數(shù)據(jù)包絡分析經(jīng)典

數(shù)據(jù)包絡分析經(jīng)典第1頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月審視數(shù)據(jù)包絡分析（DEA)）

從數(shù)學和經(jīng)濟學兩方面審視數(shù)據(jù)包絡分析．

DataEnvelopmentAnalysis（簡稱

DEA）

1978年A.Charens,W.W.Cooper和E.Rhodes等人首先給出的．第一個DEA模型C2R.第2頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

審視1978年：對當?shù)谝粋€DEA模型C2R,認為是一種關(guān)于效率評價的新方法．

2004年

(二十六年之后):DEA已經(jīng)形成了一個數(shù)學、經(jīng)濟學、管理科學交叉研究的新領域．

第3頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

在DEA領域，在以下幾個方面做了一系列奠基性的工作：（?。┩瓿纱罅繎玫膶嵗?；（ⅱ）DEA模型的擴充和完善．例如,DEA模型BC2，F(xiàn)G和ST；加法模型；Log－型的DEA模型；帶偏好的錐比率的DEA模型；具有無窮多個DMU的半無限規(guī)劃的DEA模型；隨機DEA模型；逆DEA模型；等等.(ⅲ)DEA模型和方法的經(jīng)濟背景和管理背景研究；

(ⅳ)進行DEA模型的計算研究和DEA軟件的研制；（ⅴ）

DEA所依據(jù)的數(shù)學理論研究，

第4頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月1.第一個DEA模型C2R12…

…n

…x1x2

…

…xn y1y2

…

…yn

…

評價DMU－j0的DEA模型（C2R）為分式規(guī)劃（h0為DMU－j0的效率指數(shù)）：第5頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月分式規(guī)劃(其中x0=xj0,y0=yj0,

1≤j0≤n．第6頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

用1962年Charnes和Cooper對于分式規(guī)劃的Charnes－Cooper變換（稱為C2－變換）:第7頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月DEA有效的定義:

弱DEA有效:最優(yōu)目標值(稱為效率指數(shù))h0=1．

DEA有效:若（PC2R）存在最優(yōu)解ω0,μ0滿足ω0>0,μ0>0，h0=μ0y0=1．利用（PC2R）來判別DMU的DEA有效性并不直接．考慮（PC2R）的對偶規(guī)劃問題第8頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

利用線性規(guī)劃的對偶定理和緊松定理，可以得到關(guān)于DEA有效的等價定義．第9頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月DEA有效:若（DC2R）的任意最優(yōu)解θ0,λ0j,j=1,2,,n,都滿足

2.DEA有效性的判別(計算

)

利用（DC2R）判斷DMU的DEA有效性時也不直接．對于DEA模型（DC2R），Charnes和Cooper給出了具有非阿基米德無窮小量的DEA模型．第10頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

此后，人們又發(fā)現(xiàn)用“兩步法”判斷DMU的弱DEA有效性和DEA有效性（即源于Charnes等人的目標規(guī)劃形式的“加法模型”．同時,人們又研究了DEA模型的計算穩(wěn)定性和靈敏度分析,等等.

DEA軟件研制.

至此，DEA有效性的判別和計算已經(jīng)完成．

第11頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.（弱）DEA有效與（弱）Pareto最優(yōu)的等價性(1985)

設ω0,μ0為（PC2R）的最優(yōu)解。若DMU－j0為弱DEA有效，則(x0,y0)為下面線性加權(quán)和問題的最優(yōu)解其中第12頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理

DMU－j0為（弱）DEA有效的充分必要條件是：(x0,y0)為多目標規(guī)劃（ＶＰ）的（弱）Pareto解，其中并且第13頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

4.錐比率的DEA模型C2WH(1987)C2R模型之下的DEA有效概念與多目標規(guī)劃的Pareto解等價.DEA模型C2R沒能體現(xiàn)決策者的偏好.

早在1974年P(guān).L.Yu就給出了多目標的非支配解(NondominatedSolution）的概念，已將多目標的Pareto解推廣到能體現(xiàn)決策者偏好的非支配解.第14頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月1989年Charnes，Cooper，Wei和Huang推廣了C2R模型，得到體現(xiàn)決策者偏好的、被稱為“錐比例的C2WH模型”.其中X=(x1,x2,…

,xn)T,Y=(y1,y2,…,ym)T，

,,為閉凸錐.

