電磁場理論 第一章

第1頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月電磁場理論是研究靜止和運(yùn)動電荷效應(yīng)的學(xué)科特點(diǎn)：不是從已知的公理或嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定理出發(fā)，而是在由長期實(shí)踐中得到的實(shí)驗(yàn)定律的基礎(chǔ)上，經(jīng)過理論概括而形成的一門科學(xué)。電磁場理論的核心內(nèi)容是麥克斯韋方程組

（MaxwellEquations）概述第2頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月一、課程目的掌握宏觀電磁現(xiàn)象的基本定律和基本性質(zhì)深入了解電磁場與電磁波的相關(guān)概念學(xué)會運(yùn)用場的觀點(diǎn)分析計(jì)算典型的電磁場問題為專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)第3頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月微波技術(shù)天線技術(shù)電波傳播雷達(dá)工程電磁兼容光纖通信與電磁場理論有關(guān)的學(xué)科第4頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月空警2000預(yù)警機(jī)第5頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月微波技術(shù)天線技術(shù)電波傳播雷達(dá)工程電磁兼容光纖通信與電磁場理論有關(guān)的學(xué)科第6頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月隱身飛機(jī)第7頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月微波技術(shù)天線技術(shù)電波傳播雷達(dá)工程電磁兼容光纖通信與電磁場理論有關(guān)的學(xué)科第8頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月二、課程內(nèi)容1、矢量分析與場論2、靜態(tài)場（靜電場、恒定電流的電場、恒定電流的磁場、靜態(tài)場問題的解法。）3、電磁波（均勻平面波的傳播、反射與折射、電磁波的輻射、導(dǎo)行電磁波。）第9頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月三、幾點(diǎn)要求1、聽（上課認(rèn)真聽）2、記（記筆記）3、讀（精讀教材）4、做（獨(dú)立完成作業(yè)）電磁場理論內(nèi)容廣泛，概念多而且比較抽象，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的要求較高。第10頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月參考書：謝處方等《電磁場與電磁波》高等教育出版社吳萬春《電磁場理論》電子工業(yè)出版社畢德顯《電磁場理論》電子工業(yè)出版社教材和參考書教材：王增和等《電磁場與波》機(jī)械工業(yè)出版社第11頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月第一章矢量分析

本章內(nèi)容：坐標(biāo)系的構(gòu)成、坐標(biāo)變換坐標(biāo)單位矢量的概念和不同坐標(biāo)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系矢量函數(shù)和場的概念梯度、散度、旋度的定義與計(jì)算矢量恒等式亥姆霍茲定理的概念和意義第12頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月在物理學(xué)中所遇到的物理量，一般分為兩類：

1、標(biāo)量（數(shù)量）：只有大小，在取定其單位后可以用一個(gè)數(shù)來表示。2、矢量（向量）：不僅有大小之分，而且有方向之別。標(biāo)量與矢量第13頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月如果在空間中一個(gè)區(qū)域內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都有一物理量的確定值與它對應(yīng)，則在這個(gè)區(qū)域中就構(gòu)成該物理量的場。教室中的溫度場、空氣密度場等根據(jù)構(gòu)成場的物理量不同，將場分為兩大類：標(biāo)量場和矢量場。場的概念與函數(shù)的概念是一致的，標(biāo)量場與標(biāo)量函數(shù)、矢量場與矢量函數(shù)在一般情況下是通用的。場的概念第14頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1

