高一數(shù)學(xué)函數(shù)值域的多種解題思路總結(jié)

高一數(shù)學(xué)函數(shù)值域的多種解題思路總結(jié)

求函數(shù)值域是高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。確定函數(shù)的值域需要重視對(duì)應(yīng)法則和定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。本文總結(jié)了多種解題思路。一種解題思路是直接觀察法。對(duì)于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，可以通過(guò)觀察得到值域。例如，對(duì)于函數(shù)y=1/x，由于x不能為1或0，因此其值域?yàn)?-∞,0)∪(0,∞)。配方法是求二次函數(shù)值域的基本方法之一。例如，對(duì)于函數(shù)y=x-2x^2+5，當(dāng)x∈[-1,2]時(shí)，將函數(shù)配方得到2y=(x-1)^2+4。由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=1時(shí)，y最小為4，當(dāng)x=-1時(shí)，y最大為8。因此，函數(shù)的值域?yàn)閇4,8]。判別式法是另一種解題思路。例如，對(duì)于函數(shù)y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，將原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程(y-1)x^2+(y-1)x+1-y=0。當(dāng)y≠1時(shí)，由判別式可得y∈[1/3,2]。當(dāng)y=1時(shí)，x=±1，因此函數(shù)的值域?yàn)閇1/3,2]。有時(shí)候，某些解題思路并不能完全確定函數(shù)的值域，需要采用其他方法進(jìn)一步確定。例如，對(duì)于函數(shù)y=x+x(2-x)/2，通過(guò)平方整理得到2x-2(y+1)x+y=0。雖然由判別式法可得y∈[-1,3]，但該函數(shù)的定義域?yàn)閤(2-x)≥0，即0≤x≤2。因此，需要進(jìn)一步確定方程2x-2(y+1)x+y=0在區(qū)間[0,2]上是否有實(shí)根。最終確定函數(shù)的值域?yàn)閇1/2,3]。1.解得：$x_1=\frac{2}{2+2\sqrt{2}}\in[\frac{1}{2},2]$原函數(shù)的值域?yàn)椋?[1+2,+\infty)=[3,+\infty)$2.例6.求函數(shù)$5x+6$值域。解：由原函數(shù)式可得：$y=\frac{3x+4}{5}$，其反函數(shù)為：$x=\frac{4-6y}{5y-3}$，其定義域?yàn)椋?(-\infty,\frac{3}{5})\cup(\frac{4}{5},+\infty)$。故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?(-\infty,\frac{4}{5}]\cup[\frac{3}{5},+\infty)$。3.例7.求函數(shù)$e^x-1$的值域。解：由原函數(shù)式可得：$y=e^x$，則$y-1=e^x-1$，即$y-1=e^{\ln(y-1)}$。因?yàn)?y-1>0$，所以可以對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)，得到$\ln(y-1)=e^{\ln(y-1)}$。根據(jù)LambertW函數(shù)的定義，$W(xe^x)=x$，將等式中的$x=\ln(y-1)$代入，得到$LambertW((y-1)e^{y-1})=\ln(y-1)$。因?yàn)長(zhǎng)ambertW函數(shù)的值域?yàn)?(-1,+\infty)$，所以$(y-1)e^{y-1}\geq-1$，即$y-1\geqW(-1)e^{-W(-1)}=-\frac{1}{e}$。因?yàn)?y=e^x>0$，所以$y-1>0$，所以$y>1-\frac{1}{e}$。故所求函數(shù)的值域?yàn)?(1-\frac{1}{e},+\infty)$。4.例8.求函數(shù)$\sinx-3$的值域。解：由原函數(shù)式可得：$y=\sinx-\cosx$，可化為：$y=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})-\cos\frac{\pi}{4}\cosx$。令$t=x+\frac{\pi}{4}$，則$y=\sqrt{2}\sint-\cost$。因?yàn)?|\sint|\leq1$，$|\cost|\leq1$，所以$-2\leqy\leq2$。又因?yàn)?y=\sinx-\cosx$是奇函數(shù)，所以$y$的取值范圍可以縮小到$[-2,0]$。因?yàn)?\sinx$在$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$上是單調(diào)增函數(shù)，所以$\sinx-\cosx$在$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$上是單調(diào)減函數(shù)。