相關(guān)數(shù)列分析

第1頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13.1相關(guān)分析13.1.1相關(guān)關(guān)系的概念現(xiàn)象間的關(guān)系有兩種類型：1．函數(shù)關(guān)系。指現(xiàn)象之間存在著嚴(yán)格的依存關(guān)系，即變量之間依一定的函數(shù)形式形成的一一對應(yīng)的關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系。2．相關(guān)關(guān)系。又稱統(tǒng)計關(guān)系，是指兩個變量之間存在某種依存關(guān)系，但變量y并不是由變量x唯一確定的，它們之間沒有嚴(yán)格的一一對應(yīng)關(guān)系。2第2頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13.1.2相關(guān)關(guān)系的種類1.按相關(guān)關(guān)系涉及的因素多少，可分為單相關(guān)與復(fù)相關(guān)。2.按相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式，分為直線相關(guān)和曲線相關(guān)。3.按相關(guān)關(guān)系的變動方向，分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。4.按相關(guān)關(guān)系是否涉及有關(guān)影響因素，分為因相關(guān)和自相關(guān)。3第3頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13.1.3簡單相關(guān)系數(shù)相關(guān)分析的內(nèi)容主要是研究現(xiàn)象之間有無關(guān)系，相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式和密切程度。相關(guān)分析的方法主要有相關(guān)圖表和相關(guān)系數(shù)等。當(dāng)變量y與變量x之間具有線性相關(guān)時，可用簡單相關(guān)系數(shù)測定它們之間的密切程度。計算公式為：4第4頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月簡單相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為

－1≤r≤1其中，為x與y變量的協(xié)方差，為x變量的標(biāo)準(zhǔn)差，為y變量的標(biāo)準(zhǔn)差，、分別表示變量y和x的n個數(shù)據(jù)的平均值。5第5頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)r＜1時，則x與y之間為負(fù)相關(guān)，r＞1時，則x與y之間為正相關(guān)。當(dāng)r=1時，則x與y是完全正相關(guān)，r=－1時，則x與y是完全負(fù)相關(guān)。在這兩種情形下，兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系。當(dāng)r=0時，則x與y之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，但有可能存在非線性相關(guān)關(guān)系。通常有下列判別標(biāo)準(zhǔn)：

r＜0.3，無相關(guān)；

0.3≤r＜0.5，低度相關(guān)；

0.5≤r＜0.8，中度相關(guān)；

r≤0.8，高度相關(guān)。[例13.1]6第6頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月需要指出的是，測定簡單相關(guān)系數(shù)時，x與y兩個變量是對等的關(guān)系，即所研究的兩個變量不分彼此，誰作x，誰作y都可以；兩個變量只能算出一個相關(guān)系數(shù)，其值大小反映兩變量之間的密切程度；計算相關(guān)系數(shù)要求兩個變量必須都是隨機(jī)的。7第7頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13.1.4相關(guān)指數(shù)簡單相關(guān)系數(shù)只適用于兩個變量間的直線相關(guān)的測定。而不適用于曲線相關(guān)和復(fù)相關(guān)的測定。若要測定曲線相關(guān)或復(fù)相關(guān)的緊密程度，則需要先進(jìn)行回歸分析，求出回歸方程后，再由自變量x求出因變量y的估值，用下列公式計算相關(guān)指數(shù)（R）：（―1≤R≤1）8第8頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)指數(shù)是一種廣義的相關(guān)系數(shù)，線性相關(guān)與曲線相關(guān)，單相關(guān)與復(fù)相關(guān)均可應(yīng)用。對于簡單線性相關(guān)而言，相關(guān)指數(shù)與相關(guān)系數(shù)是一致的。但是對于曲線相關(guān)與復(fù)相關(guān)而言，相關(guān)指數(shù)與簡單相關(guān)系數(shù)在含義上是不同的。9第9頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13.1.5時間數(shù)列自相關(guān)時間數(shù)列自相關(guān)是指某個變量（y）自身隨時間不同，其數(shù)值在前后時期之間表現(xiàn)出一定的依存關(guān)系?；蛘哒f，任一具體時期的數(shù)值都和它前一期或前幾期的數(shù)值之間存在一定的聯(lián)系。研究時間數(shù)列本身的相關(guān)關(guān)系，對于分析社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象發(fā)展變化的規(guī)律性和進(jìn)行預(yù)測，具有重要的意義。時間數(shù)列自相關(guān)也有正相關(guān)與負(fù)相關(guān)，直線相關(guān)與曲線相關(guān)，簡單相關(guān)與復(fù)相關(guān)等不同的形態(tài)。下面著重介紹簡單的直線自相關(guān)，即本期與前期或某一期數(shù)值相關(guān)。10第10頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)為y數(shù)列t期的數(shù)值，為y數(shù)列t－i期的數(shù)值，I可以為1，亦可為2，3，4……等等，但必須固定遞推期。則自相關(guān)系數(shù)計算公式為：[例13.2]11第11頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13．2一元線性回歸13.2.1一元線性回歸模型如果兩個變量之間存在相關(guān)關(guān)系，并且一個變量（自變量）的變化會引起另一個變量（因變量）按某一線性關(guān)系變化，則兩個變量間的關(guān)系可用一元線性回歸模型描述：

