函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件

5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值第1課時函數(shù)的極值激趣誘思知識點撥“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”,說的是廬山的高低起伏,錯落有致.在群山之中,各個山峰的頂端,雖然不一定是群山的最高處,但它卻是其附近的最高點.那么,在數(shù)學上,這種現(xiàn)象如何來刻畫呢?激趣誘思知識點撥一、函數(shù)極值的概念1.若函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,f'(a)=0,而且在點x=a附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0,就把a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.2.若函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大,f'(b)=0,而且在點x=b附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0,就把b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.3.極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點,極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.激趣誘思知識點撥名師點析1.極值是一個局部概念.由定義知,極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個定義域內最大或最小.2.函數(shù)的極值不是唯一的,即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內的極大值或極小值可以不止一個.3.極大值與極小值之間無確定的大小關系.在某一點的極小值也可能大于另一點的極大值,即極大值不一定比極小值大,極小值也不一定比極大值小.4.函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部,區(qū)間的端點不能成為極值點.激趣誘思知識點撥5.若函數(shù)在極值點處存在導數(shù),則這點的導數(shù)為0,但導數(shù)為0的點可能不是函數(shù)的極值點.也就是說,若f'(c)存在,則“f'(c)=0”是“f(x)在x=c處取到極值”的必要條件,但不是充分條件.6.若f(x)在區(qū)間(a,b)內有極值,則f(x)在(a,b)內一定不是單調函數(shù),即在某區(qū)間上單調的函數(shù)沒有極值.7.如果函數(shù)f(x)在[a,b]上有極值,那么它的極值點的分布是有規(guī)律的.相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點,同樣,相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點.一般地,當函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且有有限個極值點時,函數(shù)f(x)在[a,b]上的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的.激趣誘思知識點撥微練習如圖是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f'(x)的圖象,下列說法錯誤的是(

)A.-2是函數(shù)y=f(x)的極小值點B.1是函數(shù)y=f(x)的極值點C.y=f(x)在x=0處的切線的斜率大于零D.y=f(x)在區(qū)間(-2,2)內單調遞增解析:f'(1)=0,但在x=1附近的左、右兩側的導函數(shù)值同號,則1不是f(x)的極值點,故選B.答案:B激趣誘思知識點撥二、函數(shù)極值的求法一般地,求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是:1.求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f'(x).2.解方程f'(x)=0,得方程的根x0.3.如果在x0附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0,那么f(x0)是極大值;如果在x0附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0,那么f(x0)是極小值.名師點析導數(shù)等于0的解不一定是極值點;反之,極值點一定是導數(shù)等于0的解,故須對f'(x)=0的解進行檢驗.激趣誘思知識點撥微練習函數(shù)f(x)=x3-3x的極大值等于

,極小值等于

.

解析:由題意知f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,當x∈(-∞,-1)時f'(x)>0,當x∈(-1,1)時f'(x)<0,當x∈(1,+∞)時f'(x)>0,所以當x=-1時,函數(shù)取極大值f(-1)=2;當x=1時,函數(shù)取極小值f(1)=-2.答案:2

-25.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測利用導數(shù)求函數(shù)的極值角度1

不含參數(shù)的函數(shù)求極值例1求下列函數(shù)的極值:分析:按照求函數(shù)極值的步驟,借助表格進行求解.5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)函數(shù)的定義域為R,f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0,得x=3或x=-1.當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測所以函數(shù)在x=-1處取得極大值f(-1)=e,無極小值.5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用導數(shù)求函數(shù)極值的方法利用導數(shù)研究函數(shù)的極值時,一般應首先明確函數(shù)的定義域,然后求出函數(shù)的導數(shù),得到導數(shù)為零的點.這些點將整個定義域分為若干個區(qū)間,最后將x,f'(x),f(x)在每個區(qū)間內的變化情況列在一個表格中.觀察導數(shù)為零的點的左右兩側導數(shù)值是否異號,若異號,則是極值;否則,不是極值.這樣通過表格可以清楚地判斷在哪個點處取得極值,是極大值還是極小值.5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:函數(shù)f(x)的定義域為R,令f'(x)=0,得x(2-x)·e-x=0,解得x=0或x=2.當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測角度2

