相似三角形題型歸納總結(jié)非常全面

相似三角形題型歸納總結(jié)非常全面

相似三角形題型歸納一、比例的性質(zhì)：比例的性質(zhì)可以分為以下幾個(gè)方面：（1）基本性質(zhì)：對(duì)于比例式a:b=c:d，有ad=bc（其中bd≠0）。（2）反比性質(zhì)：對(duì)于比例式a:b=c:d，有a:c=b:d（其中b≠0，d≠0）。（3）更比性質(zhì)：對(duì)于比例式a:b=c:d，有a+b:c+d=a-b:c-d（其中b≠0，d≠0）。（4）合比性質(zhì)：對(duì)于比例式a:b=c:d=e:f，有a+e:b+d:f+c=a:e:b:d:c:f（其中b≠0，d≠0，f≠0）。（5）分比性質(zhì)：對(duì)于比例式a:b=c:d=e:f，有a:b:e:d:f:c（其中b≠0，d≠0，f≠0）。（6）合分比性質(zhì)：對(duì)于比例式a:b=c:d=e:f，有a+b:a-b=c+d:c-d=e+f:e-f（其中b≠0，d≠0，f≠0）。（7）等比性質(zhì)：對(duì)于比例式a:b=b:c=c:d=d:e=?=m:n（其中b≠0，c≠0，d≠0，e≠0，?，n≠0），有am=bn。示例剖析：比例的性質(zhì)是解決相似三角形問(wèn)題的基礎(chǔ)，其中最基本的性質(zhì)是基本性質(zhì)，即對(duì)于比例式a:b=c:d，有ad=bc（其中bd≠0）。此外還有反比性質(zhì)、更比性質(zhì)、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)和等比性質(zhì)等。在解決具體問(wèn)題時(shí)，我們需要根據(jù)問(wèn)題的不同，選擇合適的比例性質(zhì)來(lái)運(yùn)用。二、成比例線段的概念：1．比例的項(xiàng)：在比例式a:b=c:d（即a/b=c/d）中，a，b稱為比例外項(xiàng)，c，d稱為比例內(nèi)項(xiàng)。特別地，在比例式a:b=b:c（即a/b=b/c）中，b稱為a，c的比例中項(xiàng)，滿足b2=ac。2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即a/b=c/d，則這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。3．黃金分割：黃金分割是一種特殊的比例關(guān)系，指的是將一條線段分成兩條線段，使得其中一條線段與整條線段的比等于整條線段與另一條線段的比。如果線段AB上一點(diǎn)C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AC2=AB×BC），則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn)。黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)。三、平行線分線段成比例定理：1．平行線分線段成比例定理：平行線分線段成比例定理指的是，如果兩條直線被三條平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。具體地，如果l1//l2//l3，則AB/DE=BC/EF=AC/DF。在解決相似三角形問(wèn)題時(shí)，我們需要靈活運(yùn)用比例的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理等知識(shí)，根據(jù)問(wèn)題的不同，選擇合適的方法來(lái)解決問(wèn)題。線、高線和角平分線．則有：AM:AM=AH:AH=AD:AD=k（相似比）3．相似三角形的判定①AAA判定：兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等，則這兩個(gè)三角形相似．②AA判定：兩個(gè)三角形有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，則這兩個(gè)三角形相似．③SAS判定：兩個(gè)三角形的一個(gè)角相等，另外兩邊分別成比例，則這兩個(gè)三角形相似．④SSS判定：兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊分別成比例，則這兩個(gè)三角形相似．【小結(jié)】相似三角形的定義、性質(zhì)和判定是初中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，需要掌握好相似三角形的性質(zhì)和判定方法，以便于后續(xù)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。在應(yīng)用中，相似三角形常常用來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題，如測(cè)量高樓、塔、橋梁等高度，計(jì)算太陽(yáng)高度角、影長(zhǎng)等。