常用坐標(biāo)系

電磁場理論中用得最多的有三種坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系

正交曲線坐標(biāo)系

第15頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)曲面相交形成一條交線，三個(gè)曲面相交可以得到一個(gè)交點(diǎn)。因此，空間一點(diǎn)的坐標(biāo)可以用三個(gè)參數(shù)表示，每個(gè)參數(shù)確定一個(gè)坐標(biāo)曲面。如果在空間任一點(diǎn)上，三個(gè)相交的坐標(biāo)曲面相互正交（即各曲面在交點(diǎn)上的法線相互垂直），則坐標(biāo)曲面的三條交線在該點(diǎn)也相互正交（即各交線在該點(diǎn)的切線相互垂直）。這樣構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為正交曲線坐標(biāo)系，這些曲線稱為坐標(biāo)曲線或稱為坐標(biāo)軸。正交曲線坐標(biāo)系第16頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月一、三種常用坐標(biāo)系的構(gòu)成坐標(biāo)系的構(gòu)成要素：1、坐標(biāo)變量（三個(gè)）2、坐標(biāo)曲面（三個(gè)坐標(biāo)變量各等于常數(shù)的曲面）3、坐標(biāo)曲線（兩兩坐標(biāo)曲面的交線，又稱為坐標(biāo)軸）4、坐標(biāo)單位矢量：在空間任一點(diǎn)沿三條坐標(biāo)曲線的切線方向所取的單位矢量（模為1，方向?yàn)樽鴺?biāo)變量正的增加方向），而且三個(gè)坐標(biāo)單位矢量滿足右手螺旋法則。第17頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）直角坐標(biāo)系第18頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）圓柱坐標(biāo)系第19頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）球坐標(biāo)系第20頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月二、不同坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的關(guān)系（2）圓柱坐標(biāo)→直角坐標(biāo)1、球坐標(biāo)→圓柱坐標(biāo)→直角坐標(biāo)（1）球坐標(biāo)→圓柱坐標(biāo)（3）球坐標(biāo)→直角坐標(biāo)

2、直角坐標(biāo)→圓柱坐標(biāo)→球坐標(biāo)（1）直角坐標(biāo)→圓柱坐標(biāo)（2）圓柱坐標(biāo)→球坐標(biāo)（3）直角坐標(biāo)→球坐標(biāo)第21頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月三、不同坐標(biāo)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系第22頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2矢量函數(shù)第23頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月1、如果給定某矢量沿三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)單位矢量方向的三個(gè)分量，則該矢量即被確定。

直角坐標(biāo)系中：圓柱坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：

一、矢量表示法第24頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月在直角坐標(biāo)系中，由于矢量在各坐標(biāo)軸的分量即為矢量在該坐標(biāo)軸的投影，所以，如果已知矢量的大小和與各坐標(biāo)軸的夾角α、β、γ，則矢量被確定。

一、矢量表示法（續(xù)）

第25頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2、模等于1的矢量稱為單位矢量表示與同方向的單位矢量

一、矢量表示法（續(xù)）

第26頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為起點(diǎn)，引向空間任一點(diǎn)M（x，y，z）的矢量。3、矢徑單位矢徑：空間任一點(diǎn)對應(yīng)于一個(gè)矢徑，反之，每一個(gè)矢徑對應(yīng)著空間一點(diǎn)，所以矢徑又稱為位置矢量。點(diǎn)M（x，y，z）可以表示為

一、矢量表示法（續(xù)）

第27頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月4、距離矢量

空間任一矢量，起點(diǎn)為P（x’,y’,z’），終點(diǎn)為Q（x,y,z）。距離矢量稱為從源點(diǎn)到場點(diǎn)的距離矢量。

模

一、矢量表示法（續(xù)）

第28頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月5、空間任一長度元矢量（線元矢量）在直角坐標(biāo)系中表示為：模

一、矢量表示法（續(xù)）

第29頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月二、矢量函數(shù)（一）矢量函數(shù)的定義：對于自變量的每一個(gè)數(shù)值都有變動矢量的確定量（大小和方向都確定的一個(gè)矢量）和它對應(yīng)，則變動矢量稱為該自變量的矢量函數(shù)。靜電場中，位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷，在其周圍空間產(chǎn)生的電場：例如：第30頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)矢量函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，與標(biāo)量函數(shù)求導(dǎo)相類似。1、定義：對于矢量函數(shù)，常矢量的導(dǎo)數(shù)為0，變矢量的一階導(dǎo)數(shù)仍然為矢量。二、矢量函數(shù)（續(xù)）

第31頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2、對于標(biāo)量函數(shù)與矢量函數(shù)的乘積二、矢量函數(shù)（續(xù)）

第32頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月3、對于多變量函數(shù)和求偏導(dǎo)數(shù)：4、對于矢量函數(shù)二、矢量函數(shù)（續(xù)）

