第9章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法課件

作業(yè)線性連續(xù)狀態(tài)方程的離散化線性離散系統(tǒng)的分析線性時(shí)變系統(tǒng)的分析線性定常系統(tǒng)的分析線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第9章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法2023/7/169.6作業(yè)9.1線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述9.2線性定常系統(tǒng)的分析9.3線性時(shí)變系統(tǒng)的分析9.4線性離散系統(tǒng)的分析9.5線性連續(xù)狀態(tài)方程的離散化一.基本概念1.狀態(tài):2.狀態(tài)變量:3.狀態(tài)向量:4.狀態(tài)空間:系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。決定控制系統(tǒng)狀態(tài)的變量。9.2線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述完全描述系統(tǒng)行為所需的n個(gè)狀態(tài)變量所構(gòu)成的向量。狀態(tài)的變量的各個(gè)分量構(gòu)成的空間。2023/7/16二.狀態(tài)變量的選取2023/7/161.作用函數(shù)不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的n階線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式三.由微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程輸出方程系統(tǒng)矩陣控制矩陣輸出矩陣-a1-a2-an-1-anx2ux1=yxn-1xn+狀態(tài)變量圖解:例12023/7/16-3-2u+_R(S)Y(S)+_解:例22023/7/162023/7/16例3RLe(t)C2023/7/16解法1:2023/7/161/LC-R/L-1/LC解法2.2023/7/161/L1/C-R/L-1/LC解法3.結(jié)論:狀態(tài)變量不唯一,狀態(tài)變量的選取不同。狀態(tài)空間表達(dá)式也不同。1/L1/C-R/L-1/LC(1).直接法2.作用函數(shù)含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的n階線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2023/7/16在由包含狀態(tài)變量的n個(gè)微分方程構(gòu)成的系統(tǒng)狀態(tài)方程中，任何一個(gè)微分方程均不含有作用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。選取狀態(tài)變量的原則是:2023/7/16解:例1.2023/7/16-ry例2.解:2023/7/16U(s)Y(s)U(s)Y(s)Z(s)(2)中間變量法例4.解:2023/7/1614-8-9uy2023/7/16四、由傳遞函數(shù)結(jié)合狀態(tài)變量圖導(dǎo)出空間表達(dá)式（1）直接程序法directprogrammethod由傳遞函數(shù)直接畫(huà)出狀態(tài)變量圖，再由狀態(tài)變量圖直接寫(xiě)出狀態(tài)空間表達(dá)式2023/7/162023/7/16-1u-1/7-89/14y1/22023/7/16（2）并聯(lián)程序法parallelprogrammethod由傳遞函數(shù)化為部分分式后畫(huà)出狀態(tài)變量圖，再由狀態(tài)變量圖寫(xiě)出狀態(tài)空間表達(dá)式。-au2023/7/16（3）迭代程序法iterativeprogrammethod由傳遞函數(shù)化成因子連乘積形式后畫(huà)出狀態(tài)變量圖，再由狀態(tài)變量圖直接寫(xiě)出狀態(tài)空間表達(dá)式ux-ab2023/7/16u-12y-822023/7/16u-12y-822023/7/161.狀態(tài)變量的選擇不唯一2.狀態(tài)變量不一定要在物理上可測(cè)量

3.狀態(tài)變量在數(shù)學(xué)形式上應(yīng)力求簡(jiǎn)單4.有時(shí)輸入也可看成狀態(tài)變量，稱為廣義狀態(tài)變量，這時(shí)系統(tǒng)變成只有用廣義狀態(tài)變量來(lái)描述的齊次微分方程了yuyu1.系統(tǒng)中不含振蕩環(huán)節(jié)的情況(1)把各個(gè)環(huán)節(jié)化為最簡(jiǎn)單形式的組合一階慣性環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)(2)把各個(gè)環(huán)節(jié)的輸出選做狀態(tài)變量五.根據(jù)系統(tǒng)的方框圖求狀態(tài)空間表達(dá)式2023/7/162023/7/162.系統(tǒng)中含有振蕩環(huán)節(jié)的情況把各個(gè)環(huán)節(jié)化為最簡(jiǎn)單環(huán)節(jié)組合,若干個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)(3)把各個(gè)環(huán)節(jié)的輸出選做狀態(tài)變量(2)對(duì)于二階系統(tǒng),把它看作一個(gè)單位反饋系統(tǒng)的輸出

