第3章空間向量與立體幾何§314空間向量的正交分解及其坐標表示

§3．1.4 空間向量的正交分解及其坐標表示知識點一向量基底的判斷已知向量{a，b，c}是空間的一個基底，那么向量a＋b，a－b，c能構(gòu)成空間的一個基底嗎？為什么？解∵a＋b，a－b，c不共面，能構(gòu)成空間一個基底．假設(shè)a＋b，a－b，c共面，則存在x，y，使c＝x(a＋b>＋y(a－b>，∴c＝(x＋y>a＋(x－y>b.從而由共面向量定理知，c與a，b共面．這與a、b、c不共面矛盾．∴a＋b，a－b，c不共面．【反思感悟】解有關(guān)基底的題，關(guān)鍵是正確理解概念，只有空間中三個不共面的向量才能構(gòu)成空間向量的一個基底．cAE0rSEiTd以下四個命題中正確的是 ( >．空間的任何一個向量都可用其它三個向量表示B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則 a，b，c全不是零向量C．△ABC為直角三角形的充要條件是AB·錯誤!＝0D．任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個基底答案B解讀使用排除法．因為空間中的任何一個向量都可用其他三個不共面的向量來表示，故A不正確；△ABC為直角三角形并不一定是AB·錯誤!＝0，可能是錯誤!·錯誤!＝0，也可能是錯誤!·錯誤!＝0，故C不正確；空間向量基底是由三個不共面的向量組成的，故 D不正確，故選B.cAE0rSEiTd知識點二用基底表示向量在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，－*6]·錯誤!＝a，錯誤!＝b，錯誤!＝c，P是CA′的中點，M是CD′的中點，N是C′D′的中點，點Q是CA′上的點，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：cAE0rSEiTd1/7<1）AP；(2>錯誤!；(3>AN；(4>錯誤!.解連結(jié)AC、AD′.1<1）AP= (AC AA')1(ABADAA')＝錯誤!(a＋b＋c>；2(2>錯誤!＝錯誤!(錯誤!＋AD'>cAE0rSEiTd1= (AB 2AD AA')＝錯誤!a＋b＋錯誤!c；(3>AN=錯誤!(錯誤!＋錯誤!>cAE0rSEiTd＝錯誤![(AB AD AA'>＋(錯誤!＋錯誤!>]cAE0rSEiTd＝錯誤!(2AB＋2錯誤!＋2錯誤!>＝錯誤!a＋b＋c；cAE0rSEiTd(4>AQ＝錯誤!＋錯誤!＝錯誤!＋錯誤!(錯誤!－錯誤!>cAE0rSEiTd＝錯誤!AB＋錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＝錯誤!a＋錯誤!b＋錯誤!c.cAE0rSEiTd【反思感悟】利用空間的一個基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意結(jié)合圖形，靈活應(yīng)用三角形法則、平行四邊形法則．cAE0rSEiTd已知三棱錐A—BCD.(1>化簡錯誤!(AB＋錯誤!－錯誤!>并標出化簡結(jié)果的向量；cAE0rSEiTd(2>設(shè)G為△BCD的重心，試用 AB，錯誤!，錯誤!表示向量錯誤!.cAE0rSEiTd解(1>設(shè)AB，AC，AD中點為E，F(xiàn)，H，BC中點為P.1(AB＋錯誤!－錯誤!>＝錯誤!＋AF=AP－錯誤!＝2錯誤!.cAE0rSEiTd<2）AG＝錯誤!＋錯誤!=錯誤!＋錯誤!錯誤!cAE0rSEiTd錯誤!＋錯誤!(錯誤!－錯誤!>＝錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!cAE0rSEiTd＝錯誤!·錯誤!(AB＋錯誤!>＋錯誤!錯誤!cAE0rSEiTd＝錯誤!(AB＋錯誤!＋錯誤!>．cAE0rSEiTd知識點三求空間向量的坐標已知PA垂直于正方形 ABCD所在的平面，M、N分別是2/7AB，PC的三等分點且 PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求MN的坐標．