第九章2講排列與組合

第2 [學(xué)生nn＝ ＝nn②An＝n．n

n（n－1）·…·（n－m＋1） Cm＝n Am Am

Cm＋Cm－1＝Cm nn 習(xí)題改編從3，5，7，11這四個(gè)質(zhì)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個(gè)數(shù)是( b [解析]lga－lgb＝lga，3，5，7，11b4bA2＝12種，1242名女教師，42每個(gè)小組由1名女教師和2名男教師組成，則不同的安排方案共有 A．24 B．12C．10 D．924B[解析]第一步，1名女老師，C1＝2種選法；第二步，2名同的安排方案共有2×6×1＝12種，選B．24高三(1)班需要安排畢業(yè)的4個(gè)音樂(lè)、2個(gè)舞蹈和1個(gè)曲藝的演順序，要求2個(gè)舞蹈不連排，則不同排法的種數(shù)是 A．1 B．3C．4 D．55656[解析]兩個(gè)舞蹈不連排，可先安排4個(gè)音樂(lè)和1個(gè)曲藝，有A5種排法；再將2個(gè)舞蹈插到6個(gè)空中的2個(gè)中去，有A2種排法，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有A5·A2＝3600(種)．故選B．5656有5名男生和3名，從中選出5人分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)科的課代表，若某必須擔(dān)任語(yǔ)文課代表，則不同的選法共 7[解析]由題意知，從剩余7人中選出4人擔(dān)任其余4個(gè)學(xué)科的課代表，共有7[答案 4343[解析]2，1，1三組，C2種；而后，對(duì)三組學(xué)生全排三所學(xué)校，即進(jìn)行全排列，有A3種．依分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有N＝C2A3＝36(種)．4343[答案排列應(yīng)用題[學(xué)生 3名男生，4名，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)．5(2)34人；7【解 (1)問(wèn)題即為從7個(gè)元素中選出5個(gè)全排列，有A5＝2520種排法773人，4人，相當(dāng)于排成一排，A7＝50407342相鄰問(wèn)題(法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有A3種排法；必須342342共有3424545不相鄰問(wèn)題(插空法)：先安排共有A4種排法，男生在4個(gè)隔成的五個(gè)空中安排共有A3種排法，故N＝A4·A3＝1440(種)．45456[解1)4種，A6種664·A6＝2880625先排甲、乙，5人，共有A2·A5＝240種排法．25個(gè)類型中的排列數(shù)，的排列數(shù)，法列，同時(shí)注意元素的內(nèi)部排元素插面元素排列的空列對(duì)于分類過(guò)多的問(wèn)題，按正難則反，②根據(jù)特殊元素當(dāng)選數(shù)量或特殊位置由占進(jìn)行分類0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，求：(1)2，3，但它們不相鄰的五位數(shù)？(2)1，2，34444[解1)0在首位，0，1，4，5先排三個(gè)位置，A3個(gè)，2，3去排四個(gè)空當(dāng)，有A2個(gè)，即有A3A2個(gè)；44443344333344336(2)0，4，5，0在首位，則有A3個(gè)，去掉0在首位，6656565A3－A2＝10065組合應(yīng)用題[學(xué)生 要從5名，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的至少有1名入選男生甲和乙入選男生甲、乙至少有一個(gè)人入選【解 (1)法一：至少有1名入選包括以下幾種情況57575757514男，23男，32男，41男，5女．57575757577任選5人有C5種選法，其中全是男代表的選法有C5種．所以“至少有1名入選”的選法有C5－C5＝771(種)．772(2)男生甲和乙入選，即只要再?gòu)某猩缀鸵彝獾?0人中任選3名即可，共有C2C3＝120種選法．2其余10人中任選5人有C5種選法，所以“男生甲、乙至少有一個(gè)人入選”的選法數(shù)為C5－C5＝540(種)．在本例條件下，求至多有2名入選的選法種數(shù)[解]至多有2名入選包括以下幾種情況757570女5男，1女4男，2女3男，75757(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題目必須“至少42門，求：(1)1422[解](1)42門，1門相同的選法種數(shù)共有C2C1C1＝24(種)．422444444(2)4C2C2，又甲、乙兩人所選的兩門課程都相同的選法種數(shù)為C2種，因此滿足條件的不同選法種數(shù)為C2C2－C2＝30(種)．444444 (1)(2016·高考卷)用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中 (2)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則 3434 (1)由題意，可知個(gè)位可以從1，3，5中任選一個(gè)，有A1種方法，其他數(shù)位上的數(shù)可以從剩下的4個(gè)數(shù)字中任選，進(jìn)行全排列，有A4種方法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為3434故選24(2)將產(chǎn)品A與B在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有A2A4種方法，24232423法．于是符合題意的排法共有A2A4－A2A3＝36(種)．232423【答案 角度一、三相鄰、相間及特殊元素(位置)問(wèn)題1．(2017·黃岡3月質(zhì)檢)在高三某班進(jìn)行的比賽中，共有5位選手參加，其3位，2位男生，如果2位男生不能連續(xù)出場(chǎng)，且甲不能排第一個(gè)，那么出場(chǎng)的順 ，3423[解析]不相鄰問(wèn)題插空法.2N1＝A3×A2＝72種2N2＝A2×A2＝12種，所以出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為N＝N1－N2＝60.，3423 角度二 海交通大學(xué)，浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法有()A．240 B．180C．150 D．540[解析52，2，13，1，1兩種形式52，2，1時(shí)，共有1C2C2A3＝90種方法25353當(dāng)5名學(xué)生分成3，1，1時(shí)，共有C3A3＝60種方法，90＋60＝150種保送方法．53[學(xué)生——個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況 4334434【解析】84組有兩種分法，一種是分(一等獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng))、(二等獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng))、(三等獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng))、(無(wú)獎(jiǎng)4人有A4種分法；另一種是一組兩個(gè)獎(jiǎng)，一組只有一個(gè)獎(jiǎng)，另兩組無(wú)獎(jiǎng)，共有C2種分法，再分給4人有C2A2種分法，所以不同獲獎(jiǎng)情況種數(shù)為A4＋C2A2＝24＋36＝60.4334434【答案 對(duì)于有附加條件的排列組合問(wèn)題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)1.(2017·云南兩區(qū)七校模擬)某校從8名教師中選派4名同時(shí)去4個(gè) A．900 B．600C．300 D．150654[解析依題意，就甲是否去支教進(jìn)行分類計(jì)數(shù)：第一類，甲去支教，則乙不去支教，且丙也去支教，則滿足題意的選派方案有C2·A4＝240種；第二類，甲不去支教，且654＋360＝600種，當(dāng)三個(gè)數(shù)字中有2和3時(shí)，2需排在3的前面(不一定相鄰)，這樣的三位數(shù)有( A．51 B．54C．12 D．45333]第二類，只有2或3，需從1，4，5中選兩個(gè)數(shù)字，可組成2C2A3＝36(個(gè))；第三類，2，3333均有，1，4，5中選一個(gè)，23的前面，所以可組成1C1A3＝9(個(gè))2351個(gè)，[學(xué)生P308(獨(dú)立成冊(cè)不等式Ax＜6×Ax－2的解集為 [解析]

