高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)chapter

第五章 應(yīng)用微積分預(yù)備知識(shí)：微積分的基本概念數(shù)值微積分MATLAB命令計(jì)算實(shí)驗(yàn)：數(shù)值微積分建模實(shí)驗(yàn)：奶油蛋糕習(xí)題5.1

預(yù)備知識(shí)：微積分的基本概念1、極限和連續(xù)2、微分和導(dǎo)數(shù)3、多元函數(shù)微分學(xué)4、積分1、極限和連續(xù)數(shù)列極限："e>0,$

N>0

，使當(dāng)n>N時(shí)，有xn

-a<e，則連續(xù)：如果當(dāng)xfi

x0時(shí)，有f(x)fi

f(x0)，則稱(chēng)

f(x)在x0連續(xù)。閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值。nfi

￥函數(shù)極限：如果當(dāng)xfi

x0時(shí)有f(x)fi

A，則lim

xn

=

alim

f

(

x)

=

Axfi

x00函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x

的導(dǎo)數(shù)為h0'

00f

(x

)

=

limf

(x

+

h)

-

f

(x

)hfi

0函數(shù)在x0處切線(xiàn)的斜率若f(x)在x0可導(dǎo)則在x0可微，dy=Adx當(dāng)f’(x0)>0,函數(shù)在x0點(diǎn)附近是上升的；當(dāng)f’(x0)<0,函數(shù)在x0點(diǎn)附近是下降的；當(dāng)f’(x0)=0,x0為駐點(diǎn),若x0為駐點(diǎn)且f”(x0)<0(或f”(x0)>0)，則f(x)在x0點(diǎn)達(dá)到局部極大（或局部極?。?、微分與導(dǎo)數(shù)當(dāng)n=0

得，微分中值定理f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)其中x是x0與x之間某個(gè)值Taylor公式：當(dāng)f(x)在含有x0某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，n!f

''

(x

)f

(n)

(

x

)0

0

00f

(

x)

=

f

(

x

)

+

f

'

(

x

)(

x

-

x

)

+

0

(

x

-

x )2

+00(

x

-

x

)(n+1)+

0

(

x

-

x )n

+2f

n+1

(x)(n

+1)!設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)附近有定義，當(dāng)(x,y)以任何方式趨向于(x0,y0)時(shí)，f(x,y)趨向于一個(gè)確定的常數(shù)A，則lim

f

(x,

y)

=

Axfi

x0yfi

y0若

A=f(x0,y0),

稱(chēng)f(x,y)在(x0,y0)

點(diǎn)連續(xù)；f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)分別定義為：0

0f

y'(

x0

,

y0

)0000f

x'

(

x0

,

y0

)

=)

-

f

(

x0

,

y0

)limDxfi

0=

limDyfi

0f

(

x

+

Dx,

yDxf

(

x

,

y

+

Dy)

-

f

(

x

,

y

)Dy3、多元函數(shù)微分學(xué)abnlimmax(

Dxi

)fi

0

i

=1

f

(

x)dx

=

f

(xi

)Dxi其中a=x0<x1<…<xn=b,Dxi=xi-xi-1,xi?

(xi-1,xi),i=1,2,…,n若在[a,b]上,

F’(x)=f(x),

則二重積分定義為i

ji

j

f

(x,

y)dxdy=Gmax(

Dx2

+Dy2

)fi

￥lim

f

(xi

,h

j

)Dxi

Dy

j4、積分函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的積分定義為baf

(

x)dx

=

F

(b)

-

F

(a)5.2

數(shù)值微積分MATLAB命令1、數(shù)值差分2、數(shù)值導(dǎo)數(shù)和梯度3、梯形積分法4、高精度數(shù)值積分5、重積分1、數(shù)值差分n維向量x=(x1,x2,…,xn)的差分定義為n-1維向量Dx