線、高線和角平分線的比例關(guān)系如下：在相似三角形中，相似比等于周長(zhǎng)比，即如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別相等，則這兩個(gè)三角形相似。如圖，如果△ABC中的∠A=∠A'，∠B=∠B'，則△ABC∽△A'B'C'。如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)三角形相似。如圖，如果AB/BC=A'B'/B'C'，則△ABC∽△A'B'C'。如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，則這兩個(gè)三角形相似。如圖，如果AB/AC=A'B'/A'C'，且∠A=∠A'，則△ABC∽△A'B'C'。在“A”字型中，如果DE∥BC，則△ADE∽△ABC，且AD/AB=DE/BC。在“8”字型中，如果AB∥CD，則△AOB∽△COD，且AB/AO=CD/CO。如果四邊形DEFG是△ABC的內(nèi)接矩形，且E、F在BC邊上，D、G分別在AB、AC邊上，則△ADG∽△ABC，且DG/BC=AD/AB。斜“8”模型如圖所示。1.當(dāng)∠A=∠D時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得到△AOB∽△DOC，進(jìn)而得到DA/O=BC/AO=AB/OC，其中AO×OC=BO×OD。2.圖中展示了斜“A”字型基本圖形，當(dāng)∠AED=∠B時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得到△ABC∽△AED，進(jìn)而得到AE/AB=AD/AC，其中AE×AC=AD×AB。3.當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，得到△ABC∽△ACD，進(jìn)而得到AC/AB=AD/BC，其中AC=AD×AB。4.當(dāng)E點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣可以得到△ABC∽△AED，進(jìn)而得到AE/AB=AD/AC，其中AE×AC=AD×AB。5.在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD垂直于BC于點(diǎn)D，根據(jù)射影定理可得到AD2=BD×CD，AB2=BD×BC，AC2=CD×CB，同時(shí)還可以得到∠B=∠CAD，∠C=∠BAD，以及AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，BC2=AB2+AC2。6.已知AB∥EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得到AB/EF=BD/DF=BC/CD，進(jìn)而得到111/AB=1/BD+1/CD，以及111/EF=1/BD+1/DF，其中BD+DF=BC。7.在圖中，AB垂直于BD，ED垂直于BD，AC垂直于EC，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，可得到AB/BC=CD/DE=AC/CE，進(jìn)而得到AB×DE=BC×CD，同時(shí)當(dāng)C是BD的中點(diǎn)時(shí)，還可以得到△ABC∽△CDE∽△ACE，且∠ABC=∠CDE=∠ACE。十三、角平分線定理內(nèi)角平分線定理：在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則有AB/BD=AC/CD。證明：過(guò)C作CE∥AD交BA延長(zhǎng)線于E?！逤E∥AD，∴∠1=∠E，∠2=∠3又∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠E=∠3，∴AE=AC，AB/BD=AB/CE=AC/CD，∴AB/BD=AC/CD。外角平分線定理在△ABC中，∠BAC的外角平分線交對(duì)邊BC的延長(zhǎng)線于D，則有AB/BD=AC/CD。證明：過(guò)C作CE∥AD交AB于E?！逤E∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4又∵AD平分∠CAF，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AE=AC，AB/BD=AB/CE=AC/CD，∴AB/BD=AC/CD。十四、線束模型若EF∥BC，則有EN/NF=EB/FC。若EF∥BC，則有EN/NF=EM/MF。例題1（2）已知x:y:z=1:3:5，則(x+3y-z)/(x-3y+z)=234/(xyz)。解析：設(shè)x=k，y=3k，z=5k。則(x+3y-z)/(x-3y+z)=(k+9k-5k)/(k-9k+5k)=4k/(-3k)=-4/3。又234/(xyz)=234/(15k^2)?！?-4/3)=234/(15k^2)，解得k=√(-39/5)。代入原式得答案為-4/3。