cAE0rSEiTd解∵PA=AB=AD=1，且PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB，∴可設(shè)AD＝i，錯誤!＝i，AD＝j(luò)，錯誤!＝k.cAE0rSEiTd以i，j，k為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系．∵MN ＝錯誤!＋錯誤!＋PN＝－錯誤! AB＋錯誤!＋錯誤!錯誤!cAE0rSEiTd＝－錯誤! AB＋錯誤!＋錯誤! (－錯誤!＋錯誤!＋AB>cAE0rSEiTd1AP＋錯誤!錯誤!＝錯誤!k＋錯誤!錯誤!cAE0rSEiTd3＝錯誤!i＋錯誤!k，MN＝錯誤!.cAE0rSEiTd【反思感悟】 空間直角坐標系的建立必須尋求三條兩兩垂直的直線．在空間體中不具備此條 件時，建系后要注意坐標軸與 空間體中相關(guān)直線 的夾角．cAE0rSEiTd在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB=，|AO|=4，|BO|=2，2|AA1|=4，D為A1B1的中點，則在如圖所示的空間直角坐標系中，求DO,AB的坐標.1解∵DOOD(OO1O1D),;[OO11(OAOB)]OO11OA1OB222又|OO1|=4，|錯誤!|＝4，|錯誤!|＝4，|錯誤!|＝2，∴錯誤!＝(－2，－1，－4>，cAE0rSEiTdA1B＝(－4,2，－4>．課堂小結(jié)：1．空間的一個基底是空間任意三個不共面的向量，空間的基底可以有無窮多個．一個基底是不共面的三個向量構(gòu)成的一個向量組，一個基向量指一個基底的某一個向量．cAE0rSEiTd2．對于OP＝(1－t>錯誤!＝x錯誤!＋y錯誤!＋z錯誤!，當且僅當x＋y＋z＝1時，P、A、B、C四點共面．cAE0rSEiTd3．對于基底{a，b，c}除了應(yīng)知道 a，b，c不共面，還應(yīng)明3/7確：(1>空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底，基底選定以后，空間的所有向量均可由基底惟一表示．cAE0rSEiTd(2>由于0可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面，就隱含著它們都不是 0.cAE0rSEiTd一、選擇題1．若存在實數(shù)x、y、z，使－*6]＝(1－t>錯誤!＝x錯誤!＋y錯誤!＋z錯誤!成立，則下列判斷正確的是(>cAE0rSEiTd.對于某些x、y、z的值，向量組{PA,PB,PC}不能作為空間的一個基底.對于任意的x、y、z的值，向量組{PA,PB,PC}都不能作為空間的一個基底.對于任意x、y、z的值，向量組{PA,PB,PC}都能作為空間的一個基底.根據(jù)已知條件，無法作出相應(yīng)的判斷;答案A解讀當錯誤!、錯誤!、錯誤!、錯誤!不共面時，錯誤!，錯誤!，錯誤!也不共面，錯誤!，錯誤!，錯誤!能構(gòu)成空間的一個基底，當錯誤!，錯誤!，錯誤!共面時，則錯誤!，錯誤!，錯誤!也共面，故不能構(gòu)成空間的一個基底．cAE0rSEiTd設(shè)O-ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG=3GG1，若OG＝x錯誤!＋y錯誤!＋z錯誤!，則(x，y，z>為(>cAE0rSEiTdA．(錯誤!，錯誤!，錯誤!>B．(錯誤!，錯誤!，錯誤!>cAE0rSEiTdC．(錯誤!，錯誤!，錯誤!>D．(錯誤!，錯誤!，錯誤!>cAE0rSEiTd答案A解讀，因為OG＝錯誤!錯誤!＝錯誤!(錯誤!＋錯誤!>＝錯誤!錯誤!＋錯誤!×錯誤![錯誤!(AB＋錯誤!>]＝錯誤!錯誤!＋錯誤![(錯誤!－錯誤!>＋(錯誤!－錯誤!>]＝錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!，而錯誤!＝x錯誤!＋y錯誤!＋z錯誤!，所以x＝錯誤!，y＝錯誤!，z＝錯誤!.故選A.cAE0rSEiTd3．