第15頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月利用C2變換，化為具有錐結(jié)構(gòu)的DEA模型（PC2WH）（DC2WH）

第16頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理

在“約束規(guī)格”的假設下，DMU—j0為DEA有效（C2WH）的充分必要條件是：（x0,y0）為下面多目標規(guī)劃的相對于V*U*的非支配解

其中生產(chǎn)可能集

第17頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

5.DEA模型C2R與Shephard輸入距離函數(shù)之間的關(guān)系1970年由R.W.Shephard給出的輸入距離函數(shù)

.也可以將它看做1957年由M.T.Farrell

對單輸入/輸出的有效性度量方法推廣到多輸入/多輸出的情況.

令生產(chǎn)可能集T和產(chǎn)出水平y(tǒng)之下的投入集分別為第18頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

令生產(chǎn)可能集T和產(chǎn)出水平y(tǒng)之下的投入集分別為

Shephard在關(guān)于生產(chǎn)可能集T某些假設條件之下,定義了輸入距離函數(shù)而相應的Farrell的有效性度量為第19頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

注意:Shephard從未用線性規(guī)劃模型直接估計距離函數(shù)．同樣,Farrell也沒有在他1957年的文章中將他的效率指數(shù)度量用一個線性規(guī)劃模型實現(xiàn)．由Charnes和Cooper等人給出的DEA模型C2R,是首次用線性規(guī)劃直接估計1970年由Shephard給出的輸入距離函數(shù).第20頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

Charnes對生產(chǎn)可能集T,引入了如下的一些公理：公理1（平凡公理）

:公理2（凸性公理）:集合T為凸集.

公理3（無效性公理）若則

公理4（錐性公理）:集合T為錐.

若生產(chǎn)可能集Ｔ是所有滿足公理1,2,3和4的最小者，則T有如下的唯一表示形式第21頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

=于是對偶線性規(guī)劃（DC2R）可改寫為可見,C2R模型之下的效率指數(shù)h0與Shephard的距離函數(shù)互為倒數(shù).第22頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

也即（DC2R）模型與Farrell1957年的效率度量相對應．對于DEA模型（PC2R），R.F?re等人于2000年曾有一篇文章指出：將Shephard的輸出定價模型，經(jīng)過一些計算和推導是與（PC2R）的形式類似．除此之外，在數(shù)理經(jīng)濟學關(guān)于多輸出系統(tǒng)的生產(chǎn)有效性的研究中，也曾從生產(chǎn)可能集的公理體系出發(fā)，用Pareto最優(yōu)定義生產(chǎn)有效性．然而，DEA模型C2R之下的（弱）DEA有效與（弱）Pareto解等價．第23頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可以看出：

Charens和Cooper等人首創(chuàng)的DEA是使用線性規(guī)劃理論和模型研究經(jīng)濟學中多輸入（特別是）多輸出系統(tǒng)的有效性。這是對經(jīng)濟學的拓展和創(chuàng)新，也是一種對有效性評價的具體實現(xiàn).DEA的研究開創(chuàng)了經(jīng)濟學與數(shù)學交叉研究的一個新領域.第24頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月6．

DEA有效的經(jīng)濟含義

DEA的理論、模型是以微觀經(jīng)濟學為其理論基礎．研究DEA有效性的經(jīng)濟含義是以生產(chǎn)函數(shù)y=為背景的．“技術(shù)有效”：若生產(chǎn)狀態(tài)（x,y）滿足y=，則稱生產(chǎn)狀態(tài)（x,y）是“技術(shù)有效”的（也即輸出相對輸入而言已達到最大）．此時，點（x,y）位于生產(chǎn)函數(shù)的曲面上．第25頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月“規(guī)模有效”：當時，經(jīng)濟學中的“邊際報酬遞減規(guī)律”是指：生產(chǎn)函數(shù)的一階導數(shù)表現(xiàn)為先增后減的規(guī)律（或函數(shù)先為凸，后為凹）．所謂“規(guī)模有效”，是指投入量x既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收益由遞增（遞增）到遞減（遞減）之間的一種狀態(tài)（即“規(guī)模收益不變”的最佳狀態(tài)）．