（3）已知2a=3b=4c，且abc≠0，則(a+b)/(c-2b)=11/3。解析：由已知得a=3/2b=2c。代入原式得(3/2b+2c)/(c-4c)=11/3，解得b=-8/3c。代入a=3/2b=2c，得a=-16/9c?！?a+b)/(c-2b)=(-16/9c-8/3c)/(c-2(-8/3c))=11/3。答案為11/3。例題3如圖，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AC上，∠DFC=∠AEB。（1）證明：由平行線性質(zhì)可知，∠ADC=∠AEB，∠ADF=∠CAE，因此△ADF∽△CAE。（2）當(dāng)AD=8，DC=6，點(diǎn)E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)BE=x，則CE=6-x。由勾股定理可得：AB^2=AD^2+BD^2=8^2+6^2=100BC^2=CD^2+BD^2=6^2+x^2AC^2=AD^2+DC^2=8^2+6^2=100AC^2=CE^2+AE^2=(6-x)^2+(AB/2)^2將上述方程聯(lián)立解得x=3，AB=10，BC=√45，AC=10，因此直角梯形ABCD的面積為(AB+CD)×(AD/2)=(10+6)×8/2=56。（2）由題意可知，AMMBAB，∴APAMAB，PQACAB，QCACAB，∴AP2PQ，QC∴APPQQCD、E在AC上，F(xiàn)、G在BC上，且DEFG，求△ABC的面積．AFDBEGC圖解析：連接DF、EG，設(shè)DEFGx，則DF3x，EG4x，由勾股定理得：x2（3x）2AD2x2（4x）2BC2解得x1，DF2，EG3，因此SABC1332．題目：已知△ABC中，AD=2DE，求證：AP=3AB解析：如圖，過(guò)點(diǎn)D作PC的平行線，交AB于點(diǎn)H?！逪D∥PC，AD=2DE→AH/HD=2/1→AH=2HD，∵AH=2HD，PH=HD，∴AP=AH+PH=3PH，∵AH=BH+AB=2PH+AB，∴AB=BH=PH，∴AP=3AB。還可用如下輔助線來(lái)證此題：如圖，連接BE，取BD的中點(diǎn)為F，連接EF交BC于G點(diǎn)，由中位線定理，得EF//AB//CD，∴G為BC的中點(diǎn)，∠GEB=∠EBA，又∵∠EBA=∠GBE，∴∠GEB=∠GBE，∴EG=BG=BC/2，而GF=CD，EF=AB，EF=EG+GF，即：AB=BC/2+CD，∴AB=BC/2+CD；∴AB=BC/2+CD；鞏固：已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)。（1）若BK=5CD/2，KC=3AB/2，求AD時(shí)，猜想線段AB、BC、CD三者之間有AB=BC+CD；（2）連接BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE=AB/2時(shí)，線段AB、BC、CD三者之間有AB=2BC+CD。解析：（1）∵BK=5CD/2，KC=3AB/2，∴BK/KC=5/3，又∵CD∥AB，∴△KCD∽△KBA，∴AB/CD=KB/KC=5/3，又∵AB=BC+CD，∴BC=2/3AB，CD=1/3AB，∴AB=2/3AB+1/3AB，∴AB=AB；（2）當(dāng)BE平分∠ABC，AE=AB/2時(shí)，∵AF=FD，∴BE∥AC，又∵BE平分∠ABC，∴∠BEC=∠CEB，∴∠BAC=∠BCE，∴△BAC∽△BCE，∴AB/BC=AC/CE=2/1，又∵AB=BC+CD，∴2BC+CD=3BC，∴CD=BC，∴AB=2BC+CD。當(dāng)$n>2$且$AE=AD$時(shí)，有$BC+CD=(n-1)AB$。例題7：在$\triangleABC$中，$AD\perpBC$于$D$，$CE\perpAB$于$E$，且$\triangleABC$的面積是$\triangleBDE$面積的4倍，$AC=6$，求$DE$的長(zhǎng)度。解析：由$\angleABD=\angleCBE$，$\angleEBD=\angleCBA$可得$\triangleABD\sim\triangleCBE$，$\triangleBED\sim\triangleBCA$。因此，$$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB},\quad\frac{DE}{AC}=\frac{S_{\triangleBED}}{S_{\triangleBCA}}=\frac{1}{4}$$代入$AC=6$，解得$DE=3$。鞏固7：（1）如圖，在等邊$\triangleABC$中，點(diǎn)$D$、$E$分別在$BC$、$AC$上，且$BD=CE$，$AD$與$BE$相交于點(diǎn)$F$。證明：①$BD^2=AD\cdotDF$；②$AF\cdotAD=AE\cdotAC$；③$BF\cdotBE=BD\cdotBC$。（2）如圖，四邊形$ABCD$是菱形，$AF\perpAD$交$BD$于$E$，交$BC$于$F$。證明：$AD^2=2DE\cdotDB$。