=(x2

-x1,x3

-x2

,...,xn

-xn-1

)diff(x)如果x是向量，返回向量x的差分如果x是矩陣，則按各列作差分。

k階差分，即差分k次diff(x,

k)>>

A=[1

3;5

2;6

5;77],B=diff(A),C=diff(A,2)A

=B

=C

=134-1-3452130-1651277q=polyder(p)求得由向量p表示的多項(xiàng)式的導(dǎo)函數(shù)的向量表示q；Fx=gradient(F,x)返回向量F表示的一元函數(shù)沿x方向的導(dǎo)函數(shù)F’(x)，其中x是與F同維數(shù)的向量；[Fx,Fy]=gradient(F,x,y)返回矩陣F表示的二元函數(shù)的數(shù)值梯度(F‘x,F’y),當(dāng)F為m×n矩陣時(shí),x,y分別為n維和m維的向量；quiver(X,Y,U,V)在(X,Y)平面點(diǎn)上，畫(huà)(U,V)表示的方向箭頭；2、數(shù)值導(dǎo)數(shù)和梯度的方向?qū)?shù)圖>>

xa=-2:0.2:2;ya=-2:0.5:2;[x,y]=meshgrid(xa,ya);>>

z=x.*exp(-x.^2-y.^2);>>mesh(x,y,z)>>

[px,py]=gradient(z,xa,ya);>>

contour(x,y,z),hold

on,>>quiver(x,y,px,py),hold

off2

2例：畫(huà)函數(shù)

z

=

xe-x

-y3、梯形積分法trapz

是最基本的數(shù)值積分方法,精度低。z=trapz(x,y)返回積分的近似值，其中x表示積分區(qū)間的離散化向量;y是與x同維數(shù)的向量,表示被積函數(shù)。例21-12e

dx-x解：>>clear;

x=-1:0.1:1;y=exp(-x.^2);>>trapz(x,y)4、高精度數(shù)值積分quad(Fun,a,

b)

自適應(yīng)步長(zhǎng)Simpson積分法求得

Fun在區(qū)間[a,b]上的定積分，F(xiàn)un為M文件函數(shù)句柄或字符串內(nèi)嵌函數(shù)z=quadl(Fun,a,b)高精度Lobatto積分法。格式同quad。注：trapz,

quad,

quad1：一元函數(shù)積分；點(diǎn)運(yùn)算；不能用于求廣義積分。例：>>

z=quad(inline('exp(-x.^2)'),-1,1)>>

z=quadl(inline('exp(-x.^2)'),-1,1)z

=1.4936點(diǎn)運(yùn)算5、重積分z=dblquad(Fun,a,b,c,d)

求得二元函數(shù)

Fun(x,y)的矩形區(qū)域重積分，F(xiàn)un為M文件函數(shù)句柄或字符串內(nèi)嵌函數(shù)。a,b為變量x的下上限；c,

d為變量y的下上限。z=triplequad(Fun,a,b,c,d,e,f)

求得三元函數(shù)Fun(x,y,z)的重積分,格式類(lèi)似dblquad。例2、計(jì)算重積分

2

20

-2x

exp(x

2

+

y

2

)dxdy

p

1

10

0

-1(

y

sin

t

+

z

cos

t)dtdydz>>

clear;fun=inline('x.*exp(x.^2+y.^2)','x','y');>> dblquad(fun,0,2,-2,2)>>

fun=inline('y.*sin(t)+z.*cos(t)');>>

triplequad(fun,0,pi,0,1,-1,1)1、數(shù)值微分2、導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性與極限3、梯形積分法4、變步長(zhǎng)積分法5.3

計(jì)算實(shí)驗(yàn)：數(shù)值微積分1、數(shù)值微分若f(x)在x=a可導(dǎo),設(shè)h>0且足夠小，則稱(chēng)中心差商hf

'

(a)

?

f

(a

+

h)

-

f

(a)hf

'

(a)

?

f

(a)

-

f

(a

-

h)f

'

(a)

?

f

(a

+

h)

-

f

(a

-

h)2h向前差商向后差商>>

clear;x=[1

1.1

1.2

1.3];y=x.^3;

dy=diff(y)./diff(x)dy=3.3100

3.9700

4.6900向前差商>>

dy=gradient(y,x)dy=3.3100

3.6400

4.3300

4.6900梯度求解－中心差商>>3*x.^2驗(yàn)證ans

=3.0000

3.6300

4.3200

5.07002、導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性與極值當(dāng)f

’(x0)>0,函數(shù)在x0點(diǎn)附近是上升的，f

’(x0)<0,函數(shù)在x0點(diǎn)附近是下降的；函數(shù)在x0點(diǎn)達(dá)到局部極大(或局部極小)的充分條件是f

’(x0)=0且f’’(x0)<0(或f’’(x0)>0)例3、考慮函數(shù)f(x)=x2cos(x2+3x-4)在[-2,

2]內(nèi)的圖象特征。>>

clear;fun='x.^2.*cos(x.^2+3*x-4)';>>

fplot(fun,[-2,2]);grid

on;hold

on;>>

h=0.01;x=-2:h:2;df=diff(eval(fun,x))/h;>>

plot(x(1:end-1),df,':r')X=-2:h:2時(shí)，fun的值X的前n-1個(gè)元素組成的向量abxnif

(

x)dxxi-1f

(

x)dx

=

i

=1在[xi-1,xi]上f(x)近似為一直線(xiàn)，用弦線(xiàn)代替，則xixi

-12i-1

ibf

(x)dx

?