第33頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月5、在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中，由于一些坐標(biāo)單位矢量不是常矢量，在求導(dǎo)數(shù)時(shí)要特別注意，不能隨意將坐標(biāo)單位矢量提到微分符號之外（坐標(biāo)單位矢量是坐標(biāo)變量的函數(shù)）。6、由于各種坐標(biāo)系中的坐標(biāo)單位矢量均不隨時(shí)間變化，矢量函數(shù)對時(shí)間t求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以將它們作為常矢量提到偏微分符號之外。例如，在球坐標(biāo)系中：二、矢量函數(shù)（續(xù)）

第34頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）矢量函數(shù)的積分積分和微分互為逆運(yùn)算。一般標(biāo)量函數(shù)積分的運(yùn)算法則對矢量函數(shù)同樣適用。在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中，對矢量函數(shù)求積分時(shí)，仍需注意：有些坐標(biāo)單位矢量不是常矢量，不能隨意將坐標(biāo)單位矢量提到積分運(yùn)算符號之外。在一般情況下，坐標(biāo)單位矢量可能是積分變量的函數(shù)。二、矢量函數(shù)（續(xù)）

第35頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月例題設(shè)，求積分：第36頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3標(biāo)量函數(shù)的梯度gradient

第37頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月對于一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，令：（C為任意常數(shù)）

稱為該標(biāo)量函數(shù)的等值面方程。

對于二維標(biāo)量函數(shù)，則稱為該標(biāo)量函數(shù)的等值線方程。

一、標(biāo)量場的等值面和等值線第38頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)標(biāo)量場的定義，空間每一點(diǎn)上只對應(yīng)于一個(gè)場函數(shù)的確定值。因此，充滿整個(gè)標(biāo)量場所在空間的許許多多等值面或等值線互不相交?；蛘哒f，場中的一個(gè)點(diǎn)只能在一個(gè)等值面或等值線上。一、標(biāo)量場的等值面和等值線（續(xù)）

第39頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月二、方向?qū)?shù)

1、定義：函數(shù)在給定點(diǎn)M0上沿某一方向?qū)嚯x的變化率。（函數(shù)在M0點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)）

第40頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2、計(jì)算公式二、方向?qū)?shù)（續(xù)）

第41頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月三、梯度gradient

（一）梯度的定義：給出三個(gè)表達(dá)式：方向?qū)?shù)：方向單位矢量：定義：第42頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月在直角坐標(biāo)系中：三、梯度（續(xù)）第43頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月引入Hamilton算子：三、梯度（續(xù)）第44頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）梯度的性質(zhì)

1、一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度為一個(gè)矢量函數(shù)。2、函數(shù)u在給定點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)等于u的梯度在方向上的投影。3、標(biāo)量場中任一點(diǎn)的梯度的方向?yàn)檫^該點(diǎn)等值面的法線方向。

4、梯度的線積分與積分路徑無關(guān)。三、梯度（續(xù)）第45頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）梯度的基本運(yùn)算公式三、梯度（續(xù)）第46頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：求一個(gè)二維標(biāo)量場的等值線方程和梯度。例2：求函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)。

例題第47頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4矢量函數(shù)的散度第48頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月一、矢量場的矢量線（力線）1、定義：矢量場中的一些曲線，曲線上每一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)矢量場的方向，該點(diǎn)矢量場的強(qiáng)度由附近矢量線的密度來確定。2、矢量線方程：第49頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月二、矢量場的通量1、定義：矢量在場中某一曲面S上的面積分，稱為該矢量場通過此曲面的通量。第50頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2、通量的特性：通量的正負(fù)與面積元法線矢量方向的選取有關(guān)。

通量可以定性地認(rèn)為是穿過曲面S的矢量線總數(shù)（定性概念）。所以可以稱為通量面密度矢量，它的模F等于在某點(diǎn)與垂直的單位面積上穿過的矢量線的數(shù)目。通過面積元的通量元一般規(guī)定：凹面指向凸面為的正方向。二、矢量場的通量（續(xù)）

第51頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月對于閉合曲面，一般規(guī)定面積元的單位法線矢量由面內(nèi)指向面外。通量可以迭加則通過S面的矢量場的通量為：如果一閉合曲面S上任一點(diǎn)的矢量場為如果曲面S為閉合曲面，則通過S的總通量為：二、矢量場的通量（續(xù)）

