線經(jīng)過(guò)圓心，可得％=0；

小粵=1kJLA

由直線和圓相切，可得S+爐，解得3（負(fù)的舍去），所以％的范圍是10,3,

[0,-]

則直線的傾斜角的取值范圍為6,故①正確；

對(duì)于②，若動(dòng)點(diǎn)尸區(qū)仍滿足上+2>+人-4-2）2+人=2,

即P與兩點(diǎn)4（-2,0）,8（2,0）的距離的差為2,因?yàn)?/p>

所以戶的軌跡為以A,3為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③,由橢圓的定義可得闿出叫=2。，又|尸耳=3|尸網(wǎng):解得“=5,

,Jcr1

a-c^—^a+c-e=—e\—-

設(shè)橢圓的半焦距為，可得2,即有破2c,所以?2,1）,故③正確：

對(duì)于④，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為耳，如圖2,由橢圓的定義可得1戶用+1尸乙卜2°=10,

由“在橢圓內(nèi)，I1+1l=lO-（l^HI^|）>10-|/<M|=10-7（l+3）2+（3-0）2=10-5=5

當(dāng)且僅當(dāng)尸，耳，”共線時(shí)，1P8I+IPMI取得最小值5,故④正確;

V,KI+必I]

對(duì)于⑤，設(shè)心，%），的2,%），可得/b2,a2b2

區(qū)—-）（一+，）=（乂一%）（必+—2）

兩式相減可得/〃，

.一..=2”盧+X?乂+乃）乂+%=」

由題意可得看一々，且’2,2,芭+24,

所以4=2TT,則七4,故⑤正確.

6.D

【分析】設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，作差可得斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案.

r詳解】設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為Aa‘必）’8（、2，力）.

—+=1,—4-=1

則169169,

a--）（*+X?）（乂-%）（乂+%）

兩式作差可得：16-9

必一二二9（為+十）=9x4=9上

AS

Xj-x216（%+必）16x28

9

即弦所在直線的斜率為一直線方程為

整理得：9x+8y-26=0

故選:D.

7.D

【分析】由條件可得45的中點(diǎn)與8的中點(diǎn)重合，設(shè)此點(diǎn)為P,貝1J5^忖8=19四02一加尸4,求出

當(dāng)面積最大時(shí)的長(zhǎng)，結(jié)合此時(shí)列出不等式，解出必+必，得出答案.

【詳解】AC=BD,則的中點(diǎn)與8的中點(diǎn)重合，設(shè)此點(diǎn)為P,

S&MCD=；.CD.MP=g.2^9-MP1-MP=49Mp2-MP&

MP2=-MP=—

當(dāng)2時(shí)，％”。取最大值，2,

p1演+匕必+%)

令小士,%),8每,”)，I2'2MPLAB,

4

AB~~22

$一當(dāng)y)__y2_必+%

44

y+%

2-21Z2i=_]

X1+》2—5-^1~X2X]+*2_5

，得丁

由

\MP\=lfw_5Y+(ZL±2Z==^1

1

Hlvl2)4\42,得%+為=0

.k一乂一4一后

..KAB—_22-,一乙7乙

%一/2L_A必+%

44,

故選：D.

8.D

m

【分析】設(shè)點(diǎn)“（占'必）、N?，為），利用點(diǎn)差法可求得7的值.

A±A-o,、

2X+%=2

X+x0X,+x23=2izA=_6

【詳解】設(shè)點(diǎn)“''必）、*（%，%）,t2

由已知可得2西一看

才一代=2百

22o

上述兩個(gè)等式相乘得%一%3

221

mx\+〃必=1

由已知可得【函+"￡=、兩式作差得）+〃?：-只）=o.

m_yf-y；_2g

所以，"x；-x-3

故選：D.

9.A

￡e=fX

【分析】利用點(diǎn)差法可求得/的值，結(jié)合,-丫+/可求得雙曲線C的離心率的值.