y=a+bx+e式中：a、b為回歸系數(shù)，a為回歸直線的截距，b為回歸直線的斜率，e是誤差項。一元線性回歸模型具有以下特點：12第12頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月1．兩個變量y、x之間必須存在著真實的線性相關(guān)關(guān)系；2．兩個變量y、x之間不是對等的關(guān)系，一個是因變量，一個是自變量。3．因變量y是隨機(jī)變量，自變量x是非隨機(jī)變量，是給定的數(shù)值。4．回歸系數(shù)b有正負(fù)之分，b為正值，則x與y之間正相關(guān)；b為負(fù)值，x與y之間負(fù)相關(guān)。13第13頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13.2.2一元線性回歸模型的參數(shù)估計一元線回歸模型的a、b參數(shù)，通常采用最小二乘法估計。其要求是誤差項e的平方和最小，即：按照這一要求，要導(dǎo)出下列求解a、b參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程組：14第14頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月求解可得：如果先做相關(guān)分析，后做回歸分析，則a、b參數(shù)：[例13.4]15第15頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13.2.3回歸模型的評價與檢驗1．?dāng)M合程度的測定。因變量y的各個觀測值點聚集在回歸直線周圍的緊密程度，稱為回歸直線對樣本數(shù)據(jù)點的擬合程度。通常用可決系數(shù)來表示。計算公式為：16第16頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為回歸平方和;為離差平方和；其中：為剩余平方和（殘差平方和）三者的關(guān)系可表示為：17第17頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月可決系數(shù)的取值區(qū)間為[0，1]。實際上，可決系數(shù)

是線性相關(guān)系數(shù)r的平方，因此，相關(guān)系數(shù)又可用下列公式求得：

r的正負(fù)號與回歸系數(shù)b的正負(fù)號相同，越接近于1，表明回歸直線對樣本數(shù)據(jù)點的擬合程度越高?？蓻Q系數(shù)

的實用計算式為：18第18頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月19第19頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月2．估計標(biāo)準(zhǔn)誤差。又稱剩余標(biāo)準(zhǔn)差，它是評價回歸直線代表性大小或?qū)嶋H值與估計值誤差大小的綜合性指標(biāo)。計算公式為：由估計標(biāo)準(zhǔn)誤差sy和因變量y的平均值，可計算相對標(biāo)準(zhǔn)誤差：20第20頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月3．回歸系數(shù)b的顯著性檢驗?；貧w系數(shù)b是一個估計值，若y與x之間不存在線性關(guān)系，則回歸系數(shù)b不具有顯著性，所建立的回歸方程是不能利用的?；貧w系數(shù)b的顯著性檢驗采用t檢驗。其統(tǒng)計量為：21第21頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)給定的顯著水平α(通常α

=0.05)和自由度，n－2，查t分布表得到臨界值，若＞

，則回歸系數(shù)b具有顯著性，若＜，則回歸為系數(shù)b不具有顯著性，即b與0的差異是不顯著的。4．回歸方程的顯著性檢驗?；貧w方程顯著性檢驗是檢驗整個回歸方程是否具有顯著性，判斷y與x之間是否存在真實的線性相關(guān)，亦即對相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行檢驗?；貧w方程的顯著性檢驗采用F檢驗。首先計算回歸方程的F統(tǒng)計量，計算公式為：22第22頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月然后，根據(jù)給定的顯著水平α(通常α=0.01或0.05)及自由度(1，n—2)查F分布表得到臨界值F。若F＞Fα，則回歸方程的回歸效果是顯著的；F＜