第52頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月三、散度divergence

1、定義：設(shè)有矢量場，在場中任一點(diǎn)M作一包圍該點(diǎn)的任意閉合面S，并使S所限定的體積以任意方式趨于0。如果極限存在，則稱此極限為矢量場在M點(diǎn)的散度。第53頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月散度的定義與坐標(biāo)系的選取無關(guān)在任一點(diǎn)M上：若，則該點(diǎn)有發(fā)出通量線的正源；若，則該點(diǎn)有吸收通量線的負(fù)源；若，則該點(diǎn)無源。若在某一區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)上，矢量場的散度都等于0，則稱該區(qū)域內(nèi)的矢量場為無源場。三、散度divergence（續(xù)）第54頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2、散度在直角坐標(biāo)系中的表示式對于一個(gè)矢量三、散度divergence（續(xù)）第55頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月3、散度的基本公式三、散度divergence（續(xù)）第56頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月四、高斯散度定理任何一個(gè)矢量穿出任意閉合曲面S的通量，總可以表示為的散度在該面所圍體積的積分。第57頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月位置矢量（矢徑）是一個(gè)矢量場，計(jì)算穿過一個(gè)球心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為a的球面的的通量；計(jì)算。已知，以每邊為單位長度的立方體為例驗(yàn)證高斯散度定理。此立方體位于直角坐標(biāo)系的第一卦限內(nèi)，其中一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)上。

例題第58頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月1.5矢量函數(shù)的旋度第59頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月環(huán)量的定義：矢量，沿某一閉合曲線（閉合路徑）的線積分，稱為該矢量沿此閉合曲線的環(huán)量。一、矢量的環(huán)量第60頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月如果某一矢量場的環(huán)量不等于0，則場中必有產(chǎn)生這種場的旋渦源。如果在一個(gè)矢量場中沿任何閉合路徑的環(huán)量恒等于0，則在這個(gè)場中不可能有旋渦源，這種類型的場稱為保守場或無旋場。一、矢量的環(huán)量第61頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月二、矢量的旋度1、旋度的定義：矢量旋度的定義式：第62頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2、旋度在直角坐標(biāo)系中的表示式

對于

二、矢量的旋度（續(xù)）

第63頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月3、旋度與散度的區(qū)別矢量場的旋度為矢量函數(shù)；矢量場的散度為標(biāo)量函數(shù)。

旋度描述的是場分量沿著與它垂直方向上的變化規(guī)律；散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。旋度表示場中各點(diǎn)的場與旋渦源的關(guān)系。如果在矢量場所存在的全部空間內(nèi)，場的旋度處處為0，則這種場不可能有旋渦源，因而稱它為無旋場或保守場；散度表示場中各點(diǎn)的場與通量源的關(guān)系。如果在矢量場所存在的全部空間內(nèi)，場的散度處處為0，則這種場不可能有通量源，因而稱它為管形場（無頭無尾）或無源場。二、矢量的旋度（續(xù)）

第64頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月4、旋度的基本運(yùn)算公式二、矢量的旋度（續(xù)）

第65頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月三、斯托克斯定理矢量的旋度在任意曲面S上的通量，等于沿該曲面周界的環(huán)量第66頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月幾種重要的場：保守場（無旋場，位場）

定義：，則稱為無旋場。無源場（管形場）定義：，則稱為無源場。調(diào)和場

定義：，，則稱為調(diào)和場。

第67頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月1、矢量場，求沿閉合曲線的環(huán)量，并驗(yàn)證斯托克斯定理。的參量方程是：，，為一條星形線。2、求位置矢量沿折線的環(huán)量。其中由、、組成。

例題第68頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月1.6矢量恒等式第69頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月一、哈密頓一階微分算子及恒等式

在直角坐標(biāo)系中，哈密頓算子的表示式為：矢性微分算子第70頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2.第71頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月二、哈密頓二階微分算子及恒等式1．證明：①標(biāo)量函數(shù)梯度的旋度恒等于0；②如果一個(gè)矢量函數(shù)的旋度等于0，則這個(gè)矢量函數(shù)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示。

如果