概率統(tǒng)計(jì)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)

第1頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

引言前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì).它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù).但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒(méi)有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來(lái)把握不大.區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷.第2頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

譬如，在估計(jì)湖中魚(yú)數(shù)的問(wèn)題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚(yú)數(shù)N的極大似然估計(jì)為1000條.若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中.這樣對(duì)魚(yú)數(shù)的估計(jì)就有把握多了.實(shí)際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.第3頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月也就是說(shuō)，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚(yú)數(shù)的真值[]這里所說(shuō)的“可靠程度”是用概率來(lái)度量的，稱(chēng)為置信概率，置信度或置信水平.習(xí)慣上把置信水平記作，這里是一個(gè)很小的正數(shù).第4頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.例如，通?？扇≈眯潘?0.95或0.9等.根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，由給定的置信水平，我小的區(qū)間，使們求出一個(gè)盡可能置信水平為的置信區(qū)間，其中為兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量.稱(chēng)區(qū)間為的第5頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.使得稱(chēng)

為與

之間的誤差限.我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量，根據(jù)置信水平，可以找到一個(gè)正數(shù)

，只要知道的概率分布，確定誤差限并不難.第6頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月下面我們就來(lái)正式給出置信區(qū)間的定義,并通過(guò)例子說(shuō)明求置信區(qū)間的方法.由不等式可以解出：這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間.第7頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月前面已經(jīng)給出了概率分布的上側(cè)分位數(shù)（分位點(diǎn)）的定義，為便于應(yīng)用，這里我們?cè)俸?jiǎn)要復(fù)習(xí)一下.在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位數(shù).設(shè)0<<1,對(duì)隨機(jī)變量X，稱(chēng)滿足的點(diǎn)為X的概率分布的上分位數(shù).第8頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)第9頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如:分布的上分位數(shù)自由度為n的第10頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月F分布的上分位數(shù)自由度為n1,n2的第11頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月書(shū)末附有分布、t

分布、F分布的上側(cè)分位數(shù)表，供使用.需要注意的事項(xiàng)在教材上有說(shuō)明.至于如何由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查表求得分位數(shù)，若你對(duì)分布函數(shù)定義熟悉的話，這個(gè)問(wèn)題不難解決.現(xiàn)在回到置信區(qū)間題目上來(lái).第12頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

一、置信區(qū)間定義：滿足設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量則稱(chēng)區(qū)間是

的置信水平（置信度、置信概率）為

的置信區(qū)間.分別稱(chēng)為置信下限和置信上限.第13頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

一旦有了樣本，就把估計(jì)在區(qū)間內(nèi).這里有兩個(gè)要求:可見(jiàn)，對(duì)參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量)(X1,…Xn)(X1,…Xn)第14頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長(zhǎng)度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說(shuō)，概率要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠.可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.第15頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月~N(0,1)選的點(diǎn)估計(jì)為求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.（1）設(shè)X1,…Xn是取自的樣本，二、置信區(qū)間的求法尋找未知參數(shù)的一個(gè)良好估計(jì).解：尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量的函數(shù)，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.第16頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得對(duì)于給定的置信水平(大概率),根據(jù)U的分布，確定一個(gè)區(qū)間,使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.使為什么這樣取？第17頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得使從中解得第18頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月也可簡(jiǎn)記為于是所求的置信區(qū)間為第19頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從解題的過(guò)程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:1.明確問(wèn)題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平

是多少?2.尋找參數(shù)的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)T(X1,X2,…Xn)

3.尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量T的函數(shù)S(T,),且其分布為已知.第20頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.對(duì)于給定的置信水平

，根據(jù)S(T,)的分布，確定常數(shù)a,b，使得P(a≤S(T,)≤b)=

5.對(duì)“a≤S(T,)≤b”作等價(jià)變形,得到如下形式:則就是的100(

)％的置信區(qū)間.第21頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這里，我們主要討論總體分布為正態(tài)的情形.若樣本容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì).第22頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

某工廠生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度X被認(rèn)為服從N(,0.04),現(xiàn)從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè),其長(zhǎng)度的測(cè)量值如下(單位毫米):14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.

求:該零件長(zhǎng)度的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計(jì).n=6,=0.05,Z/2=Z0.025=1.96

2=0.22.解:例1第23頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)已知因方差未知，取對(duì)給定的置信度

,確定分位數(shù)使即先求均值的區(qū)間估計(jì):

1、第24頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月均值的置信水平為的區(qū)間估計(jì).即為從中解得第25頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于從中解得2求方差的置信水平為的區(qū)間估計(jì).對(duì)給定的置信度

,確定分位數(shù)使第26頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月于是即為所求.第27頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

為了估計(jì)一件物體的重量,將其稱(chēng)了1O次,得到的重量(單位：千克)為:10.l,10,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,1O.3,9.9

設(shè)所稱(chēng)出的物體重量X服從N(,2).求:該物體重量的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間解:例2

n=10,=0.05,t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622第28頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

求:2的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間.解:例3(續(xù)例2)n=10,=0.05,S2=0.0583,查附表得:第29頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、單側(cè)置信區(qū)間上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限.例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來(lái)說(shuō)，平均壽命過(guò)長(zhǎng)沒(méi)什么問(wèn)題，過(guò)短就有問(wèn)題了.這時(shí)，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.第30頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計(jì)量則稱(chēng)區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱(chēng)為單側(cè)置信下限.第31頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月又若統(tǒng)計(jì)量滿足則稱(chēng)區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱(chēng)為單側(cè)置信上限.第32頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布.求燈泡壽命均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.

例4從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命X（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差未知，取樞軸