Fα

，則回歸方程的回歸效果是不顯著的。23第23頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月需要說明的是，對于一元線性回歸方程而言，t檢驗和F檢驗只要作任意一個檢驗即可。因為只有一個自變量，回歸系數(shù)b具有顯著性，則相關(guān)系數(shù)r必定具有顯著性。但是，在多元回歸分析中，二者之間并不是等價的。24第24頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13.2.4一元線性回歸模型的應(yīng)用一元線性回歸模型通過各種檢驗評價之后，則可利用回歸模型進(jìn)行有關(guān)問題的分析、預(yù)測和控制。其應(yīng)用有以下幾個方面：1．邊際分析和彈性分析。一元線性回歸模型中的回歸系數(shù)b就是平均邊際變化率，它能說明x增加一個單位y能增加多少個單位。而要說明x增減1%，y能增減百分之幾，則可用下列公式測定平均彈性系數(shù)（E）。25第25頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月2．臨界點或平衡點分析。當(dāng)一元線性回歸模型中的x、y是一種收支關(guān)系時，并且是根據(jù)橫截面樣本數(shù)據(jù)建立的回歸模型，則可用來測定收支相等的臨界點。即：y=a+bx

令x=y，則3．利用回歸模型進(jìn)行預(yù)測。將自變量的預(yù)測值代人回歸模型可求得因變量的預(yù)測值。作為與相對應(yīng)的的預(yù)測值就是點預(yù)測。亦可用利余標(biāo)準(zhǔn)差和一定的置信概率進(jìn)行區(qū)間預(yù)測。26第26頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)y為正態(tài)分布，n較大，自變量x的預(yù)測值離樣本均值不遠(yuǎn)時，可用構(gòu)建預(yù)測區(qū)間。(概率為95%，z為1.96，概率為95.45%，z為2)。當(dāng)n較小(n＜30)時，并且不遠(yuǎn)離時，需用t分布構(gòu)建預(yù)測區(qū)間。即。(概率為95%，t為2；概率為99%，t為3)。4．利用回歸模型進(jìn)行控制。所謂控制，是指預(yù)測的反問題，就是說，如果我們要求y在確定范圍內(nèi)取值，那么應(yīng)該把自變量x控制在什么數(shù)值上或取值范圍內(nèi)。27第27頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13.3多元線性回歸

13.3.1多元線性回歸模型設(shè)y為因變量，

為自變量，并且自變量與因變量之間為線性關(guān)系時，則多元線性回歸模型為：其中，

為常數(shù)項，

為回歸系數(shù)，又稱偏回歸系數(shù)。28第28頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月如果兩個自變量

同一個因變量y呈線性相關(guān)時，可用二元線性回歸模型描述：建立多元線性回歸模型時，為了保證回歸模型具有優(yōu)良的解釋能力和預(yù)測效果，應(yīng)首先注意自變量的選擇，其準(zhǔn)則是：(1)自變量對因變量必須有顯著的影響，并呈密切的線性相關(guān)；29第29頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)自變量與因變量之間的線性相關(guān)必須是真實的，而不是形式上的；(3)自變量之間應(yīng)具有一定的互斥性，即自變量之間的相關(guān)程度不應(yīng)高于自變量與因變量之間的相關(guān)程度。(4)自變量應(yīng)具有完整的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，其預(yù)測值容易確定。30第30頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13.3.2多元線性回歸模型的參數(shù)估計用最小二乘法求解參數(shù)。以二元線性回歸模型為例，求解回歸參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程組為：解此方程組可求得

的數(shù)值。亦可用下列矩陣法求解：31第31頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月亦即：32第32頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13.3.3多元線性回歸模型的檢驗與評價1．?dāng)M合程度的測定。多重可決系數(shù)

，它是在因變量的總變化中，由回歸方程解釋的變動(回歸平方和)所占的比重，越大，回歸方程對樣本數(shù)據(jù)點擬合的程度越強，所有自變量與因變量的關(guān)系越密切。計算公式為：33第33頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月其中：2．估計標(biāo)準(zhǔn)誤差。即因變量y的實際值與回歸方程求出的估計值之間的平均誤差，估計標(biāo)準(zhǔn)誤差越小，回歸方程擬合程度越強。34第34頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月其中k為多元線性回歸方程中自變量的個數(shù)。3．回歸方程的顯著性檢驗。即檢驗整個回歸方程的顯著性，或者說評價所有自變量與因變量的線性關(guān)系是否密切。通常采用F檢驗，F(xiàn)統(tǒng)計量的計算公式為：35第35頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)給定的顯著水平α，自由度(k，n-k-1)查F分布表，得到相應(yīng)的臨界值Fα，若F＞Fα，則回歸方程具有顯著意義，回歸效果顯著；F＜