xi

-

xi-1

(

f

(x

)

+

f

(x

))

a

x

xi-1

i3、梯形法積分設(shè)f(x)在[a,b]上大于0，且a=x0<x1<……<xn=b,則4、變步長(zhǎng)積分法function

[t,n]=trapz_v(fname,a,b,tol,N)if

nargin<5,

N=1e+10;endif

nargin<4,

tol=1e-4;endfa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);h=b-a;t=h*(fa+fb)/2;t0=t+2*tol;n=1;while

abs(t-t0)>tol

&

n<=Nt0=t;x=(a+h/2):h:b;f=feval(fname,x);t=t0+h*sum(f);t=t/2;h=h/2;n=2*n;endif

n>N,warning('Iteration

exceeds

limit');end某數(shù)學(xué)家的學(xué)生要送一個(gè)特大的蛋糕來(lái)慶賀他90歲生日。為了紀(jì)念他提出的口腔醫(yī)學(xué)的懸鏈線(xiàn)模型，學(xué)生們要求蛋糕店老板將蛋糕邊緣半徑作成下列懸鏈線(xiàn)函數(shù)r=2-(exp(2h)+exp(-2h))/5,

0<h<1(單位：米)。蛋糕的成本取決于蛋糕的重量和表面積（底面除外），問(wèn)如何計(jì)算重量和表面積？5.4

建模實(shí)驗(yàn)：奶油蛋糕解：設(shè)高為H，半徑r,比重為k若蛋糕是單層圓盤(pán)的，則蛋糕的重量和表面積分別為：W=kpHr2

S

=

2pHr+pr2若蛋糕是雙層的，每層高H/2，下層半徑r1,上層半徑r2，則W=kpH(r12+

r22)/2S

=

pH(r1+r2)+pr22如果蛋糕是n層的，每層高H/n，半徑分別r1,…,rn,則rHr1r2HnrinW

=

kp2i

=1inHr

fi

kHW

=

kp

np2i

=10r

2

(h)dhni

ni

=12HS

=

2p

nr

+

prinnHi

=1202HS

=

2p

nr

+

pr

fi

2p

r(h)dh+

pr(H)若蛋糕邊緣是曲線(xiàn)r=r(h),

0<h<H，各層半徑近似為

ri

=r((i-1/2)H/n),

i=1,…,n,

那么當(dāng)nfi

￥，例4、一半徑為5m的球形水罐充滿(mǎn)了水，底部有一半徑為b=0.1m的小孔漏水，問(wèn)多少時(shí)間以后，水面下降至離底部0.5m?解：水從孔漏出的速度由下列能量方程決定g(z+R)=u2/2

，

u是速度,z表示從球心測(cè)量的水面高度,

g為重力加速度?？紤]在時(shí)間dt內(nèi)水面變化dz，漏水的體積為uAdt=

-

px2dz其中x為高度z水面的半徑,A=pb2由于R2=z2+x2得dt=-

RRR

-

zdz

=

0.5-R

b22

20.5-Rb2R

2

-

z

2dz2g(z

+

R)2g(z

+

R)在頂部z=R水降到0.5m時(shí)，z=0.5-R，從而t=-dzb2R

2

-

z

22g(z

+

R)5m0.5m05.5

擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)：計(jì)算機(jī)可信嗎1、計(jì)算機(jī)的局限性2、廣義積分廣義積分?jǐn)?shù)值求解是一個(gè)較困難的問(wèn)題，通常數(shù)值積分方法都不適用。例5(無(wú)界域積分)計(jì)算積分I=￥-￥exp(sin

x

-

x

2

/100)dx例6、(奇點(diǎn)積分)計(jì)算積分I=dxx

(exp(

x)

+

1)013、重積分重積分的數(shù)值計(jì)算可通過(guò)單積分組合計(jì)算I

=Af

(

x,

y)dxdy

=dxf

(x,

y)dya c(

x

)b

d

(

x

)我們利用梯形法，先將[a,b]區(qū)間m等分，hx=(b-a)/m,x