當(dāng)$x=-\frac{\pi}{4}$時(shí)，$y=0$，當(dāng)$x=\frac{\pi}{2}$時(shí)，$y=-2$，故所求函數(shù)的值域?yàn)?[-2,0]$。5.例9.求函數(shù)$y=2\log_3(x-5)+\log_3(x-1)$的值域。解：令$y_1=2\log_3(x-5)$，$y_2=\log_3(x-1)$，則$y=y_1+y_2$。因?yàn)?x-5>0$，所以$y_1$的定義域?yàn)?(5,+\infty)$，$y_1$是增函數(shù)。因?yàn)?x-1>0$，所以$y_2$的定義域?yàn)?(1,+\infty)$，$y_2$是增函數(shù)。所以$y=y_1+y_2$在$(5,+\infty)$上是增函數(shù)。當(dāng)$x=5$時(shí)，$y=-\infty$，當(dāng)$x\to+\infty$時(shí)，$y\to+\infty$，故所求函數(shù)的值域?yàn)?(-\infty,+\infty)$。6.例10.求函數(shù)$y=x+1-\frac{1}{x-1}$的值域。解：原函數(shù)可化為：$y=\frac{2x^2-2x}{x-1}=2x-2+\frac{2}{x-1}$。令$y_1=2x-2$，$y_2=\frac{2}{x-1}$，則$y=y_1+y_2$。因?yàn)?x-1\neq0$，所以$y_2$的定義域?yàn)?(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$，$y_2$是單調(diào)減函數(shù)。所以$y=y_1+y_2$在$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$上是單調(diào)增函數(shù)。當(dāng)$x=1$時(shí)，$y$不存在定義，當(dāng)$x\to+\infty$時(shí)，$y\to+\infty$，故所求函數(shù)的值域?yàn)?(,2]$。通過(guò)簡(jiǎn)單的換元，可以將一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)。其中，函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一。它不僅在求函數(shù)的值域中發(fā)揮作用，還有其他應(yīng)用。例如，求函數(shù)y=x+x-1的值域。解法如下：令x-1=t，(t≥0)，則x=t+1。于是，y=t^2+t+1=(t+1)^2-1/4。又因?yàn)閠≥0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t=0時(shí)，y的最小值為1；當(dāng)t趨近于正無(wú)窮時(shí)，y趨近于正無(wú)窮。因此，函數(shù)y=x+x-1的值域?yàn)閇1,∞)。再比如，求函數(shù)y=x+2cosx+1的值域。解法如下：因?yàn)?-2(x+1)≥0，所以可以令x+1=cosβ，β∈[0,π]。于是，y=cosβ+2cosx+1=cosβ+2cos(β-1)+1=2sin(β/2)^2+1。由于0≤β≤π，所以0≤sin(β/2)≤1，因此，1≤2sin(β/2)^2+1≤3。所以，函數(shù)y=x+2cosx+1的值域?yàn)閇1,3]。再比如，求函數(shù)y=(sinx+1)(cosx+1)的值域。解法如下：將y展開(kāi)，得到y(tǒng)=sinxcosx+sinx+cosx+1=sin2x/2+(sinx+cosx)+1/2。令sinx+cosx=t，則y=t^2/2+t+1/2。由于-√2≤t≤√2，所以1/2≤t^2/2+t+1/2≤3/2。因此，函數(shù)y=(sinx+1)(cosx+1)的值域?yàn)閇1/2,3/2]。最后，再舉一個(gè)例子，求函數(shù)y=x+4-5x的值域。解法如下：由于5-x≥0，所以可以令x=5cosβ，β∈[0,π]。于是，y=5cosβ+4+5sinβ=10sin(β/2)^2+4。因?yàn)?≤β≤π，所以0≤sin(β/2)≤1，因此，4≤10sin(β/2)^2+4≤14。所以，函數(shù)y=x+4-5x的值域?yàn)閇4,14]。例16.求函數(shù)y=|x-2|+|x+8|的值域。解：將原函數(shù)化簡(jiǎn)得：y=|x-2|+|x+8|可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P(x)到定點(diǎn)A(2)，B(-8)間的距離之和。由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=1。當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10。故所求函數(shù)的值域?yàn)椋篬10,+∞)。例17.求函數(shù)y=(x-3)2+(-2)2+(x+2)2+(1)2的值域。解：將函數(shù)變形為：y=(x-3)2+(-2)2+(x+2)2+(1)2上式可看成x軸上的點(diǎn)P(x,)到兩定點(diǎn)A(3,2)，B(-2,-1)的距離之和。