2023/7/16yuyy2023/7/162023/7/16六.多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式y(tǒng)uBCDA+2023/7/16例1.解:特征方程為七.狀態(tài)變量的非唯一性1.能控標(biāo)準(zhǔn)型

八、狀態(tài)空間表達(dá)式的規(guī)范化形式解:例1.2023/7/162.能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型2023/7/162023/7/16解:例2.3.對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型(1).定義:(2).思路2023/7/162023/7/16(4).狀態(tài)變量的選取2023/7/16例3.解:4.約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型(1).定義:(2).思路:2023/7/16(3)(4)狀態(tài)變量的選擇2023/7/162023/7/16例4.解:(1)(2)5.推廣(1)古典控制論主要是以傳遞函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型,為了利用古典控制論的久經(jīng)考驗(yàn)的成果來(lái)分析設(shè)計(jì)控制系統(tǒng),常常有必要將狀態(tài)空表達(dá)式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)矩陣.九.由控制系統(tǒng)的空間表達(dá)式

確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣2023/7/16拉氏變換拉氏反變換四種標(biāo)準(zhǔn)形一般不用自動(dòng)控制系統(tǒng)三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系例1.解:2023/7/16例2.例3.解:說(shuō)明:由于選取狀態(tài)變量的非唯一性,所建立的系統(tǒng)空間狀態(tài)表達(dá)式也是非唯一的,然而,盡管同一系統(tǒng)具有不同的狀態(tài)空間表達(dá)式,但系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣卻是唯一的。9.3線性定常系統(tǒng)的分析一.齊次狀態(tài)方程的解2023/7/161.矩陣指數(shù)法2023/7/16說(shuō)明:(1)齊次狀態(tài)方程的解表示狀態(tài)向量X(t)由初始狀態(tài)X(0)向任意時(shí)刻的狀態(tài)X(t)轉(zhuǎn)移的內(nèi)在特性,該特性通過(guò)矩陣指數(shù)具體描述。(2)eAt稱為矩陣指數(shù)(n*n矩陣),不適合于手算,使用計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算非常方便。例1.解:2.拉普拉斯法2023/7/163.兩種方法的關(guān)系解:2023/7/16二.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1.定義2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(1)自身性(2)反逆性(3)傳遞性(4)(5)(6)2023/7/16例.(1)通過(guò)性質(zhì)(2)通過(guò)直接計(jì)算2023/7/163.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算(1)拉普拉斯法解:2023/7/16(2)根據(jù)eAt定義的直接計(jì)算法(3)變換系統(tǒng)矩陣A為對(duì)角線矩陣的計(jì)算法1)公式的推導(dǎo)2)變換矩陣P的求取(a)一般方法2023/7/16解:2023/7/162023/7/16(b)如果狀態(tài)矩陣A具有如下標(biāo)準(zhǔn)形式例.解:2023/7/16解:(1)求特征根2023/7/16(2)求變換陣2023/7/162023/7/16(3)求變換矩陣的逆陣(4)求取ф(t)解:2023/7/164.變換系統(tǒng)矩陣A為約當(dāng)形矩陣的計(jì)算方法2023/7/16(1)由約當(dāng)形矩陣J來(lái)求ф(t)2023/7/16(2)變換陣P的求取a.一般法解:2023/7/162023/7/162023/7/162023/7/16(b)若系統(tǒng)矩陣具有友矩陣的形式,即:2023/7/16解:2023/7/162023/7/16(c)矩陣A具有m重特征根,但由方程AP1=λ1P1(i=1,2,…,n)能解出m個(gè)獨(dú)立的特征向量P1,…,Pm,則由這m個(gè)獨(dú)立的特征向量構(gòu)成的變換矩陣P=[P1...PmPm-1...Pn]T仍可以將A變換成對(duì)角矩陣→約當(dāng)矩陣的特殊形式.解:2023/7/16(d)由約當(dāng)陣J來(lái)求ф(t)2023/7/16解:2023/7/162023/7/165.應(yīng)用Cayley-hamilton定理的計(jì)算方法a.Cayley-Hamilton定理2023/7/16b.Ф(t)的計(jì)算c.待定系數(shù)的計(jì)算(1)若A有互異特征值λ1,λ2,…,λn時(shí)2023/7/16(2).若A有n重特征值λ1