含參數(shù)的函數(shù)求極值例2已知函數(shù)f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),當a∈R且a≠時,求函數(shù)的極值.5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.∴f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)內是增函數(shù),在(-2a,a-2)內是減函數(shù).∴函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a;函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測∴f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)內是增函數(shù),在(a-2,-2a)內是減函數(shù).∴函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2;函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)求函數(shù)的定義域.(2)求函數(shù)的導數(shù)f'(x).(3)令f'(x)=0,求出全部的根x0.(4)列表:方程的根x0將整個定義域分成若干個區(qū)間,把x,f'(x),f(x)在每個區(qū)間內的變化情況列在一個表格內.(5)判斷得結論:若導數(shù)在x0附近左正右負,則在x0處取得極大值;若左負右正,則取得極小值.5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2若函數(shù)f(x)=x-alnx(a∈R),求函數(shù)f(x)的極值.(1)當a≤0時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調遞增,函數(shù)f(x)無極值.(2)當a>0時,令f'(x)=0,解得x=a.當0<x<a時,f'(x)<0;當x>a時,f'(x)>0.∴f(x)在x=a處取得極小值,且f(a)=a-aln

a,無極大值.綜上可知,當a≤0時,函數(shù)f(x)無極值;當a>0時,函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a-aln

a,無極大值.5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測由極值求參數(shù)的值或取值范圍例3已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1處取得極值

.(1)求a,b的值;(2)求函數(shù)的另一個極值.分析:(1)可利用f'(1)=0,f(1)=建立關于a,b的方程組求解;(2)按照求極值的步驟求解.5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)因為f(x)=x3+ax2+bx+4,所以f'(x)=3x2+2ax+b,當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測分析:f(x)在(1,+∞)內有兩個極值點,等價于f'(x)=0在(1,+∞)內有兩個不等實根.解:f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.因為函數(shù)f(x)在(1,+∞)內有兩個極值點,所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)內與x軸有兩個不同的交點,如圖所示.解得m>3.故實數(shù)m的取值范圍是(3,+∞).5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的方法根據(jù)函數(shù)極值的定義可知,如果一個函數(shù)是可導函數(shù),那么在極值點處的導數(shù)必然為零,即對于可導函數(shù)y=f(x),f'(x0)=0是x0為極值點的必要條件,當已知函數(shù)在某一點處取得極值時,該點處的導數(shù)值一定為零,據(jù)此可建立關于參數(shù)的方程進行求解.特別地,利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性.5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)5.3.2第1課時函數(shù)的極值-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3若函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,則常數(shù)c為(

)A.2 B.6 C.2或6 D.-2或-6解析:∵函數(shù)f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,它的導數(shù)為f'(x)=3x2-4cx+c2,由題意知,在x=2處的導數(shù)值為12-8c+c2=0,∴c=6,或c=2,又函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,故導數(shù)值在x=2處左側為正數(shù),右側為負數(shù).當c=2時,f'(x)=3x2-8x+4=3(x-)(x-2),不滿足導數(shù)值在x=2處左側為正數(shù),右側為負數(shù).當c=6時,f'(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12)=3(x-2)(x-6),滿足導數(shù)值在x=2處左側為正數(shù),右側為負數(shù).故c=6.故選B.答案:B函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測由函數(shù)圖象分析函數(shù)的極值例5已知函數(shù)y=xf'(x)的圖象如圖所示(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)),給出以下說法:①函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)內是增函數(shù);②函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值;③函數(shù)f(x)在x=-處取得極大值;④函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,其中正確的說法有

.(填所有正確的序號)