解析：（1）①由等邊$\triangleABC$可得$\triangleABD\cong\triangleBCE$，因此$\angleBAD=\angleCBE$，$\angleBFD=\angleBAD+\angleABE=\angleCBE+\angleABE=\angleABC$。故$\triangleABD\sim\triangleBFD$，$\frac{BD}{AD}=\frac{BF}{BD}$，即$BD^2=AD\cdotDF$。②由$\triangleABD\sim\triangleCBE$可得$\frac{AF}{AE}=\frac{BD}{AB}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{BD}{BC}$，兩式相乘得$AF\cdotAD=AE\cdotAC$。③由①可得$DF=\frac{BD^2}{AD}$，代入$\triangleABD\sim\triangleBFC$可得$\frac{BF}{BD}=\frac{BC}{BF}$，即$BF^2=BD\cdotBC$，故$BF\cdotBE=BD\cdotBC$。（2）$\becauseAB=BC$，$\therefore\angleABD=\angleBCD$。又$\becauseAF\perpAD$，$\therefore\angleAFE=\angleADE$。故$\triangleAFE\sim\triangleADE$，$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{DE}$，即$AF=\frac{AD\cdotAE}{DE}$。又$\becauseAB=BC=CD=DA$，$\thereforeAD=CD=\frac{1}{\sqrt{2}}AB$，$AE=\sqrt{3}AB$。代入$AF=\frac{AD\cdotAE}{DE}$，得$AF=\frac{\sqrt{3}}{2}DE$。又$\because\angleBPF=60^\circ$，$\therefore\angleAFP=120^\circ$，故$\triangleAFP$為等邊三角形，$AP=FP=AF=\frac{\sqrt{3}}{2}DE$。又由菱形的性質(zhì)可得$AP=BD$，故$BD=\frac{\sqrt{3}}{2}DE$，即$DE=\frac{2}{\sqrt{3}}BD$。代入$AD=CD=\frac{1}{\sqrt{2}}AB$，$AB=2BD$，得$DE=\sqrt{2}BD$，即$AD^2=2DE\cdotDB$。(1)在△ABC中，由射影定理可得：CD^2=CE·CA，CD^2=CF·CB，因此CE·CA=CF·CB，即CE/CF=CB/CA。又因?yàn)椤螮CF=∠BCA，所以△ECF∽△BCA。(2)在Rt△ABC中，由射影定理可得：AD^2=AE·AC，AD^2=AF·AB，因此AE·AC=AF·AB，即AE/AF=AB/AC。又因?yàn)椤螮AF=∠ABC，所以△EAF∽△ABC。由于△ADF∽△CEF，所以FD/CE=AD/AE。綜合上述比例關(guān)系可得：AB·FB·FD=AB·AF·(AD/AE)·FD=AD·AF·FD/AE=AD^2·FD/(AD·AE)=FD^2/CE=EF^2/CE=AC·EC·ED/CE=AC·ED因此，AB·FB·FD/AC·EC·ED=EF^2/CE，即AB·FB/AC·EC=EF^2/ED。因此△CEF∽△CBA。（2）如圖10-2，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3)，將矩形沿對(duì)角線AC翻折，使得B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E，則D點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________．解析：（2）過(guò)D點(diǎn)做DF垂直于x軸于F點(diǎn)，BC與FD的延長(zhǎng)線交于G點(diǎn)，則△CGD∽△DFA，因此有CG/GD=CD/AF，設(shè)CG=x，則DF=3x，AF=1+x，GD=3-3x。由于AF=3GD，列得方程1+x=3(3-3x)，解得x=4/12=1/3，因此CG=4/12=1/3，DF=3(1/3)=1，AD=AF+FD=1+3=4，DE=AD-AE=4-3=1，因此D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)。求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-5,5)。如圖11-1，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，且∠BAC=∠EDF=90°，頂點(diǎn)E與斜邊BC的中點(diǎn)重合。將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到如圖11-2，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與線段CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q。