＜12.x≤8，x－2≥0，7＜x≤8，x∈N*， 323222[解析1，3，5C2種方法，2，4C1種方法，而奇數(shù)只能從135取出的兩個(gè)數(shù)之一作為個(gè)位數(shù)故奇數(shù)的個(gè)數(shù)為C2C1A1A2＝3232223．(2017·市調(diào)研測(cè)試)“2016中國(guó)杭州G20”于2016年9月4日－9月5、、分別從事翻譯、禮儀四項(xiàng)不同的工作，若其中小只能從事前兩項(xiàng)工作， 、、A．48 B．36C．18 D．1233]3333A2×A2＝36種方案，331人，則不同選法的種數(shù)為() 44[解析]1人入選12人中選取C1C2＝264種選法．若三班沒(méi)有人入選，123人，3人不能全來(lái)自同一個(gè)班，故有C3－3C3＝208種選法．故總共有264＋208＝472種不同的選法．4452110人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有 A．1260 B．2025C．2520 D．50408787[解析第一步，102人承擔(dān)任務(wù)甲，C2種選派方法；第二步，從余下的8人中選派1人承擔(dān)任務(wù)乙，有C1種選派方法；第三步，再?gòu)挠嘞碌?人中選派1人承擔(dān)任務(wù)丙，有C1種選派方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，選法有C2·C1·C1＝252087876．(2017·福建漳州八校第二次聯(lián)考)位數(shù)字之和為奇數(shù)，②所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是 55244552[解析]由個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)知個(gè)位數(shù)字、十位數(shù)字1奇1偶，有C1C1A2＝50種排法；所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則百位數(shù)字是奇數(shù)，C1＝4種滿足題意的選法，故滿足題意的三位數(shù)共有C1×C1C1A2＝200(個(gè))．552445527．在∠AOBOAmOBn個(gè)點(diǎn)(O點(diǎn)外)O＋n＋1個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任取其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，可作的三角形的個(gè)數(shù)為 A．C1＋C2＋C1＋ m1

n1

m n D．C1C2＋C2＋m n m m m1mnmnnmmnnmmn(1)一點(diǎn)，OB上取兩點(diǎn)，OA上取兩點(diǎn)，OB上取一點(diǎn)，C1C2＋C1C2個(gè)．所以可作的三角形個(gè)數(shù)為C1C2＋C1C2＋C1C1，故選C.mnmnnmmnnmmn 朝陽(yáng)期末)老師必須站在正中間，且甲同學(xué)不與老師相鄰，則不同的站法種數(shù) 123[解析]特殊元素優(yōu)先安排，先讓老師站在正中間，甲同學(xué)從兩端中任選一個(gè)位置，有123[答案9．(2017·長(zhǎng)春市質(zhì)量檢測(cè)(二))試圖將一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次在取出啤酒時(shí)只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么取出啤酒的方式共有 [解析]由題可知，取出酒瓶的方式有3類，第一類：取6次，每次取出4瓶，只有8次，3瓶，17次，3473瓶，C3，35種，377[答案 222222[解析]1，3，A2種排法，2，41，3之間，有C1種方法，3個(gè)數(shù)作為一個(gè)整體與剩下的另一個(gè)偶數(shù)全排列，A2種排法，即滿足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為A2C1A2＝8.222222[答案“治理”“延遲退休”“里約奧運(yùn)”“量子”“神舟十一號(hào)”成為現(xiàn)在．會(huì)關(guān)注的5個(gè)熱點(diǎn)想利用暑假時(shí)間一下社會(huì)公眾對(duì)這些熱點(diǎn)的關(guān)注度．若準(zhǔn)備按照順序分別其中的4個(gè)熱點(diǎn)，則“量子”作為其中的一個(gè)熱點(diǎn)，但．第一個(gè)熱點(diǎn)的種數(shù) 433433[解析]先從“治理”“延遲退休”“里約奧運(yùn)”“神舟十一號(hào)”這4個(gè)熱點(diǎn)中選出3個(gè)，有C3種不同的選法，在時(shí)“量子”安排的順序有A1種可能情況，其余3個(gè)熱點(diǎn)安排的順序有A3種可能情況，故有C3A1A3＝72種．433433[答案從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中