福建省寧德市第十三中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

福建省寧德市第十三中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.高三（三）班學(xué)生要安排畢業(yè)晚會的3個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，3個音樂節(jié)目恰有兩個節(jié)目連排，則不同排法的種數(shù)是（）A．240 B．188 C．432 D．288參考答案：D【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】由題意，可先將兩個音樂節(jié)目綁定，與另一個音樂節(jié)目看作兩個元素，全排，由于三個音樂節(jié)目不能連排，故可按一個曲藝節(jié)目在此兩元素之間與不在兩元素之間分成兩類分別記數(shù)，即可得到所有的排法種數(shù)，選出正確選項【解答】解：由題意，可先將兩個音樂節(jié)目綁定，共有=6種方法，再將綁定的兩個節(jié)目看作一個元素與單獨的音樂節(jié)目全排有=2第三步分類，若1個曲藝節(jié)目排在上述兩個元素的中間，則它們隔開了四個空，將兩2個舞蹈節(jié)目插空，共有=12種方法；

若1個曲藝節(jié)目排不在上述兩個元素的中間，則它有兩種排法，此時需要從兩2個舞蹈節(jié)目選出一個放在中間避免3個音樂節(jié)目相連，有兩種選法，最后一個舞蹈節(jié)目有三種放法綜上，所以的不同排法種數(shù)為6×2×（1×12+2×2×3）=288故選D2.四面體D﹣ABC中，BA，BC，BD兩兩垂直，且AB=BC=2，二面角D﹣AC﹣B的大小為60°，則四面體D﹣ABC的體積是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】二面角的平面角及求法．【分析】取AC中點E，連結(jié)BE、DE，則∠BED=60°，由此求出BD=，從而能求出四面體D﹣ABC的體積．【解答】解：如圖，∵面體D﹣ABC中，BA，BC，BD兩兩垂直，且AB=BC=2，∴BD⊥平面ABC，取AC中點E，連結(jié)BE、DE，則BE⊥AC，∴DE⊥AC，∴∠BED是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∵二面角D﹣AC﹣B的大小為60°，∴∠BED=60°，∴∠BDE=30°，∵BE==，（2BE）2=BE2+BD2，解得BD=，∴四面體D﹣ABC的體積：V===．故選：C．3.在正項等比數(shù)列中，和為方程的兩根，則等于

()A．16

B．32 C．64

D．256參考答案：C略4.已知f（n）=1+++…+（n∈N*），計算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此推算：當(dāng)n≥2時，有（）A．f（2n）＞（n∈N*）B．f（2n）＞（n∈N*）C．f（2n）＞（n∈N*）D．f（2n）＞（n∈N*）參考答案：D5.F是雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B．若2=，則C的離心率是（）A． B．2 C． D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)一漸近線OA的方程為y=x，設(shè)A（m，m），B（n，﹣），由2=，求得點A的坐標(biāo)，再由FA⊥OA，斜率之積等于﹣1，求出a2=3b2，代入e==進行運算．【解答】解：由題意得右焦點F（c，0），設(shè)一漸近線OA的方程為y=x，則另一漸近線OB的方程為y=﹣x，設(shè)A（m，），B（n，﹣），∵2=，∴2（c﹣m，﹣）=（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）=n﹣c，﹣=﹣，∴m=c，n=，∴A（，）．由FA⊥OA可得，斜率之積等于﹣1，即?=﹣1，∴a2=3b2，∴e===．故選C．6.在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則（）A. B.C. D.參考答案：B因為，對事件“”，如圖（1）陰影部分，對事件“”，如圖（2）陰影部分，對為事件“”，如圖（3）陰影部分，由圖知，陰影部分的面積從下到大依次是，正方形的面積為，根據(jù)幾何概型公式可得．（1）

（2）

（3）7.已知A、B為拋物線上的不同兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若，則（

）A. B.10 C. D.6參考答案：C【分析】設(shè)，根據(jù)，可求得這些坐標(biāo)間的關(guān)系，再結(jié)合兩點在拋物線上，可求得，而，由此可得結(jié)論．【詳解】設(shè)，則，又，∴，∴，，∴，由，得，∴.故選C．【點睛】本題考查向量的數(shù)乘的意義，考查拋物線的焦點弦問題．掌握焦點弦長公式是解題基礎(chǔ)：即對拋物線而言，，是拋物線的過焦點的弦，則．8.函數(shù)f（x）的定義域為開區(qū)間（a，b），導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（a，b）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)有極小值（）A．2個 B．1個 C．3個 D．4個參考答案：B【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】如圖所示，由導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（a，b）內(nèi)的圖象和極值的定義可知：函數(shù)f（x）只有在點B處取得極小值．【解答】解：如圖所示，由導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（a，b）內(nèi)的圖象可知：函數(shù)f（x）只有在點B處取得極小值，∵在點B的左側(cè)f′（x）＜0，右側(cè)f′（x）＞0，且f′（xB）=0．∴函數(shù)f（x）在點B處取得極小值．故選：B．9.用二分法求方程的近似解，可以取的一個區(qū)間是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.已知數(shù)列中，，，則此數(shù)列的前10項和（

）A．140

B．120

C．80

D．60參考答案：B是公差為的等差數(shù)列，，故選B.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若圓錐的側(cè)面積為2π，底面面積為π，則該圓錐的體積為

．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題．【分析】求出圓錐的底面周長，然后利用側(cè)面積求出圓錐的母線，求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積．【解答】解：根據(jù)題意，圓錐的底面面積為π，則其底面半徑是1，底面周長為2π，又，∴圓錐的母線為2，則圓錐的高，所以圓錐的體積××π=．故答案為．【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查圓錐的有關(guān)計算，圓錐的側(cè)面積，體積的求法，考查計算能力．12.雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為參考答案：略13.已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點與拋物線的焦點相同。則雙曲線的方程為

。參考答案：略14.已知A、B、C為三個彼此互相獨立事件，若事件A發(fā)生的概率為，事件B發(fā)生的概率為，事件C發(fā)生的概率為，則發(fā)生其中兩個事件的概率為

。參考答案：15.函數(shù)的最小值是________．參考答案：略16.已知，且滿足，則的最小值是

參考答案：1817.已知雙曲線的漸近線方程是，則其離心率是

.參考答案：或三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，．（1）求，，；（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式.參考答案：（1）由，得

所以

（2）由，得 所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列 所以 所以 19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，。(1)求在點處的切線方程；(2)證明:曲線與曲線有唯一公共點；(3)設(shè)，比較與的大小,并說明理由.參考答案：(1)，則，點處的切線方程為：,(2)令，，則，，且，，因此，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以，所以在上單調(diào)遞增，又，即函數(shù)有唯一零點，所以曲線與曲線有唯一公共點.20.已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時，；（2）若在(0,+∞)只有一個零點，求a的值.參考答案：（1）見解析；（2）分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式，(2)研究零點，等價研究的零點，先求導(dǎo)數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個討論點，一個是a與零，一個是x與2，當(dāng)時，，沒有零點；當(dāng)時，先減后增，從而確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當(dāng)時，等價于．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時，，即．（2）設(shè)函數(shù)．在只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個零點．（i）當(dāng)時，，沒有零點；（ii）當(dāng)時，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當(dāng)時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．點睛：利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)