在以下3個命題中，真命題的個數(shù)是 ( >①三個非零向量 a，b，c不能構(gòu)成空間的一個基底，則 a，b，c4/7共面；②若兩個非零向量a，b與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則a，b共線；③若a，b是兩個不共線向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0>，則{a，b，c}構(gòu)成空間的一個基底．cAE0rSEiTdA．0B．1C．2D．3答案C解讀命題①，②是真命題，命題③是假命題．4．若{a，b，c}是空間的一個基底，則下列各組中不能構(gòu)成空間一個基底的是(>．a(chǎn),2b,3cB．a(chǎn)＋b，b＋c，c＋aC．a(chǎn)＋2b,2b＋3c,3a－9cD．a(chǎn)＋b＋c，b，c答案C解讀－3(a＋2b>＋3(2b＋3c>＋(3a－9c>＝0.3a－9c＝3(a＋2b>－3(2b＋3c>即三向量3a－9c，a＋2b,2b＋3c共面選C.5．已知點j，b＝j(luò)＋k，

在基底{a，b，c}下的坐標為(8,6,4>，其中a＝i＋c＝k＋i，則點A在基底{i，j，k}下的坐標是(>cAE0rSEiTdA．(12,14,10>B．(10,12,14>C．(14,12,10>D．(4,3,2>答案A解讀設(shè)點A在基底{a，b，c}下對應(yīng)的向量為 p，則p＝8a＋6b4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4icAE0rSEiTd＝12i＋14j＋10k，故點 A在基底{i，j，k}下的坐標為(12,14,10>．二、填空題已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為AC1與BD1的交點，AO＝x錯誤!＋y錯誤!＋z錯誤!，則x＋y＋z＝________.cAE0rSEiTd答案錯誤!,解讀AO＝錯誤!錯誤!＝錯誤!(AB＋錯誤!＋錯誤!>．cAE0rSEiTd從空間一點P引出三條射線PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分別取PQ＝a，錯誤!＝a，錯誤!＝b，錯誤!＝c，點G在PQ上，且PG＝2GQ，H為RS的中點，則錯誤!＝__________________cAE0rSEiTd.答案 －錯誤!a＋錯誤!(b＋c>5/7在長方體ABCD—A1B1C1D1中，下列關(guān)于AC1的表達式中：①AA1＋錯誤!＋錯誤!；cAE0rSEiTd②AB＋錯誤!＋錯誤!；cAE0rSEiTd③AD＋錯誤!＋錯誤!；cAE0rSEiTd1(AB1＋錯誤!>＋錯誤!cAE0rSEiTd2正確的個數(shù)是________個．答案3,解讀 AB＋錯誤!＋錯誤!＝AB＋錯誤!＝AB＋錯誤!≠錯誤!，cAE0rSEiTd②不正確；(AB1＋錯誤!>＋錯誤!21(AB1＋BA1>＋錯誤!2AA1＋錯誤!＝錯誤!.cAE0rSEiTd④正確；①，③明顯正確．三、解答題9．已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，試問向量a＝31＋2e2ee3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？并說明理由．cAE0rSEiTd解由共面向量定理可知，關(guān)鍵是能否找到三個不全為零的實數(shù)x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，即x(3e1＋2e2＋e3>＋y(－e1＋e2＋3e3>＋z(2e1－e2－4e3>＝0.亦即(3x－y＋2z>e1＋(2x＋y－z>e2＋(x＋3y4z>e3＝0.cAE0rSEiTd由于e1，e2，e3不共面，故得錯誤!cAE0rSEiTd①＋②求得z＝－5x，代入③得y＝－7x，取x＝－1，則y＝7，z＝5，于是－a＋7b＋5c＝0，即a＝7b＋5c，所以a，b，c三向量共面．10．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，設(shè)－*6]·錯誤!＝a，錯誤!＝b，錯誤!＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點．cAE0rSEiTd6/7<1）用向量a，b，c，表示D1B