函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測分析:通過圖象考查f'(x)在相關區(qū)間上的符號,以及在相關各點的左右兩側的導數(shù)值是否異號,結合極值的定義進行判斷.解析:從圖象上可以發(fā)現(xiàn),當x∈(1,+∞)時,xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在區(qū)間(1,+∞)內是增函數(shù),①正確;當x∈(-∞,-1)時,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,當x∈(-1,0)時,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,故函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值,②正確;當x∈(-1,1)時,f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內是減函數(shù),③錯;當x∈(0,1)時,xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在區(qū)間(0,1)內是減函數(shù),而在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,④正確.答案:①②④函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟由函數(shù)圖象研究極值的方法這類函數(shù)圖象問題是利用導數(shù)研究函數(shù)極值問題中較為常見的一種題型,解答這類問題的關鍵是選準出發(fā)點.對于導函數(shù)的圖象,我們重點考查其在哪個區(qū)間上為正,哪個區(qū)間上為負,在哪個點處與x軸相交,在該點處,導函數(shù)的值是怎樣變化的,若是由正值變?yōu)樨撝?則在該點處取得極大值;若由負值變?yōu)檎?則在該點處取得極小值.函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,給出以下結論:①函數(shù)f(x)在(-2,-1)和(1,2)內是增函數(shù);②函數(shù)f(x)在(-2,0)內是增函數(shù),在(0,2)內是減函數(shù);③函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值,在x=1處取得極小值;④函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值.其中正確命題的序號是

.(填所有正確命題的序號)

解析:函數(shù)f(x)在(-2,-1)內單調遞增,在(1,2)內單調遞減,故①錯;因為f'(x)在(-2,0)內大于0,所以函數(shù)f(x)在(-2,0)內是增函數(shù),同理f(x)在(0,2)內是減函數(shù),故②正確;③錯誤;當-2<x<0時f'(x)>0,當0<x<2時f'(x)<0,故函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值,④正確.答案:②④函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測極值問題的綜合應用典例已知函數(shù)f(x)=x3-3x+a(a為實數(shù)),若方程f(x)=0有三個不同實根,求實數(shù)a的取值范圍.分析:求出函數(shù)的極值,要使f(x)=0有三個不同實根,則應有極大值大于0,極小值小于0,由此可得a的取值范圍.函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得x1=-1,x2=1.當x<-1時,f'(x)>0;當-1<x<1時,f'(x)<0;當x>1時,f'(x)>0.所以當x=-1時,f(x)有極大值f(-1)=2+a;當x=1時,f(x)有極小值f(1)=-2+a.因為方程f(x)=0有三個不同實根,所以y=f(x)的圖象與x軸有三個交點,如圖.函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用導數(shù)可以判斷函數(shù)的單調性,研究函數(shù)的極值情況,并能在此基本上畫出函數(shù)的大致圖象,從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù),從而為研究方程根的問題提供了方便.函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究1(改變條件)本例中,若方程f(x)=0恰有兩個根,則實數(shù)a的值如何求解?解:由例題,知函數(shù)的極大值f(-1)=2+a,極小值f(1)=-2+a,若f(x)=0恰有兩個根,則有2+a=0,或-2+a=0,所以a=-2或a=2.函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究2(改變條件)本例中,若方程f(x)=0有且只有一個實根,求實數(shù)a的取值范圍.解:由例題可知,要使方程f(x)=0有且只有一個實根,只需2+a<0或-2+a>0,即a<-2或a>2.函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.(2020陜西高二期末)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則關于f(x)的結論正確的是(

)A.在區(qū)間(-2,2)上為減函數(shù)B.在x=-2處取得極小值C.在區(qū)間(-∞,-2),(2,+∞)上為增函數(shù)D.在x=0處取得極大值解析:由圖象知f(x)在(-∞,-2)遞減,在(-2,2)遞增,在(2,+∞)遞減,故f(x)在x=-2取極小值,在x=2取極大值,故選B.答案:B函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件函數(shù)的極值人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測A.0 B.-1 C.0或1 D.1解析:∵f'(x)=x3-x2=x2(x-1),由f'(x)=0,得x=0