復(fù)習(xí)參考題人教A版 新教材

復(fù)習(xí)參考題4一．解答題1.根據(jù)下列數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別作出它們的圖象.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】答案見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求出它的前幾項(xiàng)，從而作出它們的圖象.【詳解】（1）的前5項(xiàng)分別為：，如下圖所示：（2）的前4項(xiàng)分別為：，如下圖所示：（3）的前5項(xiàng)分別為：3，，如下圖所示：（4）的前5項(xiàng)分別為：-1，，如下圖所示：2.根據(jù)下列數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.（1），，，；（2），，，；（3）0，，0，．【答案】（1），；（2），；（3），．【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的前四項(xiàng)特征，寫(xiě)出符合條件的通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)數(shù)列的前四項(xiàng)特征，寫(xiě)出符合條件的通項(xiàng)公式即可；（3）根據(jù)數(shù)列的前四項(xiàng)特征，寫(xiě)出符合條件的通項(xiàng)公式即可．【詳解】（1），，，，觀(guān)察每一項(xiàng)的分子是連續(xù)的奇數(shù)，分母是，，；（2），，，，觀(guān)察每一項(xiàng)的組成是1加或減一個(gè)分?jǐn)?shù)的形式，分?jǐn)?shù)的分子是連續(xù)的奇數(shù)，分母是連續(xù)偶數(shù)的平方，，；（3），，0，，該數(shù)列可化為，，，；，．二．選擇題3.預(yù)測(cè)人口的變化趨勢(shì)有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，k為預(yù)測(cè)期內(nèi)人口年增長(zhǎng)率，n為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù)，如果在某一時(shí)期，那么在這期間人口數(shù)（）A.呈上升趨勢(shì) B.呈下降趨勢(shì) C.擺動(dòng)變化 D.不變【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，可知為預(yù)測(cè)期內(nèi)年增長(zhǎng)率，當(dāng)，可知年增長(zhǎng)率為負(fù)，由此即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，為預(yù)測(cè)期內(nèi)年增長(zhǎng)率，如果在某一時(shí)期有，即年增長(zhǎng)率為負(fù)，故這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì).故選:B.4.《萊茵德紙草書(shū)》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書(shū)中有這樣一道題目：把個(gè)面包分給個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于關(guān)系式，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和、通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5.如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案．圖形的作法是：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到一條“雪花”狀的曲線(xiàn)．設(shè)原正三角形（圖①）的邊長(zhǎng)為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長(zhǎng)依次記為，，，，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】觀(guān)察圖形可得出為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求出.【詳解】觀(guān)察圖形發(fā)現(xiàn)，從第二個(gè)圖形開(kāi)始，每一個(gè)圖形的周長(zhǎng)都在前一個(gè)的周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上多了其周長(zhǎng)的，即，所以為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，.故選：B.三．填空題6.已知，，若a，b，c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則b=__________，若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則b=__________．【答案】①.5②.【解析】【分析】由等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】若a，b，c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.所以.若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列.所以故答案為：5，.7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_(kāi)____________【答案】3【解析】【詳解】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.四．解答題8.某中學(xué)的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進(jìn)行了一次募捐活動(dòng)，共收到捐款1200元．