(1)由于△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，所以∠B=∠C=∠DEF=45°。因此，∠BEP+∠CEQ=135°，∠CQE+∠CEQ=135°，所以∠BEP=∠CQE。又因?yàn)椤螧=∠C=45°，所以△BPE∽△CEQ。(2)連接PQ，由△BPE∽△CEQ可得BP/BE=CQ/CE，即BP/CQ=BE/CE=1/2。已知BP=a，CQ=a，BE=CE=2a，所以BC=3√2a，AB=AC=3a，AQ=a，PA=2a/5。在直角三角形APQ中，PQ=a/2，所以根據(jù)勾股定理，AP=4a/5，AQ=3a/5。因此，PQ=√(a^2/4)=(a/2)。在梯形ABCD中，AB//CD，M是AB的中點(diǎn)，分別連接AC、BD、MD、MC，且AC與MD交于點(diǎn)E，DB與MC交于F。(1)由于AB//CD，所以ME/AM=MF/BM，即AM/MB=ME/MF。又因?yàn)锳M=MB，所以ME=MF，即EF//CD。(2)由于AM//EF//CD，所以EF/CD=AM/AB=1/2。已知AB=a，CD=b，所以EF=(b-a)/3。在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D。由角平分線定理，BD/DC=AB/AC。又因?yàn)椤螧AC=120°，所以AB/AC=1/2。因此，BD/DC=1/2，即BD=(1/3)BC。又因?yàn)锳D是BC的平分線，所以BD=CD。因此，BC=3BD=3CD，即BD=CD=(1/4)BC。由正弦定理可得，AD=2√3BD=2√3CD。因此，AD/AB=2√3/3，AD/AC=2√3/3，AB/AC=1/2。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，AD/AB=AD/AC，即AB=AC。因此，∠ABC=∠ACB=30°，∠BDC=60°，∠DBC=∠DCB=30°，BD=CD=(1/4)BC。由平行線分比定理得到APQAB，又由題意得到BMCN，因此APMBPN，即△APM和△BPN全等．∴∠AMP∠BNP，∠MAP∠BPN，∴△AMP和△BNP相似，由相似比得到ANBN，∴APBM，即BP2AP．同理可得，CE2AF．又因?yàn)镈F∥AC，故△DPE和△ABC相似，由相似比得到DEAC，∴DEACAEAC2CEAC4AF．同理可得，EF2ADAC．因此EFDE3，即EF3DE．題目：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、BC邊上，且AE=CF，連接EF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，若AG=3，求BE的長(zhǎng)度。解析：首先，我們可以利用正方形的對(duì)稱性，將圖形旋轉(zhuǎn)45度，得到如下圖：由于AE=CF，所以AEFC是一個(gè)菱形，因此AG是菱形對(duì)角線的一半，即AG=1。又因?yàn)锽E是正方形邊長(zhǎng)的一半，所以我們只需要求出BG和GE的長(zhǎng)度，即可得到BE的長(zhǎng)度。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，我們可以得到：△ABG∽△DGE因此，BG/GE=AG/GD=1/2，即BG=GE。又因?yàn)椤鰾GE是等腰直角三角形，所以BG=GE=BE/√2。將AG=1代入，得到：1+BE/√2=3解得BE=4-2√2。因此，BE的長(zhǎng)度為4-2√2。題目13：已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2)，點(diǎn)C是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與O、A兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)C作CD垂直于x軸，垂足為D，以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF，連接AF并延長(zhǎng)線段AF交x軸的正半軸于點(diǎn)B，連接OF。若以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△OFE相似，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是多少？解析：要使△BEF與△OFE相似，必須滿足∠FEO=∠FEB=90°，因此只需要滿足OE/EF=OE/BE=1或2即可。①當(dāng)OE/EF=1時(shí)，BE=EF=OE，因此B點(diǎn)在x軸上，坐標(biāo)為(6,0)。②當(dāng)OE/BE=2時(shí)，BO=4BE/3，因此需要解方程2BE/BE-2=4BE/3，得到BE=2/3。此時(shí)B點(diǎn)在