’22

工_"=1

,a2b2

【詳解】設(shè)（”，）、（2,%）、（o，。），則I。b,

片一考y,-y2=b^__xt+x2

兩式相減得/-b2，所以為一%/必+%.

2

yt-y2=bx0

因?yàn)閄|+X2=2X。，必+%=2%，所以芭_(tái)占/R.

?="=1%=1=2Q=］與=2

因?yàn)闉?馬，/，所以2/，故M

故選：A.

10.D

【分析】根據(jù)題意設(shè)直線方程為＞=.+分，"（%,必）,8（%,8），進(jìn)而聯(lián)立方程求解中點(diǎn)用的坐標(biāo),

計(jì)算斜率乘積即可.

【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)直線方程為尸履+J，（X"）8（X2，%）

y=kx+b

22

x~y_

y+Y=得(1+2/*+4kbx+2〃-8=0

由

4kb-2kb

M+X)=-------X=-----7

1+2-Mu1+2公

,,-2k2bLb

y,=kx觴4-D=--------+b=------r

f"1+2421+2-,

,7h71

加'-2kb2

故選：D

11.C

【分析】直線/的方程與橢圓的方程聯(lián)立，設(shè)"（項(xiàng)，必），8。2，%），則有

必+3-鈣閂+*必+為+2后=轉(zhuǎn)（玉+々，乂+必）

a2+b2,求得的中點(diǎn)得出

%=山=￡」一一

王+X?a4,再由a-=b+c,（r=3,可求得％b,Ct從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】解：直線/：x-y-石=。中，令產(chǎn)0,得x=百,所以右焦點(diǎn)尸（6,0）,

芭+.必+%）

設(shè)"（"|），8（乙,外）,則”的中點(diǎn)I2'2人

x-y->j3=0

整理得（1+力+2?2y+3b2-a2b2=0,

聯(lián)立

26—26=篝

%十%=一百'"々=必+%+

a+b

%_必+為一b：「1

2

因?yàn)檎?々a4（所以/=4/,又/=〃+c2,c2=3,

X22_1

---Fy—1

所以〃=4,〃=1,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為4'.

故選：C.

12.D

【分析】設(shè)出點(diǎn)P,0的坐標(biāo)，利用“點(diǎn)差法”求出直線/的斜率并求出其方程，再將直線/與雙曲線

方程聯(lián)立驗(yàn)證即可得解.

x,+x2=2

【詳解】設(shè)點(diǎn)P（X"）°（X2，％）,因點(diǎn)"（LD是P。的中點(diǎn)，則1%+力=2,

J2—

從而有〔2只一只=2,兩式相減得：25+々）區(qū)一》2）-（凹+%）（乂-%）=0,

乂一％.2

即2區(qū)-々）-（"一％）=0,于是得直線/的斜率為%一工，

直線/的方程為：k1=2-1）,即_y=2x-l,

（y=2x-\

由I2x2=2消去y并整理得：2X2-4X+3=0,此時(shí)A=（-4）2-4X2X3=-8<0,即方程組

\y=2x-\

/-/=2無(wú)解，

所以直線/不存在.

故選：D

13.D

【分析】由題意知，再根據(jù)A、B、M、尸的關(guān)系可以求出。、人的關(guān)系，以及橢圓的性質(zhì)可以求

出。，繼而求出長(zhǎng)軸長(zhǎng).

X2y2

【詳解】由焦點(diǎn)尸（一2,0）在x軸上，設(shè)橢圓的方程為/+8（%，%）

.../（X|，x）,8（匕，%）在橢圓上，

X；+必2_1

,4+4=i"+白Lo

???5從作差得a-b2.（*）

MI—1,—J

???直線/過(guò)I2屈尸（-2,0）,且”的中點(diǎn)為M,

...*+々=-2,yt+y2=1_

.。一51乂一%b2y,4-%y,-yb211i

Z1Z27

k,=---^―=-=+為,2?%/2=—+—x-=0護(hù)=上。2

-2-（-1）2X|-±,代入（*）式，得/xi+x2x!-x2-22，即4.

