最短路徑問(wèn)題課件人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

最短路徑問(wèn)題（第一課時(shí)）最值問(wèn)題

最多

最少

最長(zhǎng)

最短

最胖

最瘦“最短路徑問(wèn)題”復(fù)習(xí)1

如圖，連接A、B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？

為什么？路線②最短兩點(diǎn)之間，線段最短點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與該直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？復(fù)習(xí)2

PC最短垂線段最短如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使得CA+CB最短．（1）作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′；連接AB，交直線l于點(diǎn)C（2）連接AB′交直線l于點(diǎn)C；由兩點(diǎn)之間，線段最短：連接AC′，BC′，B′C′（3）則點(diǎn)P即所求的點(diǎn).區(qū)分哪些是定點(diǎn)，哪些是動(dòng)點(diǎn)，哪條直線是對(duì)稱(chēng)軸如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？PC最短（1）作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′；思考：如何證明這條路徑最短？③用符號(hào)語(yǔ)言證明結(jié)論．（1）作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′；②利用軸對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)移線段，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究過(guò)的引例：即兩點(diǎn)之間，線段最短的問(wèn)題．將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們研究過(guò)的問(wèn)題呢？由兩點(diǎn)之間，線段最短：②利用等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性找到合適的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．（3）則點(diǎn)P即所求的點(diǎn).（2）連接AB′交直線l于點(diǎn)C；如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使得CA+CB最短．引例作法：連接AB，交直線l于點(diǎn)C點(diǎn)C即為所求.依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短.C’如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊

l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？圖形語(yǔ)言如圖，在直線

l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短．文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言例如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.例如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.例C思考：A、B在直線l同側(cè)A、B在直線l異側(cè)能否通過(guò)圖形的變化（軸對(duì)稱(chēng)、平移等），將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們研究過(guò)的問(wèn)題呢？如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.C例C如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB’最短.例如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′；（2）連接AB′交直線l于點(diǎn)C；（3）則點(diǎn)C即為所求的點(diǎn).例如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.例C′思考：如何證明這條路徑最短？在直線上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′證明：

需證明：CA+CB＜C′A+C′B如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.例C′思考：如何證明這條路徑最短？在直線上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′證明：

需證明：CA+CB＜C′A+C′B由兩點(diǎn)之間，線段最短：

AB′

<AC′

+

C′B′，

如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.例C′思考：如何證明這條路徑最短？在直線上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′證明：

需證明：CA+CB＜C′A+C′B由兩點(diǎn)之間，線段最短：

AB′

<AC′

+

C′B′，

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊

l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？例在AB上求作一點(diǎn)P，使得PC+PD最短．（3）則點(diǎn)C即為所求的點(diǎn).有兩棵樹(shù)位置如圖，樹(shù)的底部分別為A，B，地上有一只昆蟲(chóng)沿著A—B的路徑在地面上爬行．小樹(shù)頂D處一只小鳥(niǎo)想飛下來(lái)抓住小蟲(chóng)后，再飛到大樹(shù)的樹(shù)頂C處．問(wèn)小鳥(niǎo)飛至AB之間何處時(shí)，飛行距離最短，在圖中畫(huà)出該點(diǎn)的位置．垂線段最短最短路徑問(wèn)題（第一課時(shí)）需證明：CA+CB＜C′A+C′B連接AC′，BC′，B′C′AB′<AC′+C′B′，如圖，已知點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為_(kāi)_________.如圖，已知點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為_(kāi)_________.思考：如何證明這條路徑最短？②利用軸對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)移線段，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究過(guò)的引例：即兩點(diǎn)之間，線段最短的問(wèn)題．②利用等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性找到合適的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．有兩棵樹(shù)位置如圖，樹(shù)的底部分別為A，B，地上有一只昆蟲(chóng)沿著A—B的路徑在地面上爬行．小樹(shù)頂D處一只小鳥(niǎo)想飛下來(lái)抓住小蟲(chóng)后，再飛到大樹(shù)的樹(shù)頂C處．問(wèn)小鳥(niǎo)飛至AB之間何處時(shí)，飛行距離最短，在圖中畫(huà)出該點(diǎn)的位置．B和E，作哪個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)更好？如圖，連接A、B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.連接AC′，BC′，B′C′AB′<AC′+C′B′，在直線l上求作一點(diǎn)C，如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.例①將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)．總結(jié)：②利用軸對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)移線段，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究過(guò)的引例：即兩點(diǎn)之間，線段最短的問(wèn)題．③用符號(hào)語(yǔ)言證明結(jié)論．有兩棵樹(shù)位置如圖，樹(shù)的底部分別為A，B，地上有一只昆蟲(chóng)沿著A—B的路徑在地面上爬行．小樹(shù)頂D處一只小鳥(niǎo)想飛下來(lái)抓住小蟲(chóng)后，再飛到大樹(shù)的樹(shù)頂C處．問(wèn)小鳥(niǎo)飛至AB之間何處時(shí)，飛行距離最短，在圖中畫(huà)出該點(diǎn)的位置．在AB上求作一點(diǎn)P，使得PC+PD最短．