Fα，則回歸方程無顯著意義，回歸效果不顯著。4．回歸系數(shù)的顯著性檢驗。檢驗回歸模型中各個回歸系數(shù)是否具有顯著性，以便使模型中只保留那些對因變量有顯著影響的因素。檢驗時先計算統(tǒng)計量ti，然后根據(jù)給定的顯著水平α，自由度n-k-1查t分布表，得臨界值tα或tα/2，t＞tα或tα/2，則回歸系數(shù)bi與0有顯著差異，反之，則與0無顯著差異。統(tǒng)計量t的計算公式為：36第36頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月其中Cij是多元線性回歸方程中求解回歸系數(shù)矩陣的逆短陣的主對角線上的第j個元素。對二元線性回歸而言，可用下列公式計算：37第37頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月其中：38第38頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月5．多重共線性判別。多重共線性是指在多元線性回歸方程中，自變量之間有較強的線性關(guān)系，這種關(guān)系若超過了因變量與自變量的線性關(guān)系，則回歸模型的穩(wěn)定性受到破壞，回歸系數(shù)估計不準(zhǔn)確。需要指出的是，在多元回歸模型中，多重共線性是難以避免的，只要多重共線性不太嚴(yán)重就行了。判別多元線性回歸方程是否存在嚴(yán)重的多重共線性，可分別計算每兩個自變量之間的可決系數(shù)，若＞或接近于

，則應(yīng)設(shè)法降低多重共線性的影響。其辦法主要是轉(zhuǎn)換自變量的取值，如變絕對數(shù)為相對數(shù)或平均數(shù)，或者更換其他的自變量。39第39頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月5．D.W檢驗，當(dāng)回歸模型是根據(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)建立的，則誤差項e也是一個時間序列，若誤差序列諸項之間相互獨立，則誤差序列各項之間沒有相關(guān)關(guān)系，若誤差序列之間存在密切的相關(guān)關(guān)系，則建立的回歸模型就不能表述白變量與因變量之間的真實變動關(guān)系。D．w檢驗就是誤差序列的自相關(guān)檢驗。首先計算誤差序列統(tǒng)計量d（D．w值）：（0≤d≤4）40第40頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月然后根據(jù)給定的顯著水平α，自變量個數(shù)k和樣本數(shù)據(jù)個數(shù)n，查D．W分布表，得到下限值dL和上限值du，用下列原則作出判別：（1）du＜d＜4－du

無自相關(guān)；（2）0＜d＜dL

存在正自相關(guān)；（3）4－dL＜d≤4

存在負(fù)相關(guān)；（4）dL≤d≤du

難以判定；（5）4－du

≤d≤4－dL

，難以判定。41第41頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13.3.4多元線性回歸模型的應(yīng)用1．因素分析。因素分析是多元線性回歸模型的—個重要應(yīng)用，利用多元線性回歸模型可以進(jìn)行多因素分析。一是利用回歸系數(shù)揭示變量間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，并能揭示主次因素；二是利用彈性系數(shù)揭示各個自變量的變動對因變量的影響程度，利用多元線性回歸模型測定彈性系數(shù)

的計算公式為：（i=1，2，……，k）42第42頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月2．預(yù)測。利用多元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測，首先應(yīng)確定各個自變量的預(yù)測值，然后代入回歸模型中求因變量的點預(yù)測值或預(yù)測區(qū)間，其預(yù)測區(qū)間的建立與與一元線性回歸模型相同。3.控制。通過給定被解釋變量(因變量)的目標(biāo)值來控制解釋變量(自變量)的取值.

[例13.5]43第43頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月13.4非線性回歸13.4.1非線性回歸模型

在實際問題研究中，變量之間的關(guān)系不一定都是線性關(guān)系，而是表現(xiàn)為某種曲線關(guān)系。1．指數(shù)曲線：

。兩邊取對數(shù)得：44第44頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月2．對數(shù)曲線：3．雙曲線：4．冪函數(shù)：

兩邊取對數(shù)得：45第45頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月5．高次方程：可轉(zhuǎn)化為多元線性回歸形式：

6．柯柏——道格拉斯函數(shù)：，兩邊取對數(shù)得：7．S曲線：，46第46頁，課