4月86

a—----

又...c=2,c2+b2=a2,解得3,所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3.

故選：D.

二、多選題

14.AC

【分析】由|8N|二|°M可得//。8=90°,即可判斷A選項(xiàng)；設(shè)出直線，聯(lián)立拋物線，由

方?為=°求出P=【，即可判斷B選項(xiàng)；由點(diǎn)差法即可求出/的斜率判斷C選項(xiàng)；求出西+》2即可

判斷D選項(xiàng).

由忸N|=QM=MM可得4。8=90。,則N為"OB的外心,A正確;

易得直線斜率不為0,設(shè)/：》=叼+2,“必）,8（々,%）,聯(lián)立/=2川（2>0）可得

y2-2pmy_4p=0,

xx=g.g=4

△=4/機(jī)2+i6p>0,則M+%=2〃",乂%=-4夕，貝|J32P2P,由NZO8=90°可得

O4OB=0,

__化o]

即陽(yáng)七+開(kāi)力=-42+4=0,則p=l,則焦點(diǎn)為（2人B錯(cuò)誤；

,--2=2=1

由y：=2XQ；=2/作差得（必一%）（必+為）=2（&一%）,即演一馬必+為2%%）,C正確；

_X]+x2_2.?

國(guó)+工2=加（必+%）+4=2/+4,則x°-2-"一,D錯(cuò)誤.

故選：AC.

15.ACD

mb2

【分析】利用點(diǎn)差法可求得7的值，可得出標(biāo)的值，結(jié)合離心率公式可判斷A選項(xiàng)；將直線48的

方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出6的值，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用平

面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合韋達(dá)定理，可判斷C選項(xiàng)；利用對(duì)稱思想結(jié)合三點(diǎn)共線可判斷D選

項(xiàng)的.

<mx；+nyf=1

【詳解】令"（和必）、8（%，%）,則欣+楊=1,

m?必2-芟=0

則機(jī)6-￥）+"（必2-月）=0,則^x；-x廠,

m必一%必+02-0m.

?—4-lx0

則〃為一工2X,+Xn1-+^Aw=o

2,貝!J〃,所以，〃

"-I

m]_>111

所以，幾2,貝ijm<〃m〃，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為加〃

貴=五=

1"2

所以，橢圓C的焦點(diǎn)在X軸上，即m

c2a2-b2,b21e-也

a2a2a22即'-亍，A對(duì);

x2+2y2=2b2

<

橢圓C的方程為X2+2V=261聯(lián)立[y=x+l,

21

消N可得4+32-2/=。，A=16-12（2-2"）=24b2-8>。，可得“

4

X\+X2=一鳥(niǎo)

_2-2b2|Ir-n-----3——r-1168-8b2872

UU[x/2=-j-..\AB\=yl2yl（x^x2）-4X,X2=V2^—-----------=—^―

所以，〃=3,則6=6,所以，橢圓C的短軸長(zhǎng)為26=26,B錯(cuò)；

___4

=xx

OAOB=x}x2+,歹2\2+（再+1）（*2+1）=2$4+（F+/）+]=-yx3+l=-3

C對(duì);

橢圓C的方程為X、2V=6,其標(biāo)準(zhǔn)方程為不+丁=：c=g=6

橢圓c的左焦點(diǎn)為片（M°）,右焦點(diǎn)為Bgo）,如下圖所示:

設(shè)點(diǎn)6關(guān)于直線48的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E（見(jiàn)〃），貝3+6,解得1〃=1一石

即點(diǎn)咱7）,

易知?dú)w用=照|,則II叫TsH叫-陽(yáng)國(guó)陽(yáng)=，儂+1）+（1一可=2日

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸、E、8三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，D對(duì).

故選：ACD.

16.BCD

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與準(zhǔn)線方程的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用點(diǎn)差法可判斷B選項(xiàng)

的正誤；利用弦長(zhǎng)公式以及三角形的面積公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用拋物線的焦半徑公式可判

斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】