時(shí)2023/7/16解:2023/7/162023/7/16(3)當(dāng)有m重根時(shí),有n-m個(gè)單根.2023/7/16解:(1)求A的特征值:2023/7/16(2)求系數(shù)2023/7/16(3)求ф(t)2023/7/166.變換系統(tǒng)矩陣為模式矩陣的計(jì)算方法a.定義：b.P陣的求?。?023/7/16c.eMt的計(jì)算：解:2023/7/16三.非齊次狀態(tài)方程的解1.一般法2023/7/162023/7/162.拉普拉斯法2023/7/163.兩種方法的關(guān)系4.初始時(shí)刻不為零時(shí)解:2023/7/162023/7/16解:9.4線性時(shí)變系統(tǒng)的分析一.線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2023/7/162023/7/16二.齊次狀態(tài)方程的解三.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)?.解:2023/7/16說(shuō)明:解:2023/7/16(3)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)2023/7/169.5線性離散系統(tǒng)的分析狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程的解2023/7/16一、化標(biāo)量差分方程為離散的狀態(tài)方程(1)控制函數(shù)僅含bnu(k)時(shí)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式選取2023/7/162023/7/16(2)控制函數(shù)含u(k),u(k+1),…u(k+n)項(xiàng)時(shí)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式選取2023/7/16其中2023/7/162.化脈沖傳遞函數(shù)為離散狀態(tài)方程初始條件為零取Z變換2023/7/162023/7/16二.線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解1.遞推法零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)2023/7/16解:2023/7/16-0.72.22-0.1-1u(k)y(k)2023/7/163.兩種方法的關(guān)系4.說(shuō)明(1)迭代法比較適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算(2)Z變換法適合于手算2.Z變換法2023/7/162023/7/16(1)求變換陣P解：2023/7/16(2)求Ak2023/7/16(3)求零狀態(tài)響應(yīng)2023/7/16(4)求狀態(tài)響應(yīng)2023/7/16一.線性定常系統(tǒng)的離散化9.6線性連續(xù)狀態(tài)方程的離散化假設(shè)作用函數(shù)只在采樣時(shí)刻上發(fā)生變化，相鄰兩次采樣時(shí)刻之間保持不變2023/7/162023/7/162023/7/16解:(1)求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2023/7/16(2)離散化2023/7/16二.線性時(shí)變系統(tǒng)的離散化1.精確法2.近似法2023/7/16本章總結(jié)狀態(tài)空間的定義狀態(tài)變量的選取原則狀態(tài)空間表達(dá)式的建立由狀態(tài)空間表達(dá)式求取傳遞函數(shù)陣四種規(guī)范形式由傳遞函數(shù)由方框圖由微分方程狀態(tài)空間表達(dá)式2023/7/16拉氏變換拉氏反變換四種標(biāo)準(zhǔn)形一般不用2023/7/16狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣連續(xù)系統(tǒng)分析離散系統(tǒng)分析連續(xù)狀態(tài)方程離散化

變A為約當(dāng)陣直接計(jì)算法變A為對(duì)角陣?yán)绽狗ň€性系統(tǒng)分析CayleyHamilton變A為模式陣2023/7/16習(xí)題課習(xí)題12023/7/16選取狀態(tài)變量狀態(tài)空間表達(dá)式2023/7/16傳遞函數(shù)矩陣2023/7/16習(xí)題2國(guó)家A在1990年的人口總數(shù)為1億人,其中城市人口為1千萬(wàn)。假設(shè)城市每年有前一年人口的4％離開(kāi)城市，而從城市以外的地方按前一年人口的2％遷入城市，并假設(shè)國(guó)家A每年的人口自然增長(zhǎng)率為1％。求2000年國(guó)家A的城市人口和非城市人口數(shù)。2023/7/16解：設(shè)1990年為0年，第k年城市人口數(shù)為x1(k)，非城市人口數(shù)為x2(k),初始狀態(tài)為建立人口模型為2023/7/16國(guó)家A的人口總數(shù)為