初中數(shù)學(xué)競賽專項訓(xùn)練-找規(guī)律題

培養(yǎng)思維的高度訓(xùn)練敏銳的觀察PAGEPAGE4觀察——歸納—猜想——找規(guī)律給出幾個具體的、特殊的數(shù)、式或圖形，要求找出其中的變化規(guī)律，從而猜想出一般性的結(jié)論.解題的思路是實施特殊向一般的簡化；具體方法和步驟是：（1）通過對幾個特例的分析，尋找規(guī)律并且歸納；（2）猜想符合規(guī)律的一般性結(jié)論；（3）驗證或證明結(jié)論是否正確,下面通過舉例來說明這些問題.一、數(shù)字類基本技巧（一）標出序列號：例如，觀察下列各式數(shù)：0，3，8，15，24，……。我們把有關(guān)的量放在一起加以比較：給出的數(shù)：0，3，8，15，24，……。序列號：1，2，3，4，5，……。容易發(fā)現(xiàn)，已知數(shù)的每一項，都等于它的序列號的平方減1。因此，第n項是-1（二）公因式法：每位數(shù)分成最小公因式相乘，然后再找規(guī)律，看是不是與n,或2n、3n有關(guān)。例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n項為（），1，2，3，4，5．。。。。。。，從中可以看出n=2時，正好是2×2-1的平方,n=3時，正好是2×3-1的平方，以此類推。（三）增副A：2、9、28、65增幅是7、19、37，增幅的增幅是12、18答案與3有關(guān)且是n的3次冪，即：n+1B：2、4、8、16增幅是2、4、8..答案與2的乘方有關(guān)即：（四）有的可對每位數(shù)同時減去第一位數(shù)，成為第二位開始的新數(shù)列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位數(shù)與位置的關(guān)系。再在找出的規(guī)律上加上第一位數(shù)，恢復(fù)到原來。例：2、5、10、17、26……，同時減去2后得到新數(shù)列：0、3、8、15、24……，序列號：1、2、3、4、5，從順序號中可以看出當n=1時，得1*1-1得0，當n=2時，2*2-1得3，3*3-1=8，以此類推，得到第n個數(shù)為。再看原數(shù)列是同時減2得到的新數(shù)列，則在的基礎(chǔ)上加2，得到原數(shù)列第n項（五）有的可對每位數(shù)同時加上，或乘以，或除以第一位數(shù)，成為新數(shù)列，然后，在再找出規(guī)律，并恢復(fù)到原來。例：4，16，36，64，？，144，196，…？（第一百個數(shù)）同除以4后可得新數(shù)列：1、4、9、16…，很顯然是位置數(shù)的平方，得到新數(shù)列第n項即n，原數(shù)列是同除以4得到的新數(shù)列，所以求出新數(shù)列n的公式后再乘以4即，4n，則求出第一百個數(shù)為4*100=40000(一)等差數(shù)列例題：2，5，8，()。例題5：12，15，18，()，24，27。A.20B.21C.22(二)等比數(shù)列例題1：2，1，1/2，()。A.0B.1/4C.1/8例題2：2，8，32，128，()。(三)平方數(shù)列1、完全平方數(shù)列：正序：1，4，9，16，25逆序：100，81，64，49，362、一個數(shù)的平方是第二個數(shù)。1)直接得出：2，4，16，(256)解析：前一個數(shù)的平方等于第二個數(shù)，答案為256。2)一個數(shù)的平方加減一個數(shù)等于第二個數(shù)：1，2，5，26，(677)前一個數(shù)的平方加1等于第二個數(shù)，答案為677。3、隱含完全平方數(shù)列：1)通過加減一個常數(shù)歸成完全平方數(shù)列：0，3，8，15，24，(35)前一個數(shù)加1分別得到1，4，9，16，25，分別為1，2，3，4，5的平方，答案352)相隔加減，得到一個平方數(shù)列：例：65，35，17，(3)，1A.15B.13C.9解析：不難感覺到隱含一個平方數(shù)列。進一步思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方減1，17等于4的平方加1，再觀察時發(fā)現(xiàn)：奇位置數(shù)時都是加1，偶位置數(shù)時都是減1，所以下一個數(shù)應(yīng)該是2的平方減1等于3，答案是D。*(四)立方數(shù)列立方數(shù)列與平方數(shù)列類似。例題1：1，8，27，64，(125)解析：數(shù)列中前四項為1，2，3，4的立方，顯然答案為5的立方，為125。例題2：0，7，26，63，(124)解析：前四項分別為1，2，3，4的立方減1，答案為5的立方減1，為124。(五)、加法數(shù)列數(shù)列中前兩個數(shù)的和等于后面第三個數(shù)：n1+n2=n3例題1：1，1，2，3，5，(8)。A8B7C9解析：第一項與第二項之和等于第三項，第二項與第三項之和等于第四項，第三項與第四項之和等于第五項，按此規(guī)律3+5=8答案為A。例題2：4，5，(9)，14，23，37A6B7C8解析：與例一相同答案為D例題3：22，35，56，90，(145)99年考題A162B156C148解析：22+35-1=56，35+56-1=90，56+90-1=145，答案為D(六)、減法數(shù)列前兩個數(shù)的差等于后面第三個數(shù)：n1-n2=n3例題1：6，3，3，(0)，3，-3A0B1C2解析：6-3=3，3-3=0，3-0=3，0-3=-3答案是A。(提醒您別忘了：“空缺項在中間，從兩邊找規(guī)律”)(七)、乘法數(shù)列1、前兩個數(shù)的乘積等于第三個數(shù)（2）請你利用圖b，再設(shè)計一個能求的值的幾何圖形。三、動態(tài)類【例3】右圖是一回形圖，其回形通道的寬與OB的長均為1，回形線與射線OA交于點A1，A2，A3，…。若從O點到A1點的回形線為第1圈（長為7），從A1點到A2點的回形線為第2圈，……，依此類推。則第10圈的長為

