(完整)2.3.1平面向量正交分解及坐標(biāo)表示20125.12

2.3.2-3平面向量正交分解及坐標(biāo)表示問題情境火箭在飛行過程中的某一時刻速度可以分解成豎直向上和水平向前的兩個速度。在力的分解的平行四邊形過程中，我們看到一個力可以分解為兩個不共線方向的力之和。

那么平面內(nèi)的任一向量否可以用兩個不共線的向量來表示呢？動畫演示設(shè)、是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量，我們研究a與、之間的關(guān)系。a研究平面向量基本定理一向量a有且只有一對實數(shù)、使共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任

如果、是同一平面內(nèi)的兩個不a=+

這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。我們把不共線的向量、叫做表（1）一個平面向量的基底有多少對？（有無數(shù)對）思考EFFANBaMOCNMMOCNaE思考

(2)若基底選取不同，則表示同一向量的實數(shù)、是否相同？

（可以不同，也可以相同）OCFMNaEEABNOC=2OB+ONOC=2OA+OEOC=OF+OE新課OABC·例1DCBAM例2如圖，質(zhì)量為10kg的物體A沿傾角θ=300的斜面勻速下滑，求物體受到的滑動摩擦力和支持力。FMNEG練習(xí)1如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點，AB=a,AD=b,用a，b表示BF和DE。ACFEBDACBADEFG2、設(shè)G是△ABC的重心，若CA=a,CB=b

試用a,b

表示AD。CBADEFG2、設(shè)G是△ABC的重心，若CA=a,CB=b

試用a,b

表示AG。CBADEFG變式2、設(shè)G是△ABC的重心，若CA=a,CB=b

那么GA+GB+GC=?。

設(shè)a、b是兩個不共線的向量，已知AB=2a+kb,CB=a+3b,CD=2a–b,若A、B、D三點共線，求k的值。

A、B、D三點共線解：AB與BD共線，則存在實數(shù)λ使得AB=λBD.λ使得AB=λBD.思考k

=8.=a–4b由于BD=CD–CB=(2a–b)–(a+3b)則需2a+kb=(a–4b)由向量相等的條件得2=k

=4則需2a+kb=(a–4b)2-=0k–4=0此處可另解：k

=8.即（2-）a+(k-4)b=0例5、如圖，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB=2DC,M,N分別是DC,AB的中點.請大家動手,在圖中確一組基底，將其他向量用這組基底表示出來。ANMCDB解析：BC=BD+DC=MN=DN-DM=(AN-AD)-DC(AD–AB)+DCANMCDBDC=AB=設(shè)AB=,AD=,則有：=-.=-+==---+

評析能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示，再利用有關(guān)知識解決問題。例５

ABCD中，E、F分別是DC和AB的中點，試判斷AE,CF是否平行？FBADCEFBADCEE、F分別是DC和AB的中點,AE=AD+DE=b+aCF=CB+BF=-b-aAE=-CFAE與CF共線，又無公共點AE,CF平行.解：設(shè)AB=a,AD=b.

1.平面向量基本定理可以聯(lián)系物理學(xué)中的力的分解模型來理解，它說明在同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為不共線向量的線性組合，該定理是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，其本質(zhì)是一個向量在其他兩個向量上的分解。課堂總結(jié)本題在解決過程中用到了兩向量共線的充要條件這一定理，并借助平面向量的基本定理減少變量，除此之外，還用待定系數(shù)法列方程，通過消元解方程組。這些知識和考慮問題的方法都必須切實掌握好。評析

2.在實際問題中的指導(dǎo)意義在于找到表示一個平面所有向量的一組基底（不共線向量與），從而將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于、的相應(yīng)運算。

總結(jié)：1、平面向量基本定理內(nèi)容2、對基本定理的理解（1）實數(shù)對λ1、λ２的存在和唯一（２）基底的不唯一（３）定理的拓展３、平面向量基本定理的應(yīng)用求作向量、解（證）向量問題、解（證）平面幾何問題思考在梯形ABCD中，E、F分別時AB、CD的中點，用向量的方法證明：