由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，ymin=|AB|=(3+2)+(2+1)=4。故所求函數(shù)的值域?yàn)閇4,+∞)。例18.求函數(shù)y=(x-6)/(x+13)-(x-4)/(x+5)的值域。解：將函數(shù)變形為：y=(x-3)-(x+2)-(x-4)/(x+5)上式可看成定點(diǎn)A(3,2)到點(diǎn)P(x,)的距離與定點(diǎn)B(-2,1)到點(diǎn)P(x,)的距離之差。即：y=|AP|-|BP|。由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)P'，則構(gòu)成△ABP'，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有|AP'-BP'|<|AB|=(3+2)+(2-1)=6即：-6<y<6（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有|AP|-|BP|=|AB|=6綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋?-6,6]。注：由例17，18可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，則要使A，B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)。利用基本不等式a+b≥2ab,a+b+c≥3abc(a,b,c∈R)，可以求函數(shù)的最值。其題型特征是解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值。有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。例19.求函數(shù)y=sinx+1/2+cosx-4sinxcosx的值域。解：原函數(shù)變形為：y=(sinx+cosx)+(1/2-4sinxcosx)=√2sin(x+π/4)-2sin2x=2√2sin(x/2+π/4)cos(x/2-π/4)-2sin2x=2√2[cos(π/4-x/2)-cos(π/4+x/2)]-2sin2x=-4√2sinx/2sin(π/4+x/2)-2sin2x=-4√2sinx/2[cos(π/4-x/2)+cos(π/4+x/2)]-2=-4√2sinx/2[√2cosx/2+√2sinx/2]-2=-4sinxcosx-2√2sinx+2=-(2√2sinx-1)2+5因?yàn)?1≤2√2sinx-1≤1，所以y的值域?yàn)閇5,∞)。例20.求函數(shù)y=2sinxsin2x的值域。解：y=4sinxsinxcosx=4sin2xcosx=16sin?xcos2x=8sin2xsin2(2-2sin2x)≤8[(sin2x+sin2x+2-2sin2x)/3]3=64/27當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=2/3時(shí)，等號(hào)成立。所以y的值域?yàn)閇0,64/27]。10.一一映射法原理：因?yàn)橐粋€(gè)變量范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。例21.求函數(shù)y=(1-3x)/(2x+1)的值域。y=(ax+b)/(cx+d)在定義域上x與y是一一對(duì)應(yīng)的。所以兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。因?yàn)?x+1≠0，所以x∈(-∞,-1/2)∪(-1/2,∞)。令t=x+2(t≥2)，則x+3=t+1。所以y=(t-5)/(2t-5)。當(dāng)t>5/2時(shí)，y<0；當(dāng)t=5/2時(shí)，y=0；當(dāng)t<5/2時(shí)，y>0。所以y的值域?yàn)?-∞,0]∪[5/2,∞)。11.多種方法綜合運(yùn)用例22.求函數(shù)y=(x+2)/(x+3)的值域。解：令t=x+2(t≥2)，則x+3=t+1。所以y=(t-1)/t。當(dāng)t>0時(shí)，y<1；當(dāng)t=0時(shí)，y=0；當(dāng)t<0時(shí)，y>1。所以y的值域?yàn)閇0,1)。注：先換元，后用不等式法。例23.求函數(shù)y=(1+x-2x2+x3+x?)/(1+2x2+x?)的值域。解：令t=x2，則y=(1+t-2t2+t3+t?)/(1+2t+t2)。因?yàn)閠≥0，所以1+2t+t2≥1。所以y≤1+t-2t2+t3+t?。y=1+t-2t2+t3+t?=(t-1)2(t2+2t+3)/3+4/3≥4/3所以y的值域?yàn)閇4/3,∞)。解：首先，需要對(duì)文章進(jìn)行排版格式的修正。其次，文章中有一些公式和符號(hào)需要修改，如“os”應(yīng)該為“cos”，“221”應(yīng)該為“241”，“max”和“min”應(yīng)該使用下標(biāo)格式。最后，文章需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的改寫