。【例4】已知甲運動方式為：先豎直向上運動1個單位長度后，再水平向右運動2個單位長度；乙運動方式為：先豎直向下運動2個單位長度后，再水平向左運動3個單位長度。在平面直角坐標系內(nèi)，現(xiàn)有一動點P第1次從原點O出發(fā)按甲方式運動到點P1，第2次從點P1出發(fā)按乙方式運動到點P2，第3次從點P2出發(fā)再按甲方式運動到點P3，第4次從點P3出發(fā)再按乙方式運動到點P4,……。依此運動規(guī)律，則經(jīng)過第11次運動后，動點P所在位置P11的坐標是

。解析：【例3】我們從簡單的情形出發(fā)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第1圈的長為1+1+2+2+1，第2圈的長為2+3+4+4+2，第三圈的長為3+5+6+6+3，第四圈的長為4+7+8+8+4，……歸納得到第10圈的長為10+19+20+20+10＝79?！纠?】（－3，－4）四、計算類【例10】觀察下列等式：

，……則第n個等式可以表示為

。解析：【例10】【例11】觀察下列各式：，，，……根據(jù)前面的規(guī)律，得：

。（其中n為正整數(shù)）解析：【例11】【例12】觀察下列等式：觀察下列等式：4－1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9，36-25=11，……這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n（n≥1）表示了自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示這個規(guī)律為

。解析：【例12】（n≥1，n表示了自然數(shù)）五、圖形類【例13】在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點稱為整點。觀察圖中每一個正方形（實線）四條邊上的整點的個數(shù)，請你猜測由里向外第10個正方形（實線）四條邊上的整點共有

個。解析：【例13】第一個正方形的整點數(shù)為2×4-4＝4，第二個正方形的正點數(shù)有3×4－4＝8，第三個正方形的整點數(shù)為4×4－4＝12個，……故第10個正方形的整點數(shù)為11×4-4＝40，【例14】“”代表甲種植物，“”代表乙種植物，為美化環(huán)境，采用如圖所示方案種植。按此規(guī)律，第六個圖案中應(yīng)種植乙種植物

株?！纠?4】第一個圖案中以乙中植物有2×2＝4個，第二個圖案中以乙中植物有3×3＝9個，第三個圖案中以乙中植物有4×4＝16個，……故第六個圖案中以乙中植物有7×7＝49個.練習(xí)一、數(shù)字排列規(guī)律題觀察下列各算式：1+3=4=221+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42按此規(guī)律試猜想：1+3+5+7+…+2005+2007的值

？（2）推廣：1+3+5+7+9+…+（2n-1)+（2n+1)的和是多少？

2、下面數(shù)列后兩位應(yīng)該填上什么數(shù)字呢？

23581217____

請?zhí)畛鱿旅鏅M線上的數(shù)字。

112358____214、有一串數(shù)，它的排列規(guī)律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、……聰明的你猜猜第100個數(shù)是什么？

5、有一串數(shù)字36101521___第6個是什么數(shù)？6、觀察下列一組數(shù)的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005個數(shù)是（）.A．1 B．2 C．3 D．47、100個數(shù)排成一行，其中任意三個相鄰數(shù)中，中間一個數(shù)都等于它前后兩個數(shù)的和，如果這100個數(shù)的前兩個數(shù)依次為1，0，那么這100個數(shù)中“0”的個數(shù)為_________個．二、幾何圖形變化規(guī)律題1、觀察下列球的排列規(guī)律(其中●是實心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……從第1個球起到第2004個球止，共有實心球個．2、觀察下列圖形排列規(guī)律（其中△是三角形，□是正方形，○是圓），□○△□□○△□○△□□○△□┅┅，若第一個圖形是正方形，則第2008個圖形是（填圖形名稱）.三、數(shù)、式計算規(guī)律題1、已知下列等式：①13＝12；②13＋23＝32；③13＋23＋33＝62；④13＋23＋33＋43＝102；由此規(guī)律知，第⑤個等式是．2、觀察下面的幾個算式：1+2+1=4，1+2+3+2+1=9，1+2+3+4+3+2+1=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你直接寫出下面式子的結(jié)果：1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____.3、1+2+3+…+100＝？經(jīng)過研究，這個問題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+，其中ｎ是正整數(shù).現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題：1×2+2×3+…＝？觀察下面三個特殊的等式將這三個等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝讀完這段材料，請你思考后回答：⑴⑵⑶4、

參考答案:一、1、（1）10042（2）(n+1)22、2330。數(shù)列中每兩個相鄰數(shù)字間的差分別是1，2，3，4，5，6，7。3、13。這一數(shù)列后面一個數(shù)是前面相鄰兩個數(shù)的和。

4、34。考慮時，可以從第一個數(shù)開始，每3個數(shù)加一個括號（1，2，3），（2，3，4），