他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元．這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行了多少天？【答案】16【解析】【分析】由題意知每天得到的捐款成等差數(shù)列，寫(xiě)出首項(xiàng)與公差，代入前項(xiàng)和公式，即可解出答案.【詳解】由題意知：每天得到的捐款成等差數(shù)列.且則化簡(jiǎn)得：舍.故這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行了16天.9.某同學(xué)利用暑假時(shí)間到一家商場(chǎng)勤工儉學(xué)，該商場(chǎng)向他提供了三種付款方式：第一種，每天支付38圓；第二種，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，以此類(lèi)推：第三種，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍），你會(huì)選擇哪種方式領(lǐng)取報(bào)酬呢？【答案】見(jiàn)解析【解析】【詳解】，，．下面考察，，的大小．可以看出時(shí)，．因此，當(dāng)工作時(shí)間小于10天時(shí)，選用第一種付費(fèi)方式，時(shí)，，，因此，選用第三種付費(fèi)方式．10.非零實(shí)數(shù)a，b，c不全相等．（1）若a，b，c成等差數(shù)列，，，構(gòu)成等差數(shù)列嗎？你能用函數(shù)圖象解釋一下嗎？（2）若a，b，c成等比數(shù)列，，，能構(gòu)成等比數(shù)列嗎？為什么？【答案】（1）不構(gòu)成（2）構(gòu)成【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為一次函數(shù)模型即可判斷.（2）根據(jù)等比中項(xiàng)判斷即可.【詳解】（1）不成等差數(shù)列.可以從圖像上解釋.a，b，c成等差數(shù)列.則通項(xiàng)公式為的形式，且a，b，c位于同一直線(xiàn)上，而，，的通項(xiàng)公式卻是的形式，，，不可能在同一直線(xiàn)上，故，，不是等差數(shù)列.（2）成等比數(shù)列.因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，有，又由于a、b、c不為0，兩邊同取倒數(shù)有：.所以，，為等比數(shù)列.11.小明的父母為了準(zhǔn)備小明將來(lái)考入大學(xué)的學(xué)費(fèi)，于2017年元旦在某銀行存入10000元，并在后續(xù)每一年的元旦都在該銀行存入1200元，直到2022年存入最后一筆錢(qián)為止．如果銀行的存款年利率為2．75%，且以復(fù)利計(jì)息，那么小明的父母在2022年底將存款連本帶利全部取出時(shí)，能取到多少錢(qián)？【答案】元【解析】【分析】根據(jù)復(fù)利計(jì)算即可得出答案.【詳解】由題意得，小明的父母在2022年底將存款連本帶利全部取出的錢(qián)數(shù)為：（元）即能取到元.12.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱(chēng)“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱(chēng)為8步“雹程”）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿(mǎn)足：（m為正整數(shù)），．（1）當(dāng)時(shí)，試確定使得需要多少步雹程；（2）若，求m所有可能的取值集合M．【答案】（1）12；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用遞推關(guān)系逐步計(jì)算可得使得需要多少步雹程；（2）由，利用遞推關(guān)系，分類(lèi)討論逆推出的不同取值，進(jìn)而可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，即根據(jù)上述運(yùn)算法得出：故當(dāng)時(shí)，使得需要12步雹程；（2）若，根據(jù)上述運(yùn)算法進(jìn)行逆推，或；若，則或；當(dāng)時(shí)，或；若時(shí)，或；當(dāng)，則或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故所有可能的取值集合．13.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式，即可解出,則可寫(xiě)出其通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減，化簡(jiǎn)解可得出答案.【詳解】（1）由題意知：，即：化簡(jiǎn)得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）因?yàn)樗曰?jiǎn)得：.14.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）不存在【解析】【分析】（1）由題意知為等比數(shù)列，取代入等式即可解出，即可寫(xiě)出.（2）根據(jù)題意結(jié)合第一問(wèn)先寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，假設(shè)存在，解出m、k、p結(jié)果與題意矛盾,則不存在.【詳解】（1）由題意知：當(dāng)時(shí)：①當(dāng)時(shí)：②聯(lián)立①②，解得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，.所以.所以.設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)，，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.則，所以，即.又因?yàn)閙，k，p成等差數(shù)列,所以所以化簡(jiǎn)得所以又，所以與已知矛盾.