Y

。DMU-3

。

DMU-2。DMU4。

。DMU-1TC2R0x

如果用（DC2R）模型來判斷DEA有效性，只有DMU-2為DEA有效．DMU-4DMU-1

第26頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

可見，DMU－j0在C2R模型之下為DEA有效，DMU－j0對應的生產(chǎn)狀態(tài)（x0,y0）既為技術(shù)有效，也為規(guī)模有效．

7．DEA模型的擴充DEA模型的擴充：可以源于數(shù)學上的考慮．然而，源于經(jīng)濟背景的研究所得出的數(shù)學模型似乎更直接．1984年R.D.Banker，Charens和Cooper給出了DEA模型BC2．DEA有效是技術(shù)有效的．1985年R.F?re和S.Grosskopf給出了DEA模型FG.DEA有效是技術(shù)有效的，同時，在規(guī)模收益上或為規(guī)模收益不變或為規(guī)模收益遞減．

第27頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

1990年，L.M.Seiford和R.M.Thrall給出了ST模型．DMU是技術(shù)有效，同時，在規(guī)模上或為規(guī)模收益不變或為規(guī)模收益遞增．公理5（壓縮性公理）若則．公理6（擴張性公理）若則．第28頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月如果生產(chǎn)可能集定義為：所有滿足公理1，公理2和公理3的最小者，則得到DEA模型BC2；如果生產(chǎn)可能集定義為：所有滿足公理1，公理2，公理3和公理5的最小者，則得到DEA模型FG；如果生產(chǎn)可能集定義為：所有滿足公理1，公理2，公理3和公理6的最小者，則得到DEA模型ST。第29頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

我們引進三個取值為０或１的參數(shù)δ1,δ2,δ3時，生產(chǎn)可能集Ｔ有如下的形式

此時DEA模型C2R，BC2，F(xiàn)G和ST可以用統(tǒng)一的形式寫成也即（稱（P）和(D)為綜合的DEA模型）

第30頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月它的對偶規(guī)劃為對綜合的DEA模型，可以證明：DMU－j0的DEA有效性與多目標規(guī)劃（ＶＰ）的Pareto解之間是等價性的；可以討論弱DEA有效與多目標規(guī)劃（ＶＰ）的弱Pareto解之間的關(guān)系．1996年Yu,G,WeiQ.L.和P.Brockett給出了更為一般地帶有偏好的DEA模型GDEA

，證明了DEA有效等價于非支配解．第31頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

8．使用DEA模型判別DMU的規(guī)模收益狀況和“擁擠”跡象

規(guī)模收益狀況（returntoscale）是指：當投入增大k倍（k>1），產(chǎn)出是大于k倍、等于k倍、小于k倍時，分別稱為生產(chǎn)狀態(tài)（x,y）是處于規(guī)模收益遞增、規(guī)模收益不變、規(guī)模收益遞減．例如C-D生產(chǎn)函數(shù)，，有

第32頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

在微觀經(jīng)濟學中，還有一種情況，當投入增大k倍時（k>1），產(chǎn)出不僅不會增大，反而會減少（或當投入減少時，產(chǎn)出反而會增大），這種生產(chǎn)函數(shù)被稱為“俱樂部函數(shù)”（clubfunction）．此時，是C-D生產(chǎn)函數(shù)中的情況,稱為“擁擠”跡象(Congestion)．對于多輸出的系統(tǒng)，如何利用DEA模型研究DMU的規(guī)模收益狀況（ReturntoScale）是人們一直關(guān)心的問題．自2000年,人們也開始關(guān)心的“擁擠”跡象的判定問題．

2003年，Wei和Yan從研究規(guī)模收益狀況和“擁擠”的統(tǒng)一觀點出發(fā)給出了判定的充分必要條件．考慮一個新的DEA模型NEW（這里生產(chǎn)可能集是滿足公理1，公理2以及投入無效性公理的最小者）：第33頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

若DMU-j0在DEA模型NEW之下為弱DEA有效（即（DNEW）的最優(yōu)值為1）．我們利用輸出的DEA模型FG和輸出DEA模型ST去判斷DMU的規(guī)模收益狀況和“擁擠”跡象，其中輸出FG模型為：第34頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

FG輸出模型

ST輸出模型第35頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理

設DMU—j0在輸出DEA模型NEW之下為弱DEA有效，則（i）DMU—j0為規(guī)模收益不變的充分必要條件是：DMU—j0在輸出FG模型下為弱DEA有效，在輸出ST模型下也為弱DEA有效.（ii）DMU—j0為規(guī)模收益遞增的充分必要條件是：DMU—j0在輸出ST模型下為弱DEA有效，而在輸出FG模型下不為弱DEA有效.(iii)DMU—j0為規(guī)模收益遞減的充分必要條件是：DMU—j0在輸出FG模型下為弱DEA有效，而在輸出ST模型下不為弱DEA有效