練習(xí)在AB上求作一點(diǎn)P，使得PC+PD最短．

作法：（1）作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′；（2）連接DC′交AB于點(diǎn)P；（3）則點(diǎn)P即為所求的點(diǎn).C′有兩棵樹(shù)位置如圖，樹(shù)的底部分別為A，B，地上有一只昆蟲(chóng)沿著A—B的路徑在地面上爬行．小樹(shù)頂D處一只小鳥(niǎo)想飛下來(lái)抓住小蟲(chóng)后，再飛到大樹(shù)的樹(shù)頂C處．問(wèn)小鳥(niǎo)飛至AB之間何處時(shí)，飛行距離最短，在圖中畫(huà)出該點(diǎn)的位置．練習(xí)作法：（1）作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′；（2）連接CD′交AB于點(diǎn)P；（3）則點(diǎn)P即所求的點(diǎn).P如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使得CA+CB最短．（1）作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′；如圖，已知點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為_(kāi)_________.最短路徑問(wèn)題（第一課時(shí)）需證明：CA+CB＜C′A+C′B連接AB，交直線l于點(diǎn)C如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.如圖，連接A、B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.思考：如何證明這條路徑最短？PC最短如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.有兩棵樹(shù)位置如圖，樹(shù)的底部分別為A，B，地上有一只昆蟲(chóng)沿著A—B的路徑在地面上爬行．小樹(shù)頂D處一只小鳥(niǎo)想飛下來(lái)抓住小蟲(chóng)后，再飛到大樹(shù)的樹(shù)頂C處．問(wèn)小鳥(niǎo)飛至AB之間何處時(shí)，飛行距離最短，在圖中畫(huà)出該點(diǎn)的位置．需證明：CA+CB＜C′A+C′B思考：如何證明這條路徑最短？思考：如何證明這條路徑最短？②利用等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性找到合適的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短．連接AB，交直線l于點(diǎn)C（2）連接AB′交直線l于點(diǎn)C；如圖，已知點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為_(kāi)_________.例例如圖，已知點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為_(kāi)_________.方法：利用軸對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)移線段，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究過(guò)兩點(diǎn)之間，線段最短的問(wèn)題.問(wèn)題：B和E，作哪個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)更好？例如圖，已知點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為_(kāi)_________.如圖，已知點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為_(kāi)_________.

例如圖，已知點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為_(kāi)_________.例

總結(jié)：①分析題目中的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的最短路徑問(wèn)題．②利用等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性找到合適的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．

如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為_(kāi)_________.例課堂小結(jié)①最短路徑問(wèn)題如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使得CA+CB最短．①最短路徑問(wèn)題依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短關(guān)鍵：利用軸對(duì)稱(chēng)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移②需要注意的細(xì)節(jié)區(qū)分哪些是定點(diǎn)，哪些是動(dòng)點(diǎn)，哪條直線是對(duì)稱(chēng)軸利用圖形的軸對(duì)稱(chēng)性，會(huì)簡(jiǎn)化過(guò)程．課堂小結(jié)能否通過(guò)圖形的變化（軸對(duì)稱(chēng)、平移等），如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.需證明：CA+CB＜C′A+C′B利用軸對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)移線段，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究過(guò)兩點(diǎn)之間，線段最短的問(wèn)題.最短路徑問(wèn)題（第一課時(shí)）如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.③用符號(hào)語(yǔ)言證明結(jié)論．如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短.區(qū)分哪些是定點(diǎn)，哪些是動(dòng)點(diǎn)，哪條直線是對(duì)稱(chēng)軸最短路徑問(wèn)題（第一課時(shí)）如圖，已知點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為_(kāi)_________.如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？如圖，連接A、B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？如圖，已知點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，