所以在數(shù)列中不存在3項(xiàng)，，成等比數(shù)列.15.類(lèi)比等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、常用性質(zhì)等，發(fā)現(xiàn)它們具有如下的對(duì)偶關(guān)系：只要將等差數(shù)列的一個(gè)關(guān)系式中的運(yùn)算“＋”改為“×”，“-”改為“÷”，正整數(shù)倍改為正整數(shù)指數(shù)冪，相應(yīng)地就可得到等比數(shù)列中一個(gè)形式相同的關(guān)系式，反之也成立．（1）根據(jù)上述說(shuō)法，請(qǐng)你參照下表給出的信息推斷出相關(guān)的對(duì)偶關(guān)系式；名稱(chēng)等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項(xiàng)公式常用性質(zhì)①…②③④①②③若，則④（2）在等差數(shù)列中，若，則有．相應(yīng)地，在等比數(shù)列中，若，請(qǐng)你類(lèi)比推測(cè)出對(duì)偶的等式，并加以證明．【答案】（1）答案見(jiàn)下表；（2）等式見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)將等差數(shù)列的一個(gè)關(guān)系式中的運(yùn)算“＋”改為“×”，“-”改為“÷”，正整數(shù)倍改為正整數(shù)指數(shù)冪，相應(yīng)地就可得到等比數(shù)列中一個(gè)形式相同的關(guān)系式，反之也成立．類(lèi)比推斷出相關(guān)的對(duì)偶關(guān)系式即可；（2）類(lèi)比推測(cè)出對(duì)偶的等式，并根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）根據(jù)上述說(shuō)法，參照給出的信息推斷出相關(guān)的對(duì)偶關(guān)系式如下表：名稱(chēng)等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項(xiàng)公式常用性質(zhì)①…②③若，則④①②③若，則④（2）類(lèi)比推測(cè)出對(duì)偶的等式知，在等比數(shù)列中，若，；證明如下：由等比數(shù)列性質(zhì)知；；故當(dāng)，即時(shí)，；則同理當(dāng)，即時(shí)，綜上所述：16.在2015年蘇州世乒賽期間，某景點(diǎn)用乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第2，3，4，…堆最底層（第一層）分別按圖中所示方式固定擺放，從第二層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球．記第n堆的乒乓球總數(shù)為．（1）求出；（2）試歸納出與的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式探求的表達(dá)式．參考公式：．【答案】（1）10；（2）；；證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形可直接求出；（2）觀(guān)察圖形的排列規(guī)律，歸納總結(jié)出與的關(guān)系式，并求得的表達(dá)式．【詳解】觀(guān)察圖形的排列規(guī)律可知，；；；（1）（2）由上知，則故又，則17.有理數(shù)都能表示成，且，m與n互質(zhì)）的形式，進(jìn)而有理數(shù)集且，m與n互質(zhì)}．任何有理數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)．反之，任一有限小數(shù)也可以化為的形式，從而是有理數(shù)；那么無(wú)限循環(huán)小數(shù)是否為有理數(shù)？思考下列問(wèn)題：（1）是有理數(shù)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）是有理數(shù)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）是，理由見(jiàn)解析；（2）是，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由可判斷；（2）由可判斷.【詳解】無(wú)限循環(huán)小數(shù)也可以化成，且，m與n互質(zhì)）的形式，故無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，（1），可以化為的形式，故是有理數(shù)；（2），可以化為的形式，故是有理數(shù).18.平面上有個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同一條直線(xiàn)上．過(guò)這些點(diǎn)中任意兩點(diǎn)作直線(xiàn)，這樣的直線(xiàn)共有多少條？證明你的結(jié)論．【答案】；證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】根據(jù)時(shí)的直線(xiàn)條數(shù)，歸納出有n個(gè)點(diǎn)時(shí)的直線(xiàn)條數(shù)，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，過(guò)任意兩個(gè)點(diǎn)作直線(xiàn)，共有3條；當(dāng)時(shí)，設(shè)四個(gè)點(diǎn)為，過(guò)三點(diǎn)中的任意2點(diǎn)的直線(xiàn)有三條，過(guò)三點(diǎn)中的任意1點(diǎn)與D點(diǎn)相連的直線(xiàn)有3條，即共有條；當(dāng)時(shí)，設(shè)五個(gè)點(diǎn)為，同上，過(guò)中的任意2點(diǎn)的直線(xiàn)有6條，過(guò)中的任意1點(diǎn)與的連線(xiàn)共有4條，即共有條；假設(shè)當(dāng)，過(guò)k個(gè)點(diǎn)（任意三點(diǎn)不共線(xiàn)）中任意2點(diǎn)作直線(xiàn)，共有條；當(dāng)時(shí)，共有k+1個(gè)