.(iv)DMU—j0呈現(xiàn)“擁擠”跡象的充分必要條件是：DMU—j0在輸出FG模型下不為弱DEA有效，

在輸出ST模型下也不為弱DEA有效．第36頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月9．其它與經(jīng)濟背景有關(guān)的幾個專題研究9.1

具有無窮多個DMU的DEA模型

1986年Charnes,Cooper,Wei和Yue研究了具有無窮多個DMU的半無限規(guī)劃的DEA模型C2W[7]和C2WY[23]

.C2W模型是國際上第一個非線性的DEA模型，它深刻地揭示了DEA在數(shù)學上和經(jīng)濟上的含義，被認為“提出了一個精美的研究結(jié)構(gòu)，并且對統(tǒng)計方面的研究給出了一個分析基礎”.根據(jù)具有無窮多個DMU的DEA模型，可以證明：

第37頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

由有限多個DMU得到的生產(chǎn)可能集是對生產(chǎn)函數(shù)的下圖的一種逼近；

DEA的生產(chǎn)前沿面可看作是用分段（片）的線性函數(shù)對生產(chǎn)函數(shù)曲面的一種逼近；

DEA模型可用來判斷DMU的規(guī)模收益狀態(tài).

以上述的理論為基礎，利用DEA模型評估部門或企業(yè)的技術(shù)進步速度和及各企業(yè)的技術(shù)進步相對超前或滯后年限.

同時，也可建立非參數(shù)的微觀經(jīng)濟模型等.第38頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月9.2

生產(chǎn)可能集的生產(chǎn)前沿面的特性和結(jié)構(gòu)分析直觀上看，生產(chǎn)前沿面是由分段（片）的線性函數(shù)“拼湊”而成的，找出生產(chǎn)可能集的各個前沿面，由此確定出各段（片）如何由生產(chǎn)前沿面上的DMU的聯(lián)結(jié)，即確定出生產(chǎn)前沿面的結(jié)構(gòu).不難看出，生產(chǎn)前沿面的結(jié)構(gòu)確定之后，可得到很多的經(jīng)濟特性和管理信息.

1999年，Wei，Yan和Hao利用求多凸面體全部極點的方法（見Wei和Yan）給出了確定生產(chǎn)可能集的真正（弱）有效前沿面的更為簡單的方法，由此可得到生產(chǎn)可能集的（弱）Pareto面的結(jié)構(gòu).求出生產(chǎn)可能集的真正（弱）有效前沿面，可以更深入的對DMU進行分析，甚至不必進行線性規(guī)劃的單純形方法求解，得出更多的管理信息.

第39頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月8.3DEA的對策論背景研究自第一個DEA模型出現(xiàn)以來，人們除了進行DEA的應用實例研究和模型拓展之外，也在努力進行DEA的相關(guān)領域背景研究，其中也包括了利用對策論模型對DEA有效概念的解釋．1995年Roussean和Semple給出了被稱為比率效率對策模型（RatioEffiencyGames），并研究了對策模型與DEA模型的等價關(guān)系；2000年Hao,Wei和Yan研究了具有錐結(jié)構(gòu)的約束對策與具有錐結(jié)構(gòu)的綜合DEA模型的等價性

.該模型是一個二人無限零和對策．局中人I是“評估者”，他是從生產(chǎn)可能集中選取生產(chǎn)狀態(tài)（x,y）；局中人II是“被評者”（即DMU-j0），他是選取對自己最為有利的權(quán)系數(shù)；贏得函數(shù)取為投入、產(chǎn)出效率比．該模型之下的（弱）對策有效與DMU為（弱）DEA有效等價．第40頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月10結(jié)束語在我比較喜歡的一本關(guān)于數(shù)學與經(jīng)濟的書中，書的作者引用了一則笑話：“有人提出這樣一個命題：凡是奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)．數(shù)學家見到這個命題后去找了一個反例，回答說：這個命題是沒有根據(jù)的；物理學家見到這個命題后去做實驗，回答說：這個命題有時是正確的，有時是不正確的；工程師見到這個命題后就去做試用，回答說：這個命題有用；經(jīng)濟學家見到這個命題后苦苦思索，回答說：我們假設這一命題成立……”．第41頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

不同學科領域的人都有自己本能的