EF//AD//BC,且EF=(AD+BC)設(shè)、是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量，我們研究a與、之間的關(guān)系。a研究平面向量基本定理一向量a有且只有一對實數(shù)、使共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任

如果、是同一平面內(nèi)的兩個不a=+

這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。我們把不共線的向量、叫做表（1）一個平面向量的基底有多少對？（有無數(shù)對）思考EFFANBaMOCNMMOCNaE思考

(2)若基底選取不同，則表示同一向量的實數(shù)、是否相同？

（可以不同，也可以相同）OCFMNaEEABNOC=2OB+ONOC=2OA+OEOC=OF+OE新課如圖1，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、

j作為基底，任何一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得

a=xi+yj

我們把（x,y)叫做向量a

的（直角）坐標(biāo)，記作

a=(x，y),其中x叫做a

在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，（x,y）叫做向量的坐標(biāo)表示。一、平面向量的坐標(biāo)表示ayjiO圖1xiyxOyxjA（x,y）aa圖2如圖2，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點O為起點作OA=a，則點A的位置由a惟一確定。設(shè)OA=xi+yj，則向量OA的坐標(biāo)（x,y)就是點A的坐標(biāo)；反過來，點A的坐標(biāo)（x,y)也就是向量OA的坐標(biāo)。因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)惟一表示。例1如圖3，用基底i，j分別表示向量a、b、c、d,并求出它們的坐標(biāo)。jyxOiaA1AA2bcd圖3解：由圖3可知a=AA1+AA2=2i+3j,

∴a=(2,3)

同理，b=-2i+3j=(-2,3)

c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)二、平面向量的坐標(biāo)運算已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則

a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j即

a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得

a-b=(x1-x2,y1-y2)這就是說，兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。結(jié)論：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如圖，已知A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)上面的結(jié)論，有

AB=OB-OA

=(x2,y2)-(x1,y1)

=(x2-x1,y2-y1)練習(xí)：已知＝（x,y),點B的坐標(biāo)為（－2，1）求的坐標(biāo).已知＝（x,y),點A的坐標(biāo)為（3，2）點B的坐標(biāo)為（－2，1）求的坐標(biāo).已知＝（-5,-1),點A的坐標(biāo)為（x，y）點B的坐標(biāo)為（－2，1）求A的坐標(biāo).已知＝（-5,-1),點A的坐標(biāo)為（3，2）點B的坐標(biāo)為（x，y）求B的坐標(biāo).2、1、3、4、已知a=(x,y)和實數(shù)λ，那么

λa=(λx,λy)

即

λa=(λx,λy)這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于這個實數(shù)乘以原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。例2已知求的坐標(biāo).解：2.3.3平面向量的坐標(biāo)運算例3．已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求頂點D的坐標(biāo)．解：設(shè)頂點D的坐標(biāo)為（x，y）例3已知(1)若求x;(2)若求x.解：解得：評述：對用坐標(biāo)表示的向量來說，向量相等即坐標(biāo)相等。例4平行四邊形ABCD的對角線交于點O,且知求坐標(biāo).ADBCO

分析：的坐標(biāo)，只要求得的坐標(biāo)即可.解：由要求得

評述：向量的、加減法，實數(shù)與向量的積是向量的基本運算，對于用坐標(biāo)表示的向量需運用向量的坐標(biāo)運算法則，而幾何圖形中的向量應(yīng)結(jié)合向量加、減法的幾何意義以方便尋找關(guān)系。例5下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底，正確的判斷是（）

A.(1)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)AA三、向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b<>0,那么可以知道，a//b的充要條件是存在一實數(shù)λ，使

a=λb這